v7.22.101 HSNV101 - Thermo-plasticité et métallurgie découplées en traction simple#
Résumé:
On traite la détermination de l’évolution mécanique d’un barreau cylindrique soumis à des évolutions thermiques \(T(t)\) et métallurgiques \(Z(t)\) connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique).
Les éléments utilisés sont des éléments axisymétriques et la relation de comportement est la plasticité de VonMises avec écrouissage isotrope linéaire (pour la modélisationB, on tient également compte de la plasticité de transformation).
La limite élastique et la pente de la courbe de traction dépendent de la température et de la composition métallurgique.
Le coefficient de dilatation \(\alpha\) dépend de la composition métallurgique.
Les transformations métallurgiques ont lieu à \({\dot{\epsilon}}^{p}=0\) (c’est en ce sens que le test découple la plasticité de transformation de la plasticité classique).
Les résultats fournis par Code_Aster sont très satisfaisants avec des erreurs inférieures à \(\text{2 \%}\) .
Les modélisation A, B, D utilisent des maillages composé de deux mailles QUAD8, la modélisation C utilise des mailles TRIA6, et la modélisation E valide la métallurgie sur point matériel.
Les modélisations A, C et E utilisent le comportement META_P_IL, la modélisation B valide le comportement META_P_IL_PT, et la modélisation D utilise META_P_CL.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Avant transformation , solution thermo-élastique pour \(t<{\tau}_{1}^{'}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour:
\({\tau}_{1}^{'}=\frac{{\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}}{{p}_{0}-{s}^{\mathit{aust}}\mu }=47.06s\)
Avant transformation , solution thermo-élasto-plastique, \({\tau}_{1}^{'}\le t\le {\tau}_{1}\) , \({\tau}_{1}=\mathrm{60 }s\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}t\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{aust}}+{s}^{\mathit{aust}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{aust}}+{\lambda}^{\mathit{aust}}\mu t}\end{array}\)
Pendant la transformation , solution thermo-élasto-métallurgique, \({\tau}_{1}<t<{\tau}_{2}\) , \({\tau}_{\mathrm{2 }}=\mathrm{112 }s\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}{\tau}_{1}\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(t)={k}^{\mathit{fbm}}F({Z}_{\mathit{fbm}}){p}_{0}{\tau}_{1}\end{array}\)
avec \(F({Z}_{\mathit{fbm}})={Z}_{\mathit{fbm}}(1-{Z}_{\mathit{fbm}})\)
Après la transformation , solution thermo-élasto-plastique,
, \({\tau}_{3}=\mathrm{176 }s\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}({\tau}_{2})\\ {\sigma}_{zz}(t)={p}_{0}{\tau}_{1}\\ {\epsilon}_{zz}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)}{E}\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{{\sigma}_{zz}(t)-({\sigma}_{0}^{\mathit{fbm}}+{s}^{\mathit{fbm}}\mu t)}{{H}_{0}^{\mathit{fbm}}+{\lambda}^{\mathit{fbm}}\mu t}\end{array}\)
Résultats de référence#
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) , \(\chi\) , \({\sigma}_{zz}\) et \({\epsilon}_{zz}\) pour \(t=47,48,64\) et \(114\) secondes.
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) pour \(t=60\) et \(176\) secondes.
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}},{\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) et \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) dans le cas des modélisations B et D , pour \(t=47,48,64\) et \(114\) secondes.
avec:
\({\epsilon}^{\mathit{meca}}\) : déformations mécaniques
\({\epsilon}^{\mathit{plas}}\) : déformations plastiques (incluant la plasticité de transformation)
Références bibliographiques#
DONORE A.M. - WAECKEL F.: Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto-plastiques Note HI-74/93/024.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3
Grandeurs testées et résultats#
On teste les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
INSTpour NUME_ORDRE=70 |
176 |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=70 |
5 |
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\(\chi\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=47s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=47s\) |
–4.1125 10–3 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=48s\) |
3.2653 10–3 |
ANALYTIQUE |
0,15 % |
\(\chi\) \(t=48s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=48s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=48s\) |
–9.3469 10–4 |
ANALYTIQUE |
0,007 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=60s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=64s\) |
0.040 |
ANALYTIQUE |
0,022 % |
\(\chi\) \(t=64s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=64s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,01 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=64s\) |
3.4683 10–2 |
ANALYTIQUE |
0,025 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=114s\) |
0.04107 |
ANALYTIQUE |
0,01 % |
\(\chi\) \(t=114s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=114s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,020 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=114s\) |
0.03684 |
ANALYTIQUE |
0,026 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=176s\) |
0.06206 |
ANALYTIQUE |
0.20% |
Remarques#
Dans cette modélisation: \({\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}=0\)
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Le maillage et les données sont identiques à la modélisation A; la seule différence vient du comportement META_P_IL_PT (prise en compte de la plasticité de transformation)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=47s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=47s\) |
-4.1125 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=47s\) |
-0.0055225 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=47s\) |
0.00141 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=48s\) |
3.2653 10–3 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\(\chi\) \(t=48s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=48s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=48s\) |
-9.3469 10–4 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=48s\) |
-0.00564 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=48s\) |
0.004705 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=48s\) |
0.0032653 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=60s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=64s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=64s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=64s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=64s\) |
4.00085 10–2 |
ANALYTIQUE |
0.2 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=64s\) |
-0.007117 |
ANALYTIQUE |
0.2 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=64s\) |
0.047125 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=64s\) |
0.04533 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=114s\) |
0.041071 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=114s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=114s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=114s\) |
0.072841 |
ANALYTIQUE |
2.0 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=114s\) |
-0.00603 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=114s\) |
0.07887 |
ANALYTIQUE |
2.0 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=114s\) |
0.07707 |
ANALYTIQUE |
2.0 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=176s\) |
0.062069 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
Remarques#
Dans cette modélisation, on prend en compte le terme dû à la plasticité de transformation:
\({\dot{\epsilon}}^{\mathit{pt}}(T,Z)\ne 0\) lorsque \(\dot{Z}\mathrm{\ne }0\)
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation A, seul le maillage est différent (mailles triangulaires).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13
Nombre de mailles et types: 4 mailles TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
On teste les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
INSTpour NUME_ORDRE=70 |
176 |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=70 |
5 |
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\(\chi\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=47s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=47s\) |
–4.1125 10–3 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=48s\) |
3.2653 10–3 |
ANALYTIQUE |
0,15 % |
\(\chi\) \(t=48s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=48s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=48s\) |
–9.3469 10–4 |
ANALYTIQUE |
0,007 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=60s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=64s\) |
0.040 |
ANALYTIQUE |
0,022 % |
\(\chi\) \(t=64s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
1,0E-12 (absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=64s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,01 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=64s\) |
3.4683 10–2 |
ANALYTIQUE |
0,025 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=114s\) |
0.04107 |
ANALYTIQUE |
0,01 % |
\(\chi\) \(t=114s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0,1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=114s\) |
|
ANALYTIQUE |
0,020 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=114s\) |
0.03684 |
ANALYTIQUE |
0,026 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=176s\) |
0.06206 |
ANALYTIQUE |
0.20% |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Maillage identique à celui de la modélisation A.
Ecrouissage cinématique linéaire: META_P_CL
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=47s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=47s\) |
-4.1125 10–3 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=47s\) |
-0.0055225 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=47s\) |
0.00141 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=47s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=48s\) |
3.2653 10–3 |
ANALYTIQUE |
1.1% |
\(\chi\) \(t=48s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=48s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=48s\) |
-9.3469 10–4 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=48s\) |
-0.00564 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=48s\) |
0.004705 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=48s\) |
0.0032653 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=60s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=64s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=64s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=64s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=64s\) |
3.466810–2 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=64s\) |
-0.007117 |
ANALYTIQUE |
0.2 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=64s\) |
0.04180 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=64s\) |
0.04 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=114s\) |
0.04107 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\(\chi\) \(t=114s\) |
1 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=114s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=114s\) |
0.036841 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=114s\) |
-0.00603 |
ANALYTIQUE |
0.2 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=114s\) |
0.0428701 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=114s\) |
0.04107 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=176s\) |
0.06206 |
ANALYTIQUE |
0.20% |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=206s\) |
0.062069 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=206s\) |
|
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=206s\) |
0.052288 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=206s\) |
-0.01068 |
ANALYTIQUE |
0.2 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=206s\) |
0.062968 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=206s\) |
0.062069 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=251s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 %(absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=251s\) |
-90. 106 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=251s\) |
-0.01113 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=251s\) |
-0.01068 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=251s\) |
-0.00045 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=251s\) |
0 |
ANALYTIQUE |
0.1 % (absolu) |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=296s\) |
-0.062069 |
ANALYTIQUE |
0.1 %(absolu) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=296s\) |
-360. 106 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=296s\) |
-0.07455 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}\) \(t=296s\) |
-0.01068 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{meca}}\) \(t=296s\) |
-0.063869 |
ANALYTIQUE |
0.1 % |
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{plas}}\) \(t=296s\) |
-0.062069 |
ANALYTIQUE |
0.1 % (absolu) |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Point matériel (utilisation de SIMU_POINT_MAT)
Grandeurs testées et résultats#
On teste les paramètres de la structure de données résultats (mêmes valeurs de référence que la modélisation A)
Identification |
Référence |
Tolérance |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=114s\) |
0.04107 |
0,0001 % |
\({\epsilon}_{zz}\) \(t=114s\) |
0.03684 |
0,0001 % |
\({\epsilon}_{zz}^{p}\) \(t=176s\) |
0.06206 |
0,0001 % |
Synthèse des résultats#
Les résultats trouvés avec Code_Aster sont très satisfaisants, avec des pourcentages d’erreur inférieurs à \(\text{0.025\%}\) sauf pour la déformation à l’instant \(114s\) où l’erreur atteint \(\text{2\%}\) pour la modélisation B.