v6.02.130 SSNL130 – Plaque indéformable sur un tapis de ressorts#
Résumé:
L’objectif est de tester et de valider les possibilités de la commande AFFE_CARA_ELEM, option RIGI_PARASOL en \(\mathrm{2D}\) et en \(\mathrm{3D}\) et affecté du comportement DIS_CHOC ou DIS_CONTACT.
Ce cas test modélise une plaque, considérée comme indéformable, posée sur un tapis de ressorts.
Les ressorts sont modélisés par des
DIS_T(K_T_D_L), cela permet d’imposer des conditions aux limites aux extrémités des ressorts qui ne sont pas liées au solide.Les comportements
DIS_CHOCouDIS_CONTACTpermettent un comportement unilatéral des ressorts, ce qui laisse une possibilité de décollement de la plaque vis-à-vis du tapis de ressort.
Le même problème peut également être modélisé par des éléments d’interface assortis de la relation de comportement CZM_ELAS_MIX qui représentent alors une distribution continue de ressorts (modélisation E).
La modélisation F permet de valider la méthode grille, option RIGI_GRILLE.
Solution de référence#
Méthode de calcul du problème continu#
Fig. 628 : Plaque et ressorts après chargement.#
La résolution du problème consiste à calculer les déplacements verticaux des coins de la plaque et la position du point de décollement vis-à-vis du tapis de ressorts.
Les équations d’équilibres sont les suivantes :
Effort résultant dû au chargement : \({Fp} = \underset{s}{\iint }{P.ds} ={p.a.}\frac{{b}^{3}}{3}\)
Moment résultant au point \(A\) dû au chargement : \({{Mp}_{A}} = \underset{s}{\iint }{P.y.ds} = {a.p.}\frac{{b}^{4}}{12}\)
La plaque est considérée comme rigide, son déplacement est de la forme \(z(y)={U}_{a}(1-\frac{y}{{y}_{0}})\). Avec \({U}_{a}\) le déplacement vertical du point \(A\) et \({y}_{0}\) la position du décollement.
Effort de réaction des ressorts : \({Fr}=\underset{s}{\iint }\frac{K}{a.b}{U}_{a}(1-\frac{y}{{y}_{0}}) ds =K.{U}_{a}\frac{{y}_{0}}{2b}\)
Moment de réaction des ressorts au point \(A\) : \({{Mr}}_{A}=\underset{s}{\iint }\frac{K}{a.b}{U}_{a}(1-\frac{y}{{y}_{0}})y{ds}=K.{U}_{a}\frac{{y}_{0}^{2}}{6b}\)
La résolution des équations (équilibre des efforts et des moments) donne le résultat suivant : \({y}_{0}=\frac{3b}{4}\), \({U}_{a}=-\frac{8p.a.{b}^{3}}{9K}\) on en déduit \({U}_{b}=-\frac{{U}_{a}}{3}\)
Méthode de calcul du problème discrétisé#
Dans cette analyse le tapis de ressorts n’est plus considéré comme continu. Les ressorts sont régulièrement répartis. Comme précédemment les déplacements verticaux des coins de la plaque et la position de la ligne de décollement vis-à-vis du tapis de ressorts vont être calculés.
Fig. 629 : Schéma de la plaque et des ressorts après chargement.#
Fig. 630 : Discrétisation de la plaque dans le plan \((x,y)\)#
La figure Fig. 630 repère les ressorts en fonction de leur raideur. Cette raideur est calculée par l’option RIGI_PARASOL de la commande AFFE_CARA_ELEM. L’affectation des valeurs se fait en fonction de la surface de la zone qu’ils affectent. Si \(K\) est la raideur globale du tapis de ressort, on a donc :
\({k4}=\frac{{K}}{{nx}{ny}}\), \({k2}={k3}=\frac{{k4}}{2}=\frac{{K}}{2{nx}{ny}}\), \({k1}=\frac{{k4}}{4}=\frac{{K}}{4{nx}{ny}}\)
Les équations d’équilibre sont les suivantes :
Effort de réaction des ressorts : \({\mathit{Fr}}_{(j)}={U}_{a}\cdot \left[{K}_{x}^{'}+{K}_{x}^{''}\cdot \sum_{j=1}^{n}\left(1-j\frac{b}{\mathit{ny}{y}_{0}}\right)\right]\)
Moment de réaction des ressorts le long de la ligne \({AB}\) : \({{Mr}}_{(j)}={U}_{a}\cdot {K}_{x}^{''}\cdot \sum_{j=1}^{n}(1-j\frac{b}{{ny}{y}_{0}})\cdot j\frac{b}{{ny}}\)
avec :
\({K}_{x}^{'}=(2{k1}+{k2}({nx}-1))\)
\({K}_{x}^{"}=(2{k3}+{k4}({nx}-1))\)
\(n \frac{b}{ny} \le {y}_{0} \le (n+1)\frac{b}{ny}\)
La résolution des équations (équilibre des efforts et des moments) donne la solution de l’équilibre :
où \(n\) et \({y}_{0}\) doivent respecter les conditions suivantes :
\({n}\frac{b}{ny} \le {y}_{0} \le (n+1)\frac{b}{{ny}}\)
\(0 \le {y}_{0} \le b\)
\(n\) entier
Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs testées seront les déplacements verticaux aux 4 coins de la plaque.
Incertitudes sur la solution#
Aucunes, la solution est analytique.
Modélisations A, C#
Caractéristiques des modélisations#
La plaque est modélisée par des éléments DKT. Les ressorts sont modélisés par des SEG2 affectés d’une modélisation DIS_T dont les caractéristiques sont des K_T_D_L. Ce sont des discrets en translation ayant une matrice diagonale, voir la documentation de AFFE_CARA_ELEM.
La modélisation A utilise le comportement DIS_CHOC, la modélisation C le comportement DIS_CONTACT.
Caractéristiques du maillage#
La plaque est découpé avec \({ny}=16\) et \({nx}=4\). Les dimensions de la plaque sont \(a = 1 m\) et \(b = 2 m\)
Grandeurs testées et résultats#
Pour le pas de temps n°1, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque, sont imposés à zéro. Les résultats de sont comparés avec la solution discrète, qui correspond à la solution du problème modélisé. Cette solution est obtenue pour \(n=12\), équation (4730).
Nature des résultats |
\({U}_{A}={U}_{D}\) |
\({U}_{B}={U}_{C}\) |
Solution continue |
\(\frac{-4}{1125}\) |
\(\frac{4}{3375}\) |
Solution discrète (\(n=12\)) |
\(\frac{-208}{58875}\) |
\(\frac{176}{153075}\) |
Tolérance |
\(4.0{\times 10^{-04}}\) |
\(7.2{\times 10^{-03}}\) |
Pour le pas de temps n°2, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque, sont déplacés de \(+5.0{\times 10^{-03}} m\). Les résultats sont comparés avec la solution discrète, qui correspond à la solution du problème modélisé.
Nature des résultats |
\({U}_{A}={U}_{D}\) |
\({U}_{B}={U}_{C}\) |
Solution continue |
\(\frac{-4}{1125}+\frac{5}{1000}\) |
\(\frac{4}{3375}+\frac{5}{1000}\) |
Solution discrète (\(n=12\)) |
\(\frac{-208}{58875}+\frac{5}{1000}\) |
\(\frac{176}{153075}+\frac{5}{1000}\) |
Tolérance |
\(4.0{\times 10^{-04}}\) |
\(7.0{\times 10^{-03}}\) |
Modélisations B, D#
Caractéristiques des modélisations#
La plaque est modélisée en \({2D}\) en déformations planes, par des éléments QUAD4. Les ressorts sont modélisés par des SEG2 affectés d’une modélisation 2D_dis_t dont les caractéristiques sont des K_T_D_L. Ce sont des discrets en translation ayant une matrice diagonale, voir la documentation de AFFE_CARA_ELEM.
La modélisation B utilise le comportement DIS_CHOC, la modélisation D le comportement DIS_CONTACT.
Caractéristiques du maillage#
La plaque est découpée avec \({ny}=16\). La longueur de la plaque est \(b = 2 m\).
Grandeurs testées et résultats#
Pour le pas de temps n°1, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque, sont imposés à zéro. Les résultats sont comparés avec la solution discrète, qui correspond à la solution du problème modélisé. La solution d’équilibre est obtenue pour : \(n=12\), équation (4730).
Nature des résultats |
\({U}_{A}\) |
\({U}_{B}\) |
Solution continue |
\(\frac{-4}{1125}\) |
\(\frac{4}{3375}\) |
Solution discrète (\(n=12\)) |
\(\frac{-208}{58875}\) |
\(\frac{176}{153075}\) |
Tolérance |
\(1.0{\times 10^{-04}}\) |
\(1.0{\times 10^{-04}}\) |
Pour le pas de temps n°2, les déplacements des extrémités des ressorts, non connectés à la plaque, sont déplacés de \(+5.0{\times 10^{-03}} m\) . Les résultats sont comparés avec la solution discrète, qui correspond à la solution du problème modélisé.
Nature des résultats |
\({U}_{A}\) |
\({U}_{B}\) |
Solution continue |
\(\frac{-4}{1125}+\frac{5}{1000}\) |
\(\frac{4}{3375}+\frac{5}{1000}\) |
Solution discrète (\(n=12\)) |
\(\frac{-208}{58875}+\frac{5}{1000}\) |
\(\frac{176}{153075}+\frac{5}{1000}\) |
Tolérance |
\(1.0{\times 10^{-04}}\) |
\(1.0{\times 10^{-04}}\) |
Modélisation E#
Caractéristiques des modélisations#
La plaque n’est pas modélisée puisque assujettie à un mouvement de corps rigide. Le tapis de ressorts est modélisé par des éléments d’interface 3D_INTERFACE_S. La relation de comportement d’interface est CZM_ELAS_MIX dans laquelle la densité de raideur en traction est nulle (décollement sans raideur) et la densité de raideur en compression vaut simplement \(k\), sans autres traitements. On rajoute également une raideur tangentielle (égale à \(k\)) pour éviter tout mouvement transverse.
Caractéristiques du maillage#
Le matelas de ressort est découpé en 20 x 1 éléments d’interface.
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats sont comparés avec la solution de référence continue et une grande précision.
Nature des résultats |
\({U}_{A}\) |
\({U}_{B}\) |
Solution continue instant 1 |
\(\frac{-4}{1125}\) |
\(\frac{4}{3375}\) |
Solution continue instant 2 |
\(\frac{-4}{1125}+\frac{5}{1000}\) |
\(\frac{4}{3375}+\frac{5}{1000}\) |
Tolérance |
\(2.0{\times 10^{-07}}\) |
\(2.0{\times 10^{-07}}\) |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
La plaque est modélisée par des éléments DKT. Les ressorts sont modélisés par des SEG2 affectés d’une modélisation DIS_TR
dont les caractéristiques sont calculées par la méthode grille RIGI_GRILLE.
Dimensions : a = 1.00 m, b = 2.00 m, ep = 0.30 m.
Module d’Young : 2.0E + 11 Pa
Coefficient de poisson : 0.3
Raideur globale du tapis de ressorts dans toutes les directions : K = 1.0E + 8 N/m
Le protocole de chargement et vérification est le suivant :
on impose, au centre de la plaque, une force équivalente à la raideur globale visée dans chacune des 5 directions (DX, DY, DZ, DRX, DRY),
le déplacement résultant doit être quasi-unitaire.
Les composantes DX, DY et DZ n’étant pas corrélées ; un premier calcul traite simultanément les directions DX, DY et DZ ; un deuxième calcul traite exclusivement la direction DRX ; un troisième calcul traite exclusivement la direction DRY.
Caractéristiques du maillage#
La plaque est découpée avec \({ny}=16\).
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats sont comparés avec la solution de référence sur les 4 coins de la plaque. On doit obtenir une réponse unitaire dans chaque direction.
Résultats pour les directions DX, DY et DZ :
Composante |
PT01 |
PT02 |
PT03 |
PT04 |
DX |
0.9988 |
0.9988 |
0.9988 |
0.9988 |
DY |
1.0008 |
0.9989 |
0.9989 |
1.0008 |
DZ |
0.9928 |
0.9928 |
0.9928 |
0.9928 |
Résultats pour la direction DRX :
Composante |
PT01 |
PT02 |
PT03 |
PT04 |
DRX |
0.9866 |
0.9866 |
0.9866 |
0.9866 |
Résultats pour la direction DRY :
Composante |
PT01 |
PT02 |
PT03 |
PT04 |
DRY |
0.9899 |
0.9899 |
0.9899 |
0.9899 |
Synthèse des résultats#
L’utilisation des éléments discrets, affectés sur des nœuds ou des segments, avec un matériau de type DIS_CONTACT et utilisé avec STAT_NON_LINE (comportement COMP_INCR relation DIS_CHOC ou DIS_CONTACT) permet de modéliser un comportement unilatéral des ressorts.
En \({2D}\) comme en \({3D}\) , l’utilisation du mot clé RIGI_PARASOL de la commande AFFE_CARA_ELEM permet d’affecter aux ressorts des raideurs proportionnelles à la longueur ou à la surface des éléments auxquels ils sont connectés.
Le comportement étant unilatéral, il est nécessaire de faire plusieurs itérations pour trouver la position d’équilibre. Il est également possible de rencontrer des problèmes de convergence liés à une perte de précision, dû à un mauvais conditionnement de la matrice de raideur au cours des itérations. La raideur des ressorts pouvant s’annuler d’une itération à l’autre.
Concernant la modélisation par éléments d’interface, la solution continue est obtenue sans erreur. Là aussi, plusieurs itérations s’avèrent nécessaires pour trouver le point de décollement de la plaque. Idéalement, il faudrait également se prémunir du mode sans énergie dans lequel la plaque décolle partout (il pourrait conduire à une matrice non inversible, même si ça n’a pas été observé du fait qu’à l’état naturel, on privilégie la rigidité en compression, non nulle).