v3.02.101 SSLP101 - Taux de restitution d’énergie en contraintes planes#

Résumé:

Il s’agit d’un test de mécanique de la rupture en statique pour un problème bidimensionnel. On considère une plaque fissurée en contraintes planes, les fonctionnalités testées sont:

le taux de restitution d’énergie \(G\) ,
le taux de restitution d’énergie calculé à partir du calcul des coefficients de contraintes \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) .

L’intérêt du test est de comparer la valeur de \(G\) classique et la valeur de \(G\) (IRWIN) obtenue à partir de \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) . Il permet aussi de tester l’invariance du calcul par rapport aux couronnes d’intégration.

Ce test contient 3 modélisations différentes : la modélisation A qui traitait du calcul de l’intégrale de Rice n’est plus supportée depuis la version 3.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Solution de référence de BROWN & STRAWLEY [bib1]:

\(J={F}^{2}\pi a{\sigma}^{2}/E\) avec \(F=1.98\)

\(a\) en \(\mathit{mm}\)

\(\sigma\) et \(E\) en \(N/{\mathrm{mm}}^{2}\)

Résultats de référence pour \(G\)#

Les résultats de référence \(G={1.98}^{2}\times \pi \times 37.5\times 0.5{10}^{-5}=2.3093{10}^{-3}\mathrm{Mpa.mm}\)

La formule

(IRWIN) = \(\frac{1}{E}({K}_{1}^{2}+{K}_{2}^{2})\) conduit, comme

, à \({K}_{1}=21.491{\mathrm{MPa.mm}}^{1/2}\)

Résultats de référence pour les dérivées de \(G\)#

En faisant varier le module d’Young et le chargement \(\mathrm{Fy}\) , on constate que:

\(G=\alpha {F}_{Y}^{2}`avec :math:\)alpha =2.3{10}^{-3}`soit \(\frac{\partial G}{\partial {F}_{Y}}=2\alpha {F}_{Y}\)#

\(G=\frac{\beta}{E}\) avec \(\beta =460.\) soit \(\frac{\partial G}{\partial E}=-\frac{G}{E}\)

Référence bibliographique#

BROWN-STAWLEY ASTM Special Technical Publication n° 410 (1966)

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

On calcule le champ \(\theta\) puis le taux de restitution d’énergie \(G\) , les coefficients de contraintes \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) , le taux de restitution d’énergie obtenu par la formule d’IRWIN, la direction de propagation de la fissure.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de noeuds : 673

Nombre de mailles et types : 112 mailles QUAD8 et 142 mailles TRIA6

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs testées sont le taux de restitution de l’énergie calculé par la méthode théta et le taux de restitution de l’énergie calculé par la formule d’IRWIN à partir des coefficients d’intensité de contraintes \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) .

Identification	Référence	Tolérance
Couronnes 1 à 6 \(G\)	\(2.3093{10}^{-3}\)	<1%
Couronnes 1 à 6 \(G\) (IRWIN)	\(2.3093{10}^{-3}\)	<1%
Couronnes 1 à 6 \({K}_{1}\)	\(24.491\)	<1%
Couronnes 1 à 6 \({K}_{2}\)	\(0.\)	absolue

Remarque#

Le calcul de \(G\) , \({K}_{1}\) , \({K}_{2}\) , \(G\) (IRWIN) \(=\frac{1}{E}({K}_{1}^{2}+{K}_{2}^{2})\) a été effectué à partir de 6 champs \(\theta\) différents, correspondants chacun à une couronne circulaire centrée en \(C\) .

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Le chargement diffère:

on supprime la contrainte imposée en \(Y=h\) ,
on impose une pression \(p=–1\) sur les lèvres de la fissure.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de noeuds : 673

Nombre de mailles et types : 112 mailles QUAD8 et 142 mailles TRIA6

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs de \(G\)

Identification	Référence	Tolérance
Couronnes 1 à 6 \(G\)	\(2.3093{10}^{-3}\)	\(\text{<1\%}\)
Couronnes 1 à 6 \(G\) (IRWIN)	\(2.3093{10}^{-3}\)	\(\text{<1\%}\)
Couronnes 1 à 6 \({K}_{1}\)	\(22.529\)	\(\text{<1\%}\)
Couronnes 1 à 6 \({K}_{2}\)	\(0.\)	absolue

Remarque#

Le calcul de \(G\) , \({K}_{1}\) , \({K}_{2}\) et \(G\) (IRWIN) \(=\frac{1}{E}({K}_{1}^{2}+{K}_{2}^{2})\) a été effectué à partir des mêmes champs \(\theta\) que pour la modélisation précédente. Les résultats sont identiques.

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Le chargement considéré ici est un chargement variable le long des lèvres de la fissure. On impose une pression variable sur les lèvres de la fissure:

\(p=\frac{x-100}{37,5}\) .

On impose aussi dans une seconde résolution une force de contour équivalente sur les lèvres. Théoriquement, les résultats sont les mêmes.

Caractéristiques du maillage#

Maillage de la modélisation C.

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs de \(G\) issues de CALC_G, option G.

Valeurs de \({G}_{\mathit{IRWIN}}\) , \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) issues de CALC_G, option K.

On teste ces valeurs pour les 2 chargements cités au § 5.1 .

Identification	Référence	Tolérance
Couronnes 1 à 6 \(G\)	\(6,0{10}^{-4}\)	\(\text{<0,5\%}\)
Couronnes 1 à 6 \(G\) (IRWIN)	\(6,0{10}^{-4}\)	\(\text{<0,55\%}\)
Couronnes 1 à 6 \({K}_{1}\)	\(10,95\)	\(\text{<0,5\%}\)
Couronnes 1 à 6 \({K}_{2}\)	\(0.\)	absolue

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

Cette modélisation est identique à la modélisation B, à l’exception que l’on se place ici que le formalisme de lèvres décollées (mot clé CONFIG_INIT de DEFI_FOND_FISS renseigné à la valeur DECOLLEE). Aucune raison physique ne justifie ce choix de formalisme, le test étant réalisé uniquement à des fins de couverture informatique.

Les résultats sont identiques à ceux de la modélisation B.

Synthèse des résultats#

Le calcul de \(G\) n’est pas sensible au choix du domaine d’intégration.