r5.03.20 Relation de comportement élastique non linéaire en grands déplacements

Résumé:

On se propose de décrire ici une relation de comportement élastique non linéaire qui coïncide avec la loi élastoplastique de Hencky-VonMises (écrouissage isotrope) dans le cas d’un chargement qui induit une évolution radiale et monotone des contraintes en tout point de la structure. Ce modèle est choisi dans la commande STAT_NON_LINE par l’intermédiaire du mot-clé RELATION=”ELAS_VMIS_LINE” ou “ELAS_VMIS_TRAC” sous le mot-clé facteur COMPORTEMENT.

On étend ensuite cette relation de comportement à des grands déplacements et des grandes rotations, dans la mesure où elle dérive d’un potentiel (loi hyperélastique); cette fonctionnalité est choisie par l’intermédiaire du mot-clé DEFORMATION=”GROT_GDEP”. Elle est disponible pour tous les éléments isoparamétriques 2D et 3D.

Élasticité en grandes transformations

Objectif

Dorénavant, on se propose de prendre en compte de grands déplacements et de grandes rotations, fonctionnalité accessible par le mot-clé DEFORMATION=”GROT_GDEP” dans la commande STAT_NON_LINE. Précisons dès maintenant que l’on se restreint à des éléments finis isoparamétriques (D_PLAN, C_PLAN, AXIS et 3D) pour lesquels la discrétisation du problème continu ne pose pas de difficultés particulières, cf.[R3.01.00].

Dans ce but, on admet que le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhof, \(S\) , dérive du potentiel de Hencky-VonMises exprimé à l’aide de la déformation de Green-Lagrange \(E\) :

\(\mathrm{S}=\frac{\partial \Psi }{\partial E}\left(\mathrm{E}\right)\)

Rappelons également les définitions de \(E\) et \(S\) . On peut également trouver des informations complémentaires dans [bib1].

\(\begin{array}{}F=\text{Id}+\text{Grad}(u)\text{}E=\frac{1}{2}({}^{T}\text{}\text{FF}-\text{Id})\\ S=\text{Det}(F){F}^{-1}\sigma {}^{T}\text{}{F}^{-1}\end{array}\)

Une telle relation de comportement, dite hyperélastique, permet en toute rigueur de prendre en compte de grandes déformations et de grandes rotations. Toutefois, nous nous limitons à de petites déformations, et ce pour deux raisons. Tout d’abord, la relation de comportement adoptée ne présente pas les bonnes propriétés (polyconvexité) pour assurer l’existence de solutions et ne contrôle pas non plus les compressions importantes. Ensuite, le comportement plastique diffère notablement d’un comportement hyperélastique dès que les déformations deviennent appréciables. C’est pour ces raisons que nous avons choisi de conserver l’hypothèse de petites déformations, échappant ainsi à la polémique des grandes déformations.

Travail virtuel des efforts extérieurs : hypothèse des charges mortes

Pour traiter le problème de calcul de structures hyperélastiques, on cherche à écrire l’équilibre sous forme variationnelle sur la configuration initiale. En particulier, il faut exprimer le travail virtuel des efforts extérieurs sur cette même configuration initiale ce qui nécessite l’hypothèse supplémentaire de charges mortes: on suppose que le chargement ne dépend pas de la transformation géométrique. Typiquement, une force imposée est une charge morte tandis que la pression est un chargement suiveur puisqu’il dépend de l’orientation de la face d’application, donc de la transformation. Sous cette hypothèse, le travail virtuel des efforts extérieurs s’écrit comme une forme linéaire:

\({\mathit{dW}}_{\text{ext}}.\delta \mathrm{v}=\underset{{\Omega}_{o}}{\int}{\rho}_{o}{F}_{i}\delta {v}_{i}d{\Omega}_{o}+\underset{{\partial}_{F}{\Omega}_{o}}{\int}{T}_{i}^{d}\delta {v}_{i}{\text{dS}}_{o}\)

\(F\) : chargement volumique

\({T}^{d}\) : chargement surfacique s’exerçant sur le bord \({\partial}_{F}{\Omega}_{o}\)

Travail virtuel des efforts intérieurs

Nous ne donnerons pas ici de démonstration des expressions présentées. Pour cela, on pourra se reporter à [bib1] et [R7.02.03]. Là encore, nous choisissons la configuration initiale comme configuration de référence, pour exprimer le travail des efforts intérieurs:

\({\text{dW}}_{int}.\delta \mathrm{v}=\underset{{\Omega}_{o}}{\int}{F}_{\text{ik}}{S}_{kl}\delta {v}_{i,l}d{\Omega}_{o}\)

avec : \(\delta {v}_{i,l}=\frac{\partial {\mathrm{dv}}_{i}}{\partial {X}_{l}}\)

Dans l’optique d’une résolution par une méthode de Newton, il importe d’exprimer également la variation seconde du travail virtuel des efforts intérieurs, à savoir:

\({d}^{2}{W}_{int}.\delta \mathrm{u}.\delta \mathrm{v}=\phantom{\rule{2em}{0ex}}\underset{{\Omega}_{o}}{\int}\delta {u}_{i,k}{S}_{kl}\delta {v}_{i,l}d{\Omega}_{o}\)	Rigidité géométrique
\(\mathrm{...}\phantom{\rule{2em}{0ex}}+\underset{{\Omega}_{o}}{\int}\delta {u}_{i,q}{F}_{\text{ip}}\frac{{\partial}^{2}\Psi }{\partial {E}_{\text{pq}}\partial {E}_{kl}}{F}_{\text{jk}}\delta {v}_{j,l}d{\Omega}_{o}\)	Rigidité élastique

Formulation variationnelle

Nous avons maintenant à notre disposition tous les ingrédients pour écrire la formulation variationnelle du problème:

\({\mathit{dW}}_{int}.\delta \mathrm{v}={\text{dW}}_{\text{ext}}.\delta \mathrm{v}\) , \(\forall \delta v\) cinématiquement admissible

Bibliographie

1. LORENTZ E.: Une relation de comportement hyperélastique non linéaire. Note interne EDF DER, HI-74/95/011/0, 1995.

Description des versions du document

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
3	E.LorentzEDF-R&D/MMN	Texte initial
10.1	J.M.Proix EDF-R&D/AMA	Changement de vocabulaire : GREEN devient GROT_GDEP