v4.41.001 TPNA01 - Problème axisymétrique stationnaire avec rayonnement#
Résumé:
Ce test élémentaire permet de traiter un problème axisymétrique en thermique stationnaire avec une condition aux limites de type rayonnement. La solution est analytique. Le problème est traité en axisymétrique et en volumique.
Pour les modélisations présentées ici, les écarts des résultats obtenus par Code_Aster se situent entre 1 et 2% de la référence calculée analytiquement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On dispose d’une solution analytique dans le cas d’un cylindre de longueur infinie :
\(T(r)=\frac{{T}_{e}-{T}_{i}}{\log(\frac{{R}_{e}}{{R}_{i}})}\log(r)+\frac{{T}_{i}\log({R}_{e})-{T}_{e}\log({R}_{i})}{\log({R}_{e})-\log({R}_{i})}\)
Résultats de référence#
\(r(m)\) |
\(T(°C)\) |
.30000 |
105.55 |
.32275 |
99.21 |
.34550 |
93.30 |
.36825 |
87.76 |
.39100 |
82.56 |
Valeur de la température en fonction de \(r\)
\(r(m)\) |
\(\phi (W/{m}^{2})\) |
.300 |
11577.49 |
.391 |
8822.98 |
Valeur du flux en fonction de \(r\)
Incertitude sur la solution#
Solution exacte.
Références bibliographiques#
Guide de validation des progiciels de calcul de structures. Société Française des Mécaniciens AFNOR 1990 ISBN 2-12-486611-7
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 2D :
Caractéristiques du maillage#
2 QUAD8
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnée \(z=0.0\)
Identification température |
Référence |
\(\mathit{N1}\) (\(r=.30000\) ) |
105.55 |
\(\mathit{N3}\) (\(r=.32275\) ) |
99.21 |
\(\mathit{N6}\) (\(r=.34550\) ) |
93.30 |
\(\mathit{N11}\) (\(r=.36825\) ) |
87.76 |
\(\mathit{N9}\) (\(r=.39100\) ) |
82.56 |
Identification flux |
Référence |
maille \(\mathit{M1}\) nœud \(\mathit{N1}\) |
11577.49 |
maille \(\mathit{M2}\) nœud \(\mathit{N9}\) |
8822.98 |
Remarques#
La condition aux limites de type rayonnement est fournie sous la forme d’une fonction de la température interpolée linéairement entre chaque point (on a discrétisé ici la courbe à l’aide de 101 points).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D :
Caractéristiques du maillage#
32 HEXA20
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(y=z=0.0\)
Identification température |
Référence |
NO106 (x=.30000) |
105.55 |
NO105 (x=.32275) |
99.21 |
NO115 (x=.34550) |
93.30 |
NO125 (x=.36825) |
87.76 |
NO123 (x=.39100) |
82.56 |
Identification flux |
Référence |
maille MA17 nœud NO106 |
11577.49 |
maille MA16 nœud NO123 |
8822.98 |
Remarques#
La fonction de flux utilisée dans la modélisation A est aussi utilisée ici.
Synthèses des résultats#
La prise en compte des conditions de rayonnement est tout à fait correcte dans ce cas stationnaire. Notons que ce test fait intervenir un coefficient de conductivité thermique constant, la seule non‑linéarité porte donc sur les conditions aux limites.
Les erreurs sont plus élevées sur le calcul du flux, ce que l’on peut expliquer par l’utilisation des lissages aux nœuds, effectués à partir des valeurs calculées aux points d’intégration (points de GAUSS).