v6.03.150 SSNP150 – Méthode des solutions manufacturées en contact 2D et grandes déformations#

Résumé:

L’objectif de ce test est de vérifier la modélisation du contact 2D en grandes déformations grâce à la méthode des solutions manufacturées [bib1].

Solution de référence#

Méthode de calcul#

La solution de référence analytique est donnée par :

(4745)#\[\begin{split}\begin{array}{ccc}\mathit{Ux}& =& -0.2\times Y\times Y\times Y\times (X-0.5)\\ \mathit{Uy}& =& -0.05\times (X-0.5)\times (X-0.5)\times (1+Y)-0.01\times Y\end{array}\end{split}\]

Les conditions de Dirichlet, de Neumann et le terme source sont obtenus par la méthode des solutions manufacturées [bib1].

On commence par déterminer le gradient de la transformation \(\underline{\underline{F}}\) :

(4746)#\[\underline{\underline{F}}=\underline{\nabla}\underline{U}+\underline{\underline{\mathit{Id}}}\]

Connaissant la normale \(\underline{N}={[0,-1]}^{T}\) à la surface esclave dans la configuration non-déformée, on obtient son expression dans la configuration déformée par la formule de Nanson :

(4747)#\[\underline{n}=\frac{{\underline{\underline{F}}}^{-T}\underline{N}}{\parallel {\underline{\underline{F}}}^{-T}\underline{N}\parallel }\]

Connaissant le tenseur de Hooke \(\underline{\underline{\underline{\underline{A}}}}\) et le tenseur de Green-Lagrange \(\underline{\underline{E}}\) , on calcule le second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\underline{\underline{S}}\) :

(4748)#\[\underline{\underline{E}}=\frac{1}{2}({\underline{\underline{F}}}^{T}\cdot \underline{\underline{F}}-\underline{\underline{\mathrm{Id}}})\]
(4749)#\[\underline{\underline{S}}=\underline{\underline{\underline{\underline{A}}}}:\underline{\underline{E}}\]

On rappelle que le second tenseur de Piola-Kirchhoff \(\underline{\underline{S}}\) permet d’obtenir des efforts en configuration non déformée par unité de surface non déformée :

(4750)#\[\frac{d\underline{{f}_{0}}}{\mathit{dA}}=\underline{\underline{S}}\cdot \underline{N}\]

Comme nous cherchons à déterminer des efforts en configuration déformée, nous allons déterminer le premier tenseur de Piola-Kirchhoff \(\underline{\underline{\Pi}}\)

(4751)#\[\underline{\underline{\Pi}}=\underline{\underline{F}}\cdot \underline{\underline{S}}\]

On peut ainsi déterminer les forces de volume \({\underline{f}}_{\mathit{vol}}\) :

(4752)#\[{\underline{f}}_{\mathit{vol}}=\text{-div}\underline{\underline{\Pi}}\]

Connaissant la normale en configuration initiale sur les différentes faces et le premier tenseur de Piola-Kirchhoff \(\underline{\underline{\Pi}}\) , on peut calculer les efforts de surface en configuration déformée :

(4753)#\[{\underline{f}}_{\text{surf}}=\underline{\underline{\Pi}}\cdot \underline{N}\]

Sur la surface \(\text{BAS}\) qui est en contact, il faut un traitement particulier. En effet, les efforts normaux y sont pris en compte par le contact :

(4754)#\[\begin{split}\begin{array}{ccccc}{\underline{f}}_{\text{surf}}^{\text{BAS}}& =& {\underline{f}}_{{\text{surf}}_{n}}^{\text{BAS}}& +& {\underline{f}}_{{\text{surf}}_{t}}^{\text{BAS}}\\ & =& {\underline{f}}_{\text{contact}}& +& {\underline{f}}_{{\text{surf}}_{t}}^{\text{BAS}}\\ & =& p\ast \underline{n}& +& {\underline{f}}_{{\text{surf}}_{t}}^{\text{BAS}}\end{array}\end{split}\]

Où \(p\) désigne la pression de contact. Elle peut être déterminée par l’expression :

(4755)#\[p=(\underline{\underline{\Pi}}\cdot \underline{N})\cdot \underline{n}\]

Il ne faut donc y appliquer que les efforts tangentiels. On les calcule par l’expression :

(4756)#\[\begin{split}\begin{array}{ccc}{\underline{f}}_{{\text{surf}}_{t}}^{\text{BAS}}& =& {\underline{f}}_{\text{surf}}^{\text{BAS}}-{\underline{f}}_{{\text{surf}}_{n}}^{\text{BAS}}\\ & =& {\underline{f}}_{\text{surf}}^{\text{BAS}}-({\underline{f}}_{{\text{surf}}_{n}}^{\text{BAS}}\cdot \underline{n})\underline{n}\end{array}\end{split}\]

Concernant les efforts de contact, il est absolument indispensable de construire la solution manufacturée de manière à ce qu’ils vérifient les équations du contact [bib2], à savoir :

(4757)#\[\begin{split}\begin{array}{ccc}\text{gap}(\underline{U})& \text{}⩾\text{}& 0\\ p& \text{}⩽\text{}& 0\\ p\cdot \text{gap}(\underline{U})& =& 0\end{array}\end{split}\]
../../../../_images/verification_posteriori_validite_solution.png

Fig. 642 Vérification a postérori de la validité de la solution#

Cette vérification se fait après avoir calculé de façon analytique la pression et le saut de déplacement associés à la solution manufacturée, en général avec un outil de calcul formel (en l’occurence, il s’agit du module Python sympy ). On doit alors les visualiser, afin de vérifier rétrospectivement que la solution que l’on a contruite vérifie bien (). Dans le cas de ce test, nous avons représenté pression et saut de déplacement analytiques en fig.. On remarque qu’il vérifient \(p<0\) et \(\text{gap}(\underline{U})=0\) , ce qui est caractéristique d’une surface entièrement contactante, et conforme à ().

Grandeurs et résultats de référence#

La valeur de l’écart entre solutions analytique et calculée sur le maillage : \(\sum^{\text{noeuds}n}\mid {\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{ref}}\mid\) .

Dans le cas des modélisations qui réalisent une analyse de convergence avec la finesse du maillage, la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\parallel {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\parallel }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\parallel {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\parallel }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

Incertitudes sur la solution#

Aucune

Références bibliographiques#

[bib1]

Document u2.08.08, Utilisation de la Méthode des Solutions Manufacturées pour la validation logicielle, Documentation U2 de Code_Aster

[bib2]

Document r5.03.50, Formulation discrète du contact-frottement, Documentation R de Code_Aster

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage contient 65 éléments de type SEG3 et 256 éléments de type QUAD8.

La surface maître courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la somme des valeurs absolues de l’écart entre la solution calculée et la solution analytique.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\(\sum^{\text{noeuds}n}\mid {\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{ref}}\mid\)

“NON_REGRESSION”

4.03888411513E-05

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN.

Caractéristiques du maillage#

On réalise une étude de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique. Une suite de maillages obtenus par raffinement uniforme à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL est utilisée :

  • maillage 0 : 5 SEG3, 1 QUAD8

  • maillage 1 : 9 SEG3, 4 QUAD8

  • maillage 2 : 17 SEG3, 16 QUAD8

  • maillage 3 : 32 SEG3, 64 QUAD8

  • maillage 4 : 64 SEG3, 256 QUAD8

La surface maître courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\Vert {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\Vert }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\Vert {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\Vert }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

On teste aussi la somme des valeurs absolues de l’écart entre la solution calculée et la solution analytique pour le déplacement.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\(\sum^{\text{noeuds}n}|{\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}_{\text{n}}^{\text{ref}}|\)

“NON_REGRESSION”

6.62799356621E-07

\({\alpha}_{U}\)

“ANALYTIQUE”

3.0

\({\alpha}_{p}\)

“ANALYTIQUE”

2.5

\({\alpha}_{p}\)

“NON_REGRESSION”

2.8035

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN avec le type d’élément TRIA3 et la méthode LAC de traitement du contact.

Caractéristiques du maillage#

On réalise une étude de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique. Une suite de maillages obtenus par raffinement uniforme à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL est utilisée :

  • maillage 0 : 10SEG2, 10TRIA3

  • maillage 1 : 20SEG2, 36TRIA3

  • maillage 2 : 40SEG2, 136 TRIA3

  • maillage 3 : 80SEG2, 1528TRIA3

  • maillage 4 : 160SEG2, 2080TRI3

  • maillage 5 : 320SEG2, 8256TRI3

La surface \(\text{MAITRE}\) courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\parallel {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\parallel }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\parallel {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\parallel }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\({\alpha}_{U}\)

“ANALYTIQUE”

2.0

\({\alpha}_{p}\)

“ANALYTIQUE”

0.5

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN avec le type d’élément TRIA6 et la méthode LAC de traitement du contact.

Caractéristiques du maillage#

On réalise une étude de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique. Une suite de maillages obtenus par raffinement uniforme à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL est utilisée :

  • maillage 0 : 8SEG3, 8TRIA6

  • maillage 1 : 16SEG3, 32TRIA6

  • maillage 2 : 32SEG3, 128TRIA6

  • maillage 3 : 64SEG3, 512TRIA6

  • maillage 4 : 128SEG3, 2048TRI6

  • maillage 5 : 256SEG3, 8192TRI6

La surface \(\text{MAITRE}\) courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\parallel {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\parallel }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\parallel {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\parallel }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\({\alpha}_{U}\)

“ANALYTIQUE”

2.5

\({\alpha}_{p}\)

“ANALYTIQUE”

1.0

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN avec le type d’élément QUAD4 et la méthode LAC de traitement du contact.

Caractéristiques du maillage#

On réalise une étude de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique. Une suite de maillages obtenus par raffinement uniforme à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL est utilisée :

  • maillage 0 : 6SEG2, 4QUAD4

  • maillage 1 : 12SEG2, 10QUAD4

  • maillage 2 : 24SEG2, 28QUAD4

  • maillage 3 : 48SEG2, 88QUAD4

  • maillage 4 : 96SEG2, 304QUAD4

  • maillage 5 : 192SEG2, 1120QUAD4

La surface \(\text{MAITRE}\) courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\parallel {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\parallel }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\parallel {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\parallel }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\({\alpha}_{U}\)

“ANALYTIQUE”

2.0

\({\alpha}_{p}\)

“ANALYTIQUE”

0.5

Modélisation f#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation D_PLAN avec le type d’élément QUAD8 et la méthode LAC de traitement du contact.

Caractéristiques du maillage#

On réalise une étude de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique. Une suite de maillages obtenus par raffinement uniforme à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL est utilisée :

  • maillage 0 : 4SEG2, 1QUAD8

  • maillage 1 : 8SEG2, 4QUAD8

  • maillage 2 : 16SEG2, 16QUAD8

  • maillage 3 : 32SEG2, 64QUAD8

  • maillage 4 : 64SEG2, 256QUAD8

  • maillage 5 : 128SEG2, 1024QUAD8

La surface \(\text{MAITRE}\) courbe est représentée par un unique SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste la vitesse de convergence avec la finesse du maillage de la solution calculée vers la solution analytique en norme \({L}_{2}\) :

  • le plus grand réel \({\alpha}_{U}>0\) tel que \({\parallel {\underline{U}}^{\text{calc}}-{\underline{U}}^{\text{ref}}\parallel }_{0,\Omega }<{C}_{U}\times {h}^{{\alpha}_{U}}\) où \({C}_{U}\) est indépendant de \(h\) pour le déplacement;

  • le plus grand réel \({\alpha}_{p}>0\) tel que \({\parallel {p}^{\text{calc}}-{p}^{\text{ref}}\parallel }_{0,{\Gamma}_{C}}<{C}_{p}\times {h}^{{\alpha}_{p}}\) où \({C}_{p}\) est indépendant de \(h\) pour la pression de contact.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

\({\alpha}_{U}\)

“ANALYTIQUE”

2.5

\({\alpha}_{p}\)

“ANALYTIQUE”

1.0

Synthèse des résultats#

Les résultats sont en très bon accord avec la théorie.