v3.01.106 SSLL106 - Tuyau droit#

Résumé:

Ce test permet une vérification simple des éléments de tuyaux droits en mécanique des structures statique linéaire. Le modèle est linéique.

Pour chaque modélisation, 6 types de chargement sont appliqués à l’extrémité: une traction, 2 efforts tranchants, 2 moments de flexion et une torsion. On applique de plus une pression interne, une force linéique répartie et une dilatation thermique.

Les valeurs testées sont les déplacements, les efforts aux nœuds, et les contraintes et déformations aux points de Gauss. La solution de référence est analytique (RDM).

  • Deux modélisations (A et B) permettent de tester l’élément TUYAU à 3 modes de Fourier (modélisation TUYAU_3M): la modélisation A utilise MECA_STATIQUE, la modélisation B utilise STAT_NON_LINE (comportement élastique).

  • Deux modélisations (C et D) permettent de tester l’élément TUYAU avec 6 modes de Fourier (modélisation TUYAU_6M).

  • Deux modélisations (E et F) permettent de tester l’élément TUYAU avec 3 modes de Fourier et 4 nœuds (modélisation TUYAU_3M).

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Solution analytique [V3.01.102] (cinématique de Timoshenko): déplacements en \(B\) dans le repère \((\mathit{Oxyz})\) lié à la poutre. La solution analytique pour le chargement en pression dans [bib2].

\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{Traction simple : } & {u}_{x}=\frac{{F}_{x}L}{ES} &\\\text{Flexion simple : } & {u}_{y}=\frac{{F}_{y}{L}^{3}(4+\Phi_y)}{12E{I}_{z}} & {\theta}_{z}=\frac{{L}^{2}{F}_{y}}{2E{I}_{z}}\\\text{Flexion simple : } & {u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+\Phi_z)}{12E{I}_{y}} & {\theta}_{y}=\frac{-{L}^{2}{F}_{z}}{2E{I}_{y}}\\\text{Torsion : } & {\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}} &\\\text{Flexion pure : } & {u}_{z}=\frac{-{M}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{y}} & {\theta}_{y}=\frac{{M}_{y}L}{E{I}_{y}}\\\text{Flexion pure : } & {u}_{y}=\frac{{M}_{z}{L}^{2}}{2E{I}_{z}} & {\theta}_{z}=\frac{{M}_{z}L}{E{I}_{z}}\\\text{Pression : } & {u}_{r}=\frac{P{b}^{2}r}{E({b}^{2}-{a}^{2})}\left[(1-\nu )+(1+\nu )\frac{{a}^{2}}{{r}^{2}}\right]\end{aligned}\end{align} \]

Avec \(u_r\) calculé en \(r=\frac{a+b}{2}\).

Les coefficients de cisaillement sont donnés par :

\[ \begin{align}\begin{aligned}\Phi_y = \frac{12EI_z}{L^2 G A'_y}\\\Phi_z = \frac{12EI_y}{L^2 G A'_z}\end{aligned}\end{align} \]

Ici, les valeurs sont obtenues avec \(S = A'_y = A'_z\).

Pour les déformations généralisées de poutre, on obtient, par la loi de comportement:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\text{Traction simple : } & {\epsilon}_{x}=\frac{{F}_{x}}{ES} &\\\text{Flexion simple : } & {\gamma}_{xy}=\frac{{F}_{y}}{GA'_y} & {\kappa}_{z}=\frac{{F}_{y}(L-x)}{E{I}_{z}}\\\text{Flexion simple : } & {\gamma}_{xz}=\frac{{F}_{z}}{GA'_z} & {\kappa}_{y}=\frac{{F}_{z}(L-x)}{E{I}_{y}}\\\text{Torsion : } & & {\kappa}_{x}=\frac{{M}_{x}}{G{J}_{x}}\\\text{Flexion pure : } & & {\kappa}_{y}=\frac{{M}_{y}}{E{I}_{y}}\\\text{Flexion pure : } & & {\kappa}_{z}=\frac{{M}_{z}}{E{I}_{z}}\\\text{Pression : } & \epsilon_{\theta\theta} = P \frac{b}{E e} &\end{aligned}\end{align} \]

~~~

Chargement de pesanteur et chargement linéique :

Si \(p\) désigne la charge répartie, le moment à l’origine vaut \(M(O)=\frac{p{L}^{2}}{2}\) et le déplacement suivant \(z\) à l’extrémité B vaut: \({u}_{z}(B)=\frac{p{L}^{4}}{8EI} + \frac{pL^2}{2GA'}\).

~~~

Le chargement de dilatation thermique conduit à un déplacement axial (dans la direction locale \(x\)):

\[{U}_{x}(B)=L(\alpha T)\]

Les déformations de dilatation libre de la surface du tuyau sont simplement, en repère local:

\[{\epsilon}_{xx}={\epsilon}_{yy}=\alpha T\]

~~~

Enfin pour valider le calcul de la matrice de masse, une analyse modale des 14 premiers modes propres (avec encastrement en \(O\) ) est menée. L’analyse modale doit faire apparaître les modes de flexion, de traction-compression et de torsion.

La fréquence propre du mode de traction-compression est donnée par :

\[f_{0, x} = \frac{1}{4L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\]

La fréquence propre du mode de torsion est donnée par :

\[f_{0, \theta_{x}} = \frac{1}{4L}\sqrt{\frac{G}{\rho}}\]

Les fréquences propres des modes de flexion ne peuvent pas être déterminées analytiquement dans la théorie de Timoshenko, puisqu’elles sont solutions d’une équation non-linéaire sans aucune solution analytique connue [bib1]. Cependant, leurs valeurs peuvent être approchées par une résolution numérique de cette équation.

Remarque

On sait cependant que les fréquences propres des modes de flexion de la théorie d’Euler-Bernoulli constituent une borne supérieure :

\[{f}_{i}=\frac{1}{2\pi}{(\frac{{\lambda}_{i}}{L})}^{2}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}\]

avec les \({\lambda}_{i}\) dans le tableau suivant. L’application numérique pour la théorie d’Euler-Bernoulli est donnée à titre informatif.

Mode (Euler-Bernoulli)

\({\lambda}_{i}\)

Fréquence (Hz)

1

1.87510407

3.049775

2

4.69409113

19.11262

3

7.85475744

53.51588

4

10.9955407

104.8698

5

14.1371684

173.3572

6

17.2787596

258.9657

L’application numérique pour l’ensemble des modes donne (les modes de flexion sont doublés):

Mode

Fréquence (Hz)

Type

1 / 2

3.0490368

Flexion

3 / 4

19.080406

Flexion

5 / 6

53.301747

Flexion

7 / 8

104.09877

Flexion

9

157.01857

Torsion

10 / 11

171.33874

Flexion

12

253.18484

Traction-Compression

13 / 14

254.60565

Flexion

Résultats de référence#

  • Déplacement aux point \(B\) , efforts, contraintes et déformations au voisinage du point \(O\) ;

  • Déformation généralisées ;

  • Fréquences propres.

Incertitude sur la solution#

Solution analytique pour l’ensemble des valeurs hors fréquences propres des modes de flexion.

Solution analytique approchée par un calcul numérique pour les fréquences propres des modes de flexion. La précision est la tolérance machine.

Références bibliographiques#

[bib1]

T.C. Huang. The effect of rotatory inertia and of shear deformation on the frequency and normal mode equations of uniform beams with simple end conditions. Journal of Applied Mechanics, 28:579–584, 1961.

[bib2]

Cécile Berriet, Jérôme Chambert. Analyse d’un cylindre à paroi mince sous pression : un support simple de montée en compétences. Congrès Français de Mécanique, Aug 2019, Brest, France.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

10 éléments TUYAU_3M.

Caractéristiques du maillage#

10 mailles SEG3. La poutre est orientée selon le vecteur \((4,3,0)\) .

Remarques sur le contenu des champs#

Les champs aux points de Gauss pour l’élément TUYAU_3M, EPSI_ELGA et SIEF_ELGA, qui fournissent les déformations et les contraintes aux points d’intégration dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1=7)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1=33)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondent à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Pour MECA_STATIQUE ou MACRO_ELAS_MULT , le nombre de couches est fixé, et égal à 3, et le nombre de secteurs est égal à 16.

EFGE_ELNO représente les efforts généralisés aux 3 nœuds de la façon classique: N, VY, VZ, MT, MFY, MFZ.

Grandeurs testées et Résultats de la modélisation A#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

1.5e-08 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

2.7e-08 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

1.7e-10 %

EPSI_ELGA/EPXX

2.618e-06

2.6e-06 %

EFGE_ELNO/N

500 N

1.2e-11 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

3.1e-10 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.22%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.22%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EPSI_ELGA/EPXY

1.786e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

2e-12 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

2.4e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.8e-09 %

DEGE_ELNO/KZ

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

1.6e-11 %

EPSI_ELGA/EPYY

4.5e-04

1.4e-12 %

  1. Pesanteur

DEPL/DZ

4.210e-02 m

2.64e-01 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

5.1e-02 %

  1. Charge répartie

DEPL/DZ

4.210e-02 m

2.64e-01 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

5.1e-02 %

  1. Thermique

DEPL/DX

0.008 m

1.5e-08 %

DEPL/DY

0.006 m

2.8e-08 %

FORC_NODA

0 N ou 0 N.m

EPSI_ELGA/EPXX

0.002

7.4e-12 %

EPSI_ELGA/EPYY

0.002

4.4e-12 %

Fréquence propre

Référence

% différence

1

3.0490368

0.13 %

2

3.0490368

0.13 %

3

19.080406

0.12 %

4

19.080406

0.12 %

5

53.301747

0.09 %

6

53.301747

0.09 %

7

104.09877

0.04 %

8

104.09877

0.04 %

9

157.01857

6.1e-06 %

10

171.33874

0.04 %

11

171.33874

0.04 %

12

253.18484

6.4e-04%

13

254.60565

0.17 %

14

254.60565

0.17 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant ne sont pas précises pour cette modélisation. Ceci est dû aux fonctions d’interpolation d’ordre 2 de cet élément, pour les déplacements de poutre et les rotations de poutres. Comme les cisaillements transverses de poutre sont obtenus par: \({\gamma}_{xy}={\theta}_{z}-\frac{{\mathit{du}}_{y}}{\mathit{dx}}\) , et que pour la flexion simple, les rotations varient comme des polynômes d’ordre 2, mais les déplacements, comme des polynômes d’ordre 3, ce qui est mal approché par les fonctions d’interpolation. La dérivée des déplacements n’est donc pas précise.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

10 éléments TUYAU, calcul avec STAT_NON_LINE.

Caractéristiques du maillage#

10 mailles SEG3. La poutre est orientée selon le vecteur (4, 3, 0).

Remarque sur le contenu des champs#

Les champs de contraintes aux points de Gauss pour l’élément TUYAU, SIEF_ELGA, dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondent à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Dans STAT_NON_LINE , le nombre de couches est variable, ainsi que le nombre de secteurs. On utilise ici 3 couches et 16 secteurs par analogie avec la modélisation A).

Grandeurs testées et résultats de la modélisation B#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

7.9e-08 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

1.6e-09 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

1.0e-10 %

EFGE_ELNO/N

500 N

3.2e-12 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

1.1e-10 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.22%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.22%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

4.3e-11 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

2.4e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.8e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

1.6e-11 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant ne sont pas précises pour cette modélisation. Ceci est dû aux fonctions d’interpolation d’ordre 2 de cet élément, pour les déplacements de poutre et les rotations de poutres. Comme les cisaillements transverses de poutre sont obtenus par: \({\gamma}_{xy}={\theta}_{z}-\frac{{\mathrm{du}}_{y}}{\mathrm{dx}}\) , et que pour la flexion simple, les rotations varient comme des polynômes d’ordre 2, mais les déplacements, comme des polynômes d’ordre 3, ce qui est mal approché par les fonctions d’interpolation. La dérivée des déplacements n’est donc pas précise.

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

10 éléments TUYAU_6M.

Caractéristiques du maillage#

10 mailles SEG3. La poutre est orientée selon le vecteur (4, 3, 0).

Remarque sur le contenu des champs#

Les champs aux points de Gauss pour l’élément TUYAU, EPSI_ELGA et SIEF_ELGA, qui fournissent les déformations et les contraintes aux points d’intégration dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1=7)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1=33)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondant à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Pour MECA_STATIQUE ou MACRO_ELAS_MULT , le nombre de couches est fixé, et égal à 3, et le nombre de secteurs est égal à 16.

EFGE_ELNO représente les efforts généralises aux 3 nœuds de la façon classique: N, VY, VZ, MT, MFY, MFZ .

Grandeurs testées et résultats de la modélisation C#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

2.4e-08 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

4.39e-08 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

1.7e-10 %

EPSI_ELGA/EPXX

2.618e-06

1.6e-10 %

EFGE_ELNO/N

500 N

1.2e-11 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

3.1e-10 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.22%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.22%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EPSI_ELGA/EPXY

1.786e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

5e-12 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

2.4e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.8e-09 %

DEGE_ELNO/KZ

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

1.6e-11 %

EPSI_ELGA/EPYY

4.5e-04

1.2e-12 %

  1. Pesanteur

DEPL/DZ

4.210e-02 m

2.64e-01 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

5.1e-02 %

  1. Charge répartie

DEPL/DZ

4.210e-02 m

2.64e-01 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

5.1e-02 %

  1. Thermique

DEPL/DX

0.008 m

2.5e-08 %

DEPL/DY

0.006 m

4.5e-08 %

FORC_NODA

0 N ou 0 N.m

EPSI_ELGA/EPXX

0.002

8.7e-12 %

EPSI_ELGA/EPYY

0.002

4.5e-12 %

Fréquence propre

Référence

% différence

1

3.0490368

0.13 %

2

3.0490368

0.13 %

3

19.080406

0.12 %

4

19.080406

0.12 %

5

53.301747

0.09 %

6

53.301747

0.09 %

7

104.09877

0.04 %

8

104.09877

0.04 %

9

157.01857

6.1e-06 %

10

171.33874

0.04 %

11

171.33874

0.04 %

12

253.18484

6.4e-04%

13

254.60565

0.17 %

14

254.60565

0.17 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant ne sont pas précises pour cette modélisation. Ceci est dû aux fonctions d’interpolation d’ordre 2 de cet élément, pour les déplacements de poutre et les rotations de poutres. Comme les cisaillements transverses de poutre sont obtenus par: \({\gamma}_{xy}={\theta}_{z}-\frac{{\mathrm{du}}_{y}}{\mathrm{dx}}\) , et que pour la flexion simple, les rotations varient comme des polynômes d’ordre 2, mais les déplacements, comme des polynômes d’ordre 3, ce qui est mal approché par les fonctions d’interpolation. La dérivée des déplacements n’est donc pas précise.

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

10 éléments TUYAU_6M, calcul avec STAT_NON_LINE.

Caractéristiques du maillage#

10 mailles SEG3. La poutre est orientée selon le vecteur (4, 3, 0).

Remarque sur le contenu des champs#

Les champs de contraintes aux points de Gauss pour l’élément TUYAU, SIEF_ELGA, dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondant à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Dans STAT_NON_LINE , le nombre de couches est variable, ainsi que le nombre de secteurs. On utilise ici 3 couches et 16 secteurs par analogie avec la modélisation A.

Grandeurs testées et résultats de la modélisation D#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

2.6e-09 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

4.8e-09 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

1.0e-10 %

EFGE_ELNO/N

500 N

4.2e-12 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

3.1e-10 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.22%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

9.3%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.22%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

4.1e-11 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.5e-10 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.4e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

8.2e-12 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant ne sont pas précises pour cette modélisation. Ceci est dû aux fonctions d’interpolation d’ordre 2 de cet élément, pour les déplacements de poutre et les rotations de poutres. Comme les cisaillements transverses de poutre sont obtenus par: \({\gamma}_{xy}={\theta}_{z}-\frac{{\mathrm{du}}_{y}}{\mathrm{dx}}\) , et que pour la flexion simple, les rotations varient comme des polynômes d’ordre 2, mais les déplacements, comme des polynômes d’ordre 3, ce qui est mal approché par les fonctions d’interpolation. La dérivée des déplacements n’est donc pas précise.

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

8 éléments TUYAU_3M, mailles supports SEG4

Caractéristiques du maillage#

8 mailles SEG4. La poutre est orientée selon le vecteur (4, 3, 0).

Remarque sur le contenu des champs#

Les champs aux points de Gauss pour l’élément TUYAU, EPSI_ELGA et SIEF_ELGA, qui fournissent les déformations et les contraintes aux points d’intégration dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1=7)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1=33)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondant à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Pour MECA_STATIQUE ou MACRO_ELAS_MULT , le nombre de couches est fixé, et égal à 3, et le nombre de secteurs est égal à 16.

EFGE_ELNO représente les efforts généralises aux 3 nœuds de la façon classique: N, VY, VZ, MT, MFY, MFZ .

Grandeurs testées et résultats de la modélisation E#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

2.3e-08 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

4.0e-08 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

1.2e-10 %

EPSI_ELGA/EPXX

2.618e-06

1.0e-10 %

EFGE_ELNO/N

500 N

2.34e-11 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

2.1e-11 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

1.8%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.26%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

1.8%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.26%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EPSI_ELGA/EPXY

1.786e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

1.2e-10 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

6.6e-07 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EPSI_ELGA/EPXX

1.374e-04

0.28 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

6.8e-07 %

DEGE_ELNO/KZ

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

1.3e-11 %

EPSI_ELGA/EPYY

4.5e-04

1.8e-12 %

  1. Pesanteur

DEPL/DZ

4.210e-02 m

0.26 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

0.23 %

  1. Charge répartie

DEPL/DZ

4.210e-02 m

2.64e-01 %

EFGE_ELNO/MFY

931.2 N.m

5.1e-02 %

  1. Thermique

DEPL/DX

0.008 m

2.3e-08 %

DEPL/DY

0.006 m

4.1e-08 %

FORC_NODA

0 N ou 0 N.m

EPSI_ELGA/EPXX

0.002

5.3e-10 %

EPSI_ELGA/EPYY

0.002

1.6e-10 %

Fréquence propre

Référence

% différence

1

3.0490368

0.13 %

2

3.0490368

0.13 %

3

19.080406

0.12 %

4

19.080406

0.12 %

5

53.301747

0.10 %

6

53.301747

0.10 %

7

104.09877

0.06 %

8

104.09877

0.06 %

9

157.01857

2.1e-06 %

10

171.33874

0.02 %

11

171.33874

0.02 %

12

253.18484

6.4e-04%

13

254.60565

0.17 %

14

254.60565

0.17 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant sont précises pour cette modélisation. Ceci est dû aux fonctions d’interpolation d’ordre 3 de cet élément, pour les déplacements de poutre et les rotations de poutres.

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

1 éléments TUYAU_3M à 4 nœuds, calcul avec STAT_NON_LINE.

Caractéristiques du maillage#

1 mailles SEG4. La poutre est orientée selon le vecteur (4, 3, 0).

Remarque sur le contenu des champs#

Les champs de contraintes aux points de Gauss pour l’élément TUYAU, SIEF_ELGA, dans le repère local de l’élément, sont organisés de la façon suivante:

On stocke les valeurs :

pour chaque point de Gauss dans la longueur, \((n=1,3)\)

pour chaque point d’intégration dans l’épaisseur, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{COU}}+1)\)

pour chaque point d’intégration sur la circonférence, \((n=1,{\mathrm{2N}}_{\mathrm{SECT}}+1)\)

6 composantes de déformation ou de contraintes:

EPXX EPYY EPZZ EPXY EPXZ EPYZ ou

SIXX SIYY SIZZ SIXY SIXZ SIYZ

où \(X\) désigne la direction donnée par les deux nœuds sommets de l’élément, \(Y\) représente l’angle \(\phi\) décrivant la circonférence et \(Z\) représente le rayon. EPZZ et EPYZ correspondant à \({\epsilon}_{\mathrm{rr}}\) , \({\epsilon}_{r\phi }\) dans le cas des déformations et SIZZ et SIYZ correspondant à \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) , \({\sigma}_{r\phi }\) dans le cas des contraintes sont prises égales à zéro.

Dans STAT_NON_LINE , le nombre de couches est variable, ainsi que le nombre de secteurs. On utilise ici 3 couches et 16 secteurs par analogie avec la modélisation A.

Grandeurs testées et résultats de la modélisation F#

Cas de charge

Grandeur

Référence

% différence

  1. Traction

DEPL/DX

1.047e-05 m

1.1e-09 %

DEPL/DY

7.853e-06 m

2.0e-09 %

SIEF_ELGA/SIXX

0.5235 MPa

3.2e-10 %

EFGE_ELNO/N

500 N

4.1e-12 %

DEGE_ELNO/EPXX

2.618e-06

4.0e-12 %

  1. Flexion simple Y

DEPL/DX

-0.09040 m

0.27 %

DEPL/DY

0.1205 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.04519 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXY

6.806e-06

20.2%

DEGE_ELNO/KZ

0.01808

0.27%

  1. Flexion simple Z

DEPL/DZ

0.1507 m

0.27 %

DEPL/DRX

0.02719 rad

0.27 %

DEPL/DRY

-0.03616 rad

0.27%

DEGE_ELNO/GAXZ

6.806e-06

20.2%

DEGE_ELNO/KY

0.01808

0.27%

  1. Torsion

DEPL/DRX

0.01880 rad

0.28 %

DEPL/DRY

0.01410 rad

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

SIEF_ELGA/SIXY

13.73 MPa

0.28 %

EFGE_ELNO/MT

500 N.m

2.0e-13 %

DEGE_ELNO/GAT

4.700e-03

0.28%

  1. Flexion pure Y

DEPL/DZ

-0.04519 m

0.27 %

DEPL/DRX

-0.01085 rad

0.27 %

DEPL/DRY

0.01446 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

1.9e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Flexion pure Z

DEPL/DZ

-0.02712 m

0.27 %

DEPL/DY

0.03615 m

0.27 %

DEPL/DRZ

0.01808 rad

0.27 %

SIEF_ELGA/SIXX

27.48 MPa

0.80 %

EFGE_ELNO/MFY

500 N.m

2.3e-09 %

DEGE_ELNO/KY

3.616e-03

0.27%

  1. Pression interne

DEPL/WO

1.734e-05 m

1.37 %

SIEF_ELGA/SIYY

90 MPa

6.2e-10 %

Remarques#

Les valeurs des cisaillements correspondant à l’effort tranchant ne sont pas précises pour cette modélisation. Ceci est dû à la faible discrétisation pour cette modélisation (un seul élément).

Synthèse des résultats#

Ce test permet de vérifier le bon fonctionnement de l’élément TUYAU (3 modes et 6 modes de Fourier) en élasticité linéaire, avec les opérateurs MECA_STATIQUE et STAT_NON_LINE, pour l’ensemble des chargements applicables à cet élément.

Les écarts par rapport à la solution de référence analytique (solution en hypothèse de poutre) sont très faibles pour les déplacements (0,04% à 0,06%), sauf pour le chargement de pression où l’écart de 3% est dû au fait que \(\mathrm{Wo}\) représente un déplacement radial moyen. En réalité ce déplacement radial varie dans l’épaisseur. L’écart sur les déformations et les contraintes \((\approx 1\text{\%})\) est plus important que celui sur les déplacements mais reste acceptable compte tenu du fait que ces valeurs sont calculées en des points d’intégration situés dans l’épaisseur du tuyau.