u2.01.05 Contraintes, efforts, forces et déformations#
Résumé:
Ce document définit les grandeurs caractérisant les contraintes, les forces et les déformations à l’intérieur d’une structure dans un calcul par éléments finis en déplacement et comment cela se traduit. L’expression de ces grandeurs est donnée pour les éléments finis de mécanique: milieu continu 2D ou 3D, coques et poutres.
Cinématique#
Déformations#
Milieu continu#
Dans ce cas, les déplacements de la structure sont représentés par un champ de vecteur \(u\) à trois composantes en général.
La déformation (dans l’hypothèse des petites perturbations) est définie par le tenseur de déformation \(\varepsilon\) par (option EPSI_ELGA et EPSI_ELNO):
\({\varepsilon}_{ij}(u)=\frac{1}{2}({u}_{i,j}+{u}_{j,i})\)
On peut vouloir calculer la déformation «mécanique», c’est-à-dire en retranchant les dilatations thermiques(options EPME_ELGA et EPME_ELNO):
\({\epsilon}_{ij}^{m}\left(u\right)=\frac{1}{2}\left({u}_{i,j}+{u}_{j,i}\right)-{\epsilon}^{\text{th}}\)
Pour les calculs non-linéaires, il est parfois intéressant de connaître la déformation plastique (options EPSP_ELGA et EPSP_ELNO) notée \({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) .
Dans le cas de grands déplacements, les déformations de Green-Lagrange sont(options EPSG_ELGA et EPSG_ELNO):
\({E}_{ij}(u)=\frac{1}{2}({u}_{i,j}+{u}_{j,i}+{u}_{k,i}{u}_{k,j})\)
Auxquelles on peut vouloir retrancher les déformations thermiques(options EPMG_ELGA et EPMG_ELNO):
\({E}_{ij}^{m}(u)=\frac{1}{2}({u}_{i,j}+{u}_{j,i}+{u}_{k,i}{u}_{k,j})-{\varepsilon}^{\text{th}}\)
Pour l’hypothèse des déformations planes (D_PLAN), il est important de noter que la condition de déformation plane s’écrit sur la déformation totale :
\({\epsilon}_{33}\left(u\right)=0\)
Si on écrit la déformation totale comme la somme d’une déformation purement mécanique et de la déformation provenant des variables de commande (comme la déformation de dilatation thermique):
\({\epsilon}_{33}\left(u\right)={\epsilon}_{33}^{m}+{\epsilon}_{33}^{\mathit{th}}=0\)
Alors il vient naturellement qu’en déformations planes, la déformation mécanique hors plan n’est pas nulle en présence d’une dilatation thermique.
\({\epsilon}_{33}^{m}\left(u\right)\ne 0\)
Cas des poutres#
Dans les théories de poutres traditionnelles, chaque point \(P\) de la poutre représente une section droite. Ce sont donc les éléments de réduction du torseur \((T(s),\Omega (s))\) de déplacement de la section droite supposée rigide qui caractérisent le déplacement du point \(P\) à l’abscisse curviligne \(s\) . \(T\) est la translation du centre d’inertie de la section, \(\Omega (s)\) le vecteur rotation de la section en ce point.
L’application du théorème des travaux virtuels (cf.[bib2]_) conduit naturellement à définir comme déformation le torseur \((\varepsilon ,\chi )\) dérivée de \((T(s),\Omega (s))\) par rapport à l’abscisse curviligne \(s\) :
\(\begin{array}{}\varepsilon =\frac{\mathrm{dT}}{\text{ds}}+\tau \wedge \Omega \\ \chi =\frac{d\Omega }{\text{ds}}\end{array}\)
Posons alors:
\(\begin{array}{}\varepsilon ={\varepsilon}_{L}\tau +{\gamma}_{T}\\ \chi ={\gamma}_{t}\tau +\text{K}\end{array}\)
\({\varepsilon}_{L}\) est la déformation longitudinale,
\({\gamma}_{T}\) est le vecteur des déformations de distorsion (nul dans l’hypothèse de Navier-Bernoulli),
\({\gamma}_{t}\) est la déformation de torsion de la section,
\(\text{K}\) est la déformation de flexion.
- Remarque:
Pour les modélisations de poutre avec prise en compte du gauchissement, la cinématique est plus compliquée à décrire, mais elles conduisent cependant à des notions proches de celles présentées ci-dessus.
Cas des coques#
Nous nous limiterons ici aux cas des plaques. En effet, dans le cas général des coques:
les dérivations spatiales utilisent des notions mathématiques trop compliquées pour le cadre de ce document, [R3.07.04],
les coques sont très souvent modélisées par des éléments de plaques assemblées.
Dans ce cas, ce sont seulement les normales matérielles qui sont supposées rigides. Le déplacement de ces normales est donc représenté par les éléments de réduction d’un torseur \((T,\Omega )\) . \(T\) est la translation du point situé sur le feuillet moyen, \(\Omega\) le vecteur rotation de la normale en ce point.
Il est clair que la composante normale de \(\Omega\) est nulle (dans le cas de milieux non micro-polaires). On introduit, le vecteur \(\text{I}\) dans le plan tangent défini par:
\(\text{I}=\Omega \wedge \text{n}\)
où \(n\) est le vecteur normal orientant la surface.
Soit, la décomposition:
\(T=w\text{n}+{\text{u}}_{T}\)
\({\text{u}}_{T}\) est le déplacement tangent,
\(w\) est la flèche.
De la même façon que pour les poutres, l’application du théorème des travaux virtuels (cf.[bib2]_) conduit à définir comme déformation l’ensemble formé par les tenseurs \(E\) et \(K\) et le vecteur \(\gamma\) , toutes ces grandeurs étant définies dans le plan tangent par:
\(\begin{array}{ccc}{E}_{\alpha \beta }& =& \frac{1}{2}({u}_{\alpha ,\beta }+{u}_{\beta ,\alpha })\\ {K}_{\alpha \beta }& =& \frac{1}{2}({l}_{\alpha ,\beta }+{l}_{\beta ,\alpha })\\ {\gamma}_{\alpha}& =& {l}_{\alpha}+{w}_{,\alpha }\end{array}\)
La déformation est donc définie par 7 réels.
\({E}_{\alpha \beta }\) sont les déformations membranaires,
\({K}_{\alpha \beta }\) sont les inverses des courbures du feuillet moyen déformé,
\({\gamma}_{\alpha}\) est le vecteur de déformation de distorsion.
- Remarque:
Là encore, il n’y a pas de convention universelle et la disparité des conventions est encore plus grande que pour les tenseurs d’efforts.
Lien avec le champ de déformation tridimensionnel
Dans ces conditions, on a:
\(\begin{array}{cc}{\varepsilon}_{\alpha \beta }& ={E}_{\alpha \beta }+{x}_{3}{K}_{\alpha \beta }\\ {\varepsilon}_{\alpha 3}& ={\gamma}_{\alpha}\\ {\varepsilon}_{33}& =0\end{array}\)
Grandeurs associées dans Code_Aster#
DEPL_R et DEPL_C#
Les grandeurs DEPL_R et DEPL_C ont pour composantes les degrés de liberté de la modélisation par éléments finis et n’ont donc pas nécessairement que les composantes des champs de déplacement qui sont:
DX, DY, DZ
à qui il faut adjoindre pour les poutres ou les coques:
DRX, DRY, DRZ
Pour les coques, nous avons besoin des trois composantes du vecteur de rotation, car l’équation aux éléments finis ne peut s’exprimer que dans un repère cartésien global.
EPSI_R#
La grandeur EPSI_R représente les déformations de la structure, donc elle doit avoir, au minimum, les composantes:
des champs de déformations \(\varepsilon\) des milieux continus (en repère global):
EPXX, EPYY, EPZZ, EPXY, EPXZ, EPYZ
des champs de déformations de poutre (en repère «utilisateur» à la poutre):
EPXX, GAXY, GAXZ, KY, KZ, GAT
des champs de déformations de coque (nécessairement en repère «utilisateur» à la surface)
EXX, EYY, EXY, KXX, KYY, KXY, GAX, GAY
Options de calcul#
Champs EPSI_ELGA, EPME_ELGA, EPSG_ELGA , EPMG_ELGA et EPSP_ELGA#
Il s’agit de champs contenant les déformations aux points de Gauss et éventuellement aux sous-points des éléments.
Option de calcul |
Nom symbolique de concept RESULTAT |
Calcul effectué |
3D |
Tuyaux, Poutres multifibres |
Coques, plaques (sauf DKTG et Q4GG) |
EPSI_ELGA |
EPSI_ELGA |
à partir d’un champ de déplacement en petites déformations |
\(\varepsilon\) |
:math:`epsilon ` en repère «utilisateur» 6 composantes |
\(\varepsilon\) en repère «utilisateur» |
EPSG_ELGA |
EPSG_ELGA |
Tenseur de Green-Lagrange à partir d’un champ de déplacement |
\(E\) |
non-disponible |
non-disponible |
EPME_ELGA |
EPME_ELGA |
à partir d’un champ de déplacement et d’un champ de température en petites déformations |
\({\epsilon}^{m}\) |
\({\epsilon}^{m}\) en repère «utilisateur» 6 composantes |
non-disponible |
EPMG_ELGA |
EPMG_ELGA |
Tenseur de Green-Lagrange à partir d’un champ de déplacement et d’un champ de température |
\({E}^{m}\) |
non-disponible |
non-disponible |
EPSP_ELGA |
EPSP_ELGA |
à partir d’un champ de déplacement, d’un champ de contrainte, d’un champ de température en petites déformations |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) en repère «utilisateur» 6 composantes |
non-disponible |
Champs EPSI_ELNO, EPME_ELNO, EPSG_ELNO, EPMG_ELNOet EPSP_ELNO#
Il s’agit de champs contenant les déformations quelle que soit la modélisation à des fins d’exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux nœuds et éventuellement aux sous-points des éléments.
Option de calcul |
Nom symbolique de concept RESULTAT |
Calcul effectué |
3D |
Tuyaux, Poutres multi_fibres |
Coques, plaques (sauf DKTG et Q4GG) |
EPSI_ELNO |
EPSI_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités au points de Gauss |
\(\epsilon\) |
:math:`epsilon ` en repère «utilisateur» |
\(\epsilon\) en repère «utilisateur» |
EPSG_ELNO |
EPSG_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
\(E\) |
non-disponible |
non-disponible |
EPME_ELNO |
EPME_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
\({\epsilon}^{m}\) |
\({\epsilon}^{m}\) en repère «utilisateur» |
non-disponible |
EPMG_ELNO |
EPMG_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
\({E}^{m}\) |
non-disponible |
non-disponible |
EPSP_ELNO |
EPSP_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) en repère «utilisateur» |
non-disponible |
EPSI_NOEU |
par moyenne arithmétique aux nœuds des quantités aux nœuds par élément |
\(\varepsilon\) |
\(\varepsilon\) en repère «utilisateur» |
\(\epsilon\) en repère «utilisateur» |
|
EPSG_NOEU |
par moyenne arithmétique aux nœuds des quantités aux nœuds par élément |
\(E\) |
non-disponible |
non-disponible |
|
EPME_NOEU |
par moyenne arithmétique aux nœuds des quantités aux nœuds par élément |
\({\epsilon}^{m}\) |
\({\epsilon}^{m}\) en repère «utilisateur» |
non-disponible |
|
EPMG_NOEU |
par moyenne arithmétique aux nœuds des quantités aux nœuds par élément |
\({E}^{m}\) |
non-disponible |
non-disponible |
|
EPSP_NOEU |
par moyenne arithmétique aux nœuds des quantités aux nœuds par élément |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) |
\({\epsilon}^{\mathit{pl}}\) en repère «utilisateur» |
non-disponible |
Champs DEGE_ELGA et DEGE_ELNO#
Il s’agit de champs contenant les déformations généralisées sur les éléments de poutre ou de coque à des fins d’exploitation (impression ou post-traitement de visualisation) aux points de Gauss ou aux nœuds de la structure.
Option de calcul |
Nom symbolique de concept RESULTAT |
Calcul effectué |
3D |
Poutres, poutres multi-fibres |
Plaques, Coques1D |
DEGE_ELGA |
DEGE_ELGA |
à partir d’un champ de déplacement en petites déformations |
non-disponible |
non-disponible |
\((E,K,\gamma )\) en repère «utilisateur» |
DEGE_ELNO |
DEGE_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
non-disponible |
\((\varepsilon ,\chi )\) en repère «utilisateur» |
\((E,K,\gamma )\) en repère «utilisateur» |
Option de calcul |
Nom symbolique de concept RESULTAT |
Calcul effectué |
3D |
Poutres, poutres multi-fibres |
Plaques, Coques1D |
DEGE_ELGA |
DEGE_ELGA |
à partir d’un champ de déplacement en petites déformations |
non-disponible |
non-disponible |
\((E,K,\gamma )\) en repère «utilisateur» |
DEGE_ELNO |
DEGE_ELNO |
par extrapolation aux nœuds des quantités aux points de Gauss |
non-disponible |
\((\varepsilon ,\chi )\) en repère «utilisateur» |
\((E,K,\gamma )\) en repère «utilisateur» |
Bibliographie#
F.SIDOROFF: Cours de mécanique des solides Tome 1 E.C.L.
F.SIDOROFF: Cours de mécanique des solides Tome 2 E.C.L.
C.TRUESDELL, W.NOLL: Encyclopedia of Physics volume III/3 - The non-linear Field Theories of Mechanics Springer-Verlag, 1965.