v6.04.512 SSNV512 – Bloc découpé par une fissure verticale se branchant entre 2 fissures horizontales avec X-FEM#

Résumé:

Ce test permet de valider l’approche jonction avec \(\text{X-FEM}\) dans le cas où une fissure se branche sur 2 fissures distinctes. Il s’agit d’un cas test où l’on introduit trois fissures. Les deux premières fissures sont horizontales. La troisième fissure verticale, se branche sur les deux premières via le mot clé JONCTION de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM. On teste l’approche avec et sans contact.

Solution de référence#

Soit \(\Omega =[-5,+5]\times [-5,+5]\) le domaine occupé par le solide, dans le plan \((X,Y)\) . Le domaine \(\Omega ` est partitionné en :math:\)Omega ={Omega}_{1}cup {Omega}_{2}cup {Omega}_{3}cup {Omega}_{4.}` , où on a posé:

\(\begin{array}{c}{\Omega}_{1}=\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[,\\ {\Omega}_{2}=\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right],\\ {\Omega}_{3}=\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[,\\ {\Omega}_{4}=\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[.\end{array}\)

Cas sans contact#

Sans contact, chaque zone doit subir un mouvement de corps rigide correspondant à la condition limite imposée sur son bord (droit ou gauche).

L’énergie de la structure est donc:

\({E}^{e}=0.\)

Le champ de déplacement solution analytique est:

\(u={u}_{x}(x,y){e}_{x},\)

avec:

\({u}_{x}(x,y)=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1}{4}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[,\\ -\frac{1}{2}\text{pour}(x,y)\in \left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right],\\ +\frac{3}{4}\text{pour}(x,y)\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[,\\ +1\text{pour}(x,y)\in \left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[,\end{array}\)

La norme \({L}^{2}\) du déplacement est définie par:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}={\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega .\)

On a donc:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{16}\left|{\Omega}_{1}\right|+\frac{1}{4}\left|{\Omega}_{2}\right|+\frac{9}{16}\left|{\Omega}_{3}\right|+\left|{\Omega}_{4}\right|.\)

On a:

\(\begin{array}{c}\left|{\Omega}_{1}\right|=20{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{2}\right|=30{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{3}\right|=20{\text{m}}^{2}\\ \left|{\Omega}_{4}\right|=30{\text{m}}^{2}\end{array}\)

D’où:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}^{2}=\frac{1}{16}20+\frac{1}{4}30+\frac{9}{16}20+30=50.\)

Soit:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\sqrt{50}\approx 7,071067812{\text{m}}^{2}.\)

Cas avec contact#

Soit:

\({p}_{x}(y)=\lbrace \begin{array}{c}1\text{MPa pour}y\in \left[-5,-2\right[\\ 2\text{MPa pour}y\in \left[-2,+2\right[\\ 3\text{MPa pour}y\in \left]+2,+5\right]\end{array}\text{et}{p}_{y}=1\text{MPa}.\)

On a donc par définition:

\(\begin{array}{c}{p}_{x}(y)=2\text{, dans}{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3,}\\ {p}_{x}(y)=3\text{, dans}{\Omega}_{2,}\\ {p}_{x}(y)=1\text{, dans}{\Omega}_{4.}\end{array}\) éq 2.2-1

Cas des déformations planes#

Le tenseur des contraintes solution analytique est:

\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}-\nu ({p}_{x}(y)+{p}_{y}){e}_{z}\otimes {e}_{z}\)

On a:

\(\mathit{tr}(\sigma )=-(1+\nu )({p}_{x}(y)+{p}_{y}).\)

Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke:

\(\epsilon =\frac{1+\nu }{E}\sigma -\frac{\nu}{E}\mathit{tr}(\sigma )I,\)

où \(I\) est le tenseur identité.

On a donc:

\(\begin{array}{c}\epsilon =-\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{x}(y)}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{y}}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}\\ -\left(\frac{(1+\nu )(1-\nu ){p}_{y}}{E}-\frac{\nu (1+\nu ){p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}\end{array}\)

On a donc:

\(\sigma :\epsilon =\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{\left({p}_{x}(y)\right)}^{2}-2\frac{\nu (1+\nu )}{E}{p}_{x}(y){p}_{y}+\frac{(1+\nu )(1-\nu )}{E}{{p}_{y}}^{2}.\)

D’où:

:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}frac{1+nu }{E}{int}_{Omega}left[(1-nu ){left({p}_{x}(y)right)}^{2}-2nu {p}_{x}(y){p}_{y}+(1-nu ){{p}_{y}}^{2}right]dOmega `

On a donc d’après l’équation 2.2-1:

\(\begin{array}{c}{E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}[{\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left[4(1-\nu )-4\nu +(1-\nu )\right]d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left[9(1-\nu )-6\nu +(1-\nu )\right]d\Omega \\ +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left[(1-\nu )-2\nu +(1-\nu )\right]d\Omega ].\end{array}\)

Soit:

\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}\left[\left(5-9\nu \right)\left(\left|{\Omega}_{1}\right|+\left|{\Omega}_{3}\right|\right)+\left(10-16\nu \right)\left|{\Omega}_{2}\right|+\left(2-4\nu \right)\left|{\Omega}_{4}\right|\right].\)

On a donc:

\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1+\nu }{E}\left[40\left(5-9\nu \right)+30\left(10-16\nu \right)+30\left(2-4\nu \right)\left|{\Omega}_{4}\right|\right].\)

Et finalement:

\({E}^{e}=\frac{40(1+\nu )(7-12\nu )}{E}=1,768\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.\)

Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}\) s’obtient en intégrant les déformations:

\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}\)

car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) et \({u}_{y}(y=-5)=0\) .

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:

\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}\)

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domainesur lequel onintègre pour expliciter la valeur des intégrales.

On a ainsi:

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},\)

et

\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{+2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy}\\ +{\int}_{+2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\end{array}\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.\)

Soit:

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(3-4\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}x-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},\) éq 2.2-2

et:

\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}y-\frac{(1+\nu )(5-12\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-4\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{(1+\nu )(1-3\nu )}{E}y-\frac{(1+\nu )(5-12\nu )}{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E}y-5\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.\) éq 2.2-3

Il est à noter que le champ de déplacement n’est pas continu. Le champ étant solution d’un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:

\({u}_{y}(y=-{2}^{-})={u}_{y}(y=-{2}^{+})=-3\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{E},\)

et:

\({u}_{y}(y=+{2}^{-})={u}_{y}(y=+{2}^{+})=-\frac{(1+\nu )(7-18\nu )}{E}.\)

On a également:

\({u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=-5\frac{(1+\nu )(2-3\nu )}{E}\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.\)

En revanche, la partie tangentielle du déplacement peut être discontinue et on a:

\({u}_{x}(y=-{2}^{+})-{u}_{x}(y=-{2}^{-})=-\frac{(x+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,\)

et:

\({u}_{x}(y=+{2}^{+})-{u}_{x}(y=+{2}^{-})=-\frac{(x+5)(1+\nu )(1-\nu )}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,\)

alors que:

\({u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=0\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.\)

Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) .

On a donc:

\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .\)

On a finalement:

\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(8436{\nu}^{4}+7587{\nu}^{3}-7334{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.\)

D’où:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(8436{\nu}^{4}+7587{\nu}^{3}-7334{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 0,933673961652{\text{m}}^{2}.\)

Cas des contraintes planes#

Le tenseur des contraintes solution analytique est:

\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\) éq 2.2-4

On a:

\(\mathit{tr}(\sigma )=-({p}_{x}(y)+{p}_{y}).\)

Le tenseur des déformations est obtenu en appliquant la loi de Hooke et on a:

\(\begin{array}{c}\epsilon =\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{x}(y)+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y})\right]{e}_{x}\otimes {e}_{x}+\left[-\frac{1+\nu }{E}{p}_{y}+\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y})\right]{e}_{y}\otimes {e}_{y}\\ +\frac{\nu}{E}({p}_{x}(y)+{p}_{y}){e}_{z}\otimes {e}_{z}\end{array}\)

Et finalement:

\(\epsilon =-\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}}{E}\right){e}_{x}\otimes {e}_{x}-\left(\frac{{p}_{y}}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right){e}_{y}\otimes {e}_{y}+\frac{\nu}{E}\left({p}_{x}(y)+{p}_{y}\right){e}_{z}\otimes {e}_{z}\)

L’énergie de la structure est:

:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}{int}_{Omega}sigma :epsilon dOmega `

On a:

\(\sigma :\epsilon ={p}_{x}(y)\left(\frac{{p}_{x}(y)}{E}-\nu \frac{{p}_{y}}{E}\right)+{p}_{y}(x)\left(\frac{{p}_{y}}{E}-\nu \frac{{p}_{x}(y)}{E}\right)\)

Soit:

\(\sigma :\epsilon =\frac{{({p}_{x}(y))}^{2}}{E}-2\nu \frac{{p}_{x}(y){p}_{y}}{E}+\frac{{{p}_{y}}^{2}}{E}\)

On a donc:

:math:`{E}^{e}=frac{1}{2}frac{1}{E}{int}_{Omega}left[{({p}_{x}(y))}^{2}-2nu {p}_{x}(y){p}_{y}+{{p}_{y}}^{2}right]dOmega `

D’où d’après l’équation 2.2-1:

\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[{\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left(4-4\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left(9-6\nu +1\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left(1-2\nu +1\right)d\Omega \right].\)

Soit:

\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[(5-4\nu )\left(\left|{\Omega}_{1}\right|+\left|{\Omega}_{3}\right|\right)+(10-6\nu )\left|{\Omega}_{2}\right|+(2-2\nu )\left|{\Omega}_{4}\right|\right].\)

On a donc:

\({E}^{e}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\left[40(5-4\nu )+30(10-6\nu )+30(2-2\nu )\right].\)

Et finalement:

\({E}^{e}=\frac{1}{E}40(7-5\nu )=2,2\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.\) éq 2.2-5

Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}\) s’obtient en intégrant les déformations:

\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\end{array}\)

car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) et \({u}_{y}(y=-5)=0\) .

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet:

\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{3-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-3\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.\) éq 2.2-6

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domainesur lequel onintègre pour expliciter la valeur des intégrales.

On a ainsi:

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{x}\left[-\frac{3-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx}+{\int}_{0}^{x}\left[-\frac{2-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{0}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dx},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},\)

et

\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{+2}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{+2}^{y}\left[-\frac{1-3\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ {\int}_{-5}^{-2}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy}+{\int}_{-2}^{y}\left[-\frac{1-2\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ {\int}_{-5}^{y}\left[-\frac{1-\nu }{E}\right]\mathit{dy},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.\)

Soit:

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{3-\nu }{E}x-5\frac{3-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{2-\nu }{E}x-5\frac{2-\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}x-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array},\) éq 2.2-7

et:

\({u}_{y}=\lbrace \begin{array}{c}-\frac{1-2\nu }{E}y-\frac{5-7\nu }{E},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-3\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\\ -\frac{1-2\nu }{E}y-\frac{5-7\nu }{E},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\\ -\frac{1-\nu }{E}y-5\frac{1-\nu }{E},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\end{array}.\) éq 2.2-8

Il est à noter que le champ de déplacement n’est pas continu. Le champ étant solution d’un problème de contact, la partie normale aux interfaces du déplacement est continue et on a:

\({u}_{y}(y=-{2}^{-})={u}_{y}(y=-{2}^{+})=-3\frac{1-\nu }{E},\)

et:

\({u}_{y}(y=+{2}^{-})={u}_{y}(y=+{2}^{+})=-\frac{7-11\nu }{E}.\)

On a également:

\({u}_{x}(x={0}^{-})={u}_{x}(x={0}^{+})=-5\frac{2-\nu }{E}\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.\)

En revanche, la partie tangentielle du déplacement peut être discontinue et on a:

\({u}_{x}(y=-{2}^{+})-{u}_{x}(y=-{2}^{-})=-\frac{x+5}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,\)

et:

\({u}_{x}(y=+{2}^{+})-{u}_{x}(y=+{2}^{-})=-\frac{x+5}{E}\text{, pour}x\in \left[-5,0\right[,\)

alors que:

\({u}_{y}(x={0}^{+})-{u}_{y}(x={0}^{-})=0\text{, pour}y\in \left]-2,+2\right[.\)

Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) .

On a donc:

\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\cup {\Omega}_{3}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}\right)d\Omega .\)

On a finalement:

\({\int}_{\Omega}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(1951{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.\)

D’où:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(1951{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 1,11656914997{\text{m}}^{2}.\)

Cas 3D#

La structure occupe le domaine \({\Omega}_{3D}=\Omega \times [0,1]\) . Les conditions aux limites du cas 3D sont les mêmes que celles des cas 2D dans le plan \((X,Y),\) une condition de rouleau est imposée en \(Z=0\) et le bord \(Z=1\) est libre de contraintes. Le tenseur des contraintes solution analytique est donc identique au cas des contraintes planes ( cf. éq 2.2-4):

\(\sigma =-{p}_{x}(y){e}_{x}\otimes {e}_{x}-{p}_{y}{e}_{y}\otimes {e}_{y}\)

La densité d’énergie élastique est donc identique à celle du cas 3D. Le solide est d’épaisseur unitaire dans la direction \(Z\) . L’expression de l’énergie de la structure est donc identique au cas des contraintes planes, mais les unités sont modifiées. On a alors ( cf. éq 2.2-5):

\({E}^{e}=\frac{1}{E}40(7-5\nu )=2,2\text{MJ}\times {\text{m}}^{-1}.\)

Le champ de déplacement analytique \(u={u}_{x}{e}_{x}+{u}_{y}{e}_{y}+{u}_{z}{e}_{z}\) s’obtient en intégrant les déformations:

\(\begin{array}{c}{u}_{x}={\int}_{-5}^{x}{\epsilon}_{xx}\mathit{dx},\\ {u}_{y}={\int}_{-5}^{y}{\epsilon}_{yy}\mathit{dy},\\ {u}_{z}={\int}_{0}^{z}{\epsilon}_{zz}\mathit{dz},\end{array}\)

car les conditions limites appliquées sont \({u}_{x}(x=-5)=0\) , \({u}_{y}(y=-5)=0\) et \({u}_{z}(z=0)=0\) .

Il est à noter que le tenseur des déformations est discontinu. On a en effet ( cf. éq 2.2-6):

\(\epsilon =\lbrace \begin{array}{c}-\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ -\frac{3-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-3\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+4\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ -\frac{2-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-2\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+3\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ -\frac{1-\nu }{E}{e}_{x}\otimes {e}_{x}-\frac{1-\nu }{E}{e}_{y}\otimes {e}_{y}+2\frac{\nu}{E}{e}_{z}\otimes {e}_{z},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.\)

On remarque que le champ de déformations est discontinu au travers des droites d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) . Il est donc nécessaire de distinguer les cas selon le domaine sur lequel on intègre pour expliciter la valeur des intégrales. Les expressions des composantes \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) sont identiques au cas des contraintes planes ( cf. éq 2.2-7et 2.2-8) et on a pour \({u}_{z}\) :

\({u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}{\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{4\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{3\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ {\int}_{0}^{1}\frac{2\nu }{E}\mathit{dz},\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.\)

Soit:

\({u}_{z}=\lbrace \begin{array}{c}\frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,0\right[\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ \frac{4\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left]+2,+5\right]\times [0,1]\\ \frac{3\nu }{E}z,\text{dans}\left]0,+5\right]\times \left]-2,+2\right[\times [0,1]\\ \frac{2\nu }{E}z,\text{dans}\left[-5,+5\right]\times \left[-5,-2\right[\times [0,1]\end{array}.\) éq 2.2-9

Le calcul de l’intégrale du carré de la norme du déplacement doit donc encore une fois utiliser une partition du domaine conforme aux interfaces d’équation \(y=-2\) et \(y=+2\) .

On a donc:

\({\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega ={\int}_{{\Omega}_{1}\times [0,1]\cup {\Omega}_{3}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{2}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega +{\int}_{{\Omega}_{4}\times [0,1]}\left({u}_{x}^{2}+{u}_{y}^{2}+{u}_{z}^{2}\right)d\Omega .\)

On a finalement:

\({\int}_{{\Omega}_{3D}}{\Vert u\Vert }^{2}d\Omega =\frac{20\left(1999{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3{E}^{2}}.\)

D’où:

\({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{20\left(1999{\nu}^{2}-3685\nu +2800\right)}{3}}\approx 1,11785807089{\text{m}}^{\frac{5}{2}}.\)

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation \(\text{X-FEM}\) , en déformations planes, D_PLAN. Les interfaces sont définies par des fonctions de niveaux (level sets normales notées \(\text{LN}\) ).

Les équations des fonctions de niveaux pour les deux interfaces horizontales et l’interface verticale sont respectivement les suivantes :

\(\text{LN}1=Y-2\) éq 3.1-1

\(\text{LN}2=Y+2\) éq 3.1-2

\(\text{LN}3=X\) éq 3.1-3

Les deux interfaces horizontales sont définies de manière classique en utilisant l’opérateur DEFI_FISS_XFEM avec les level sets normales \(\text{LN1}\) et \(\text{LN2}\) .

L’interface verticale est définie avec la level set normale \(\text{LN3}\) dans DEFI_FISS_XFEM. On ajoute dans cet opérateur le mot clé JONCTION. Sous ce mot clé, on donne les 2 interfaces horizontales préalablement définies dans l’opérande FISSURE et un point qui est à la fois en dessous de la première fissure et au dessus de la deuxième dans l’opérande POINT (voir figure 3.1-a). Ce point ne doit pas être nécessairement positionné sur \(\text{LN3}\) . Dans le cas présent, il peut être n’importe où dans le domaine délimité entre \(\text{LN1}\) et \(\text{LN2}\) .

../../../../_images/Object_87.png

Figure 3.1-a : Construction des jonctions.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage qui comporte 81 mailles de type QUAD4 est représenté sur la figure 3.2-a.

On remarque sur cette figure que certaines mailles sont coupées plusieurs fois. Ce test permet donc de valider le découpage multiple.

../../../../_images/Object_97.png

Figure 3.2-a: Le maillage de la modélisation A.

Fonctionnalités testées#

On teste l’opérateur DEFI_FISS_XFEM dans le cas où l’on veut brancher une fissure sur plusieurs fissures différentes. On utilise le mot clé JONCTION qui permet de définir des branchements de fissures avec \(\text{X-FEM}\) .

Dans ce cas précis on branche la fissure 3 sur les fissures 1 et 2. On teste aussi l’opérateur MODI_MODELE_XFEM dans le cas de mailles qui sont coupées par plusieurs fissures. Le multi-Heaviside et le multi-stockage des Structures de Données (\(\text{SD}\) ) \(\text{X-FEM}\) est bien entendu activé.

On teste l’assemblage des degrés de liberté Heaviside au niveau des matrices et des seconds membres des éléments connectés à l’intersection pour l’option COMPORTEMENT dans STAT_NON_LINE.

On valide aussi le post-traitement \(\text{X-FEM}\) dans le cas du multi-découpage, avec les opérateurs POST_MAIL_XFEM et POST_CHAM_XFEM.

Grandeurs testées et résultats#

On teste les déplacements au niveau des lèvres des fissures après avoir effectué les opérations de post-traitements relatifs à \(\text{X-FEM}\) (POST_MAIL_XFEM et POST_CHAM_XFEM). Le déplacement DX doit correspondre au chargement imposé de la figure 1.3-a sur chacune des zones et DY doit être nul. On teste les valeurs minimum et maximum sur les lèvres de chacune des zones.

Identification

Référence

% tolérance

1.00E-11

DEPZON_1

DX

MIN

-0.25

MAX

-0.25

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_2

DX

MIN

-0.5

1.00E-11

MAX

-0.5

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_3

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_4

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

Tableau 3.4-1

La déformée est représentée sur la figure 3.4-a. Le code couleur représente le champ de déplacement.

../../../../_images/10000000000001BA0000014F0B1DB61C28FF66B7.jpg

Figure 3.4-a : Déformée de la structure.

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

0

On teste la valeur de \({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

7,071067812

0.1%

Remarques#

On obtient de très bon résultats pour ce test, l’erreur relevée correspondant au résidu numérique.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation A, mais en contraintes planes, C_PLAN. Les jonctions sont construites de la même manière.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage qui comporte 176 mailles de type TRIA3 est représenté sur la figure 4.2-a.

../../../../_images/10000000000000F0000000D7584FF94BB392CC47.png

Figure 4.2-a: Le maillage de la modélisation B.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles utilisées pour la modélisation A.

Identification

Référence

% tolérance

1.00E-11

DEPZON_1

DX

MIN

-0.25

MAX

-0.25

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_2

DX

MIN

-0.5

1.00E-11

MAX

-0.5

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_3

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_4

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

Tableau 4.3-1

La déformée est représentée sur la figure 4.4-a.

../../../../_images/10000000000001BA0000014F05A95DEDA92821EE.jpg

Figure 4.4-a : Déformée de la structure.

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

0

On teste la valeur de \({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

7,071067812

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation A.

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation A, mais en 3D. Les jonctions sont construites de la même manière.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage qui comporte 81 mailles de type HEXA8 est représenté sur la figure 5.2-a.

../../../../_images/1000000000000104000000F6A49EEC0411CD0A36.png

Figure 5.2-a: Le maillage de la modélisation C.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles utilisées pour la modélisation A. On ajoute des tests sur DZ.

Identification

Référence

% tolérance

1.00E-11

DEPZON_1

DX

MIN

-0.25

MAX

-0.25

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_2

DX

MIN

-0.5

1.00E-11

MAX

-0.5

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_3

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_4

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

Tableau 5.3-1

La déformée est représentée sur la figure 5.4-a.

../../../../_images/10000000000001BA0000014F8AE663AF6B2A4DB3.jpg

Figure 5.4-a : Déformée de la structure.

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

0

On teste la valeur de \({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

7,071067812

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation A.

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation C.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage qui comporte 312 mailles de type TETRA4 est représenté sur la figure 6.2-a.

../../../../_images/10000000000000FE00000100640B053C66D3C6F7.png

Figure 6.2-a: Le maillage de la modélisation D.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles utilisées pour la modélisation C.

Identification

Référence

% tolérance

1.00E-11

DEPZON_1

DX

MIN

-0.25

MAX

-0.25

2.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_2

DX

MIN

-0.5

1.00E-11

MAX

-0.5

2.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_3

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

2.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_4

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

2.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

Tableau 6.3-1

La déformée est représentée sur la figure 6.4-a.

../../../../_images/10000000000001BA0000014FB2DE967332648EA5.jpg

Figure 6.4-a : Déformée de la structure.

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

0

On teste la valeur de \({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

7,071067812

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation A.

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation A.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage qui comporte 25 mailles de type QUAD4 est représenté sur la figure 7.2-a. Le maillage est moins raffiné que celui de la modélisation A, de manière à ce que certains éléments voient les deux fissures horizontales.

../../../../_images/Object_121.png

Figure 7.2-a: Le maillage de la modélisation E.

Fonctionnalités testées#

Comme pour les autres modélisations, la fissure verticale se branche sur les deux fissures horizontales, mais certains éléments voient les 3 fissures.

Même s’il est possible de brancher la fissure 3 sur les fissures 1 et 2, ce n’est pas possible localement i.e. l’algorithme mis en place ne peut attacher la fissure 3 qu’à une seule autre fissure au sein d’un même élément: il y donc confusion entre les fissures 1 et 2.

Pour résoudre ce problème, on force l’utilisateur à lier la fissure 2 à la fissure 1 via le mot clé JONCTION dans DEFI_FISS_XFEM. La fissure 3 sera donc explicitement liée à la fissure 2 qui est liée à la première. La fissure 3 sera donc aussi implicitement liée à la première.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles utilisées pour la modélisation A.

Identification

Référence

% tolérance

DEPZON_1

DX

MIN

-0.25

1.00E-11

MAX

-0.25

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_2

DX

MIN

-0.5

1.00E-11

MAX

-0.5

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_3

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

DEPZON_4

DX

MIN

0.75

1.00E-11

MAX

0.75

1.00E-11

DY

MIN

0

1.00E-11

MAX

0

1.00E-11

Tableau 7.4-1

La déformée est représentée sur la figure 7.4-a.

../../../../_images/10000000000001BA0000014F6E2141DBBF93F725.jpg

Figure 7.4-a : Déformée de la structure.

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

0

On teste la valeur de \({\parallel u\parallel }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

7,071067812

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation A.

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation A, mais on applique les conditions de chargement en contact. Les jonctions sont construites avec X-FEM et les fonctions de niveaux de la même manière que pour la modélisation A.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage identique à celui de la modélisation A, est représenté figure 3.2-a.

Fonctionnalités testées#

On teste les fonctionnalité déjà présentées pour la modélisation A. On teste aussi le contact X-FEM dans le cas de jonctions avec X-FEM via l’opérateur DEFI_CONTACT.

Grandeurs testées et résultats#

On teste les déplacements au niveau des lèvres des fissures après avoir effectué les opérations de post-traitements relatives à \(\text{X-FEM}\) (POST_MAIL_XFEM et POST_CHAM_XFEM). Le déplacement DX doit suivre la fonction \({u}_{X}\) de l’équation 2.2-2. Le déplacement DY doit suivre la fonction \({\mathit{Depl}}_{Y}\) de l’équation 2.2-3. On obtient la déformée de la figure 8.4-a.

Identification

Référence

% tolérance

7,0

DEPZON_1

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_2

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_3

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_4

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

Tableau 8.4-1

La déformée est représentée sur la figure 8.4-a. Le code couleur représente le champ de déplacement.

../../../../_images/100000000000031200000282FD2B68572C6427B8.jpg

Figure 8.4-a : Déformée de la structure (exagération 10).

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR (exprimée en \(\text{J}\times {\text{m}}^{-1}\) ).

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

1,768106

On teste la valeur de \({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

0,933673961652

0.1%

Remarques#

On obtient une erreur élevée. En effet l’implémentation du redécoupage des facettes de contact n’a pas été implémenté. Les efforts de contact sur ces facettes ne sont pas prises en compte dans le calcul. La zone affecté concerne notamment les points de jonction (que l’on ne teste pas) ainsi que les éléments les contenant. Notons que les résultats sont nettement améliorer lorsqu’on raffine le maillage.

Modélisation G#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation F, mais en contraintes planes, C_PLAN. Les jonctions sont construites de la même manière.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage identique à celui de la modélisation B, est représenté sur la figure 4.2-a.

Grandeurs testées et résultats#

On teste les déplacements au niveau des lèvres des fissures après avoir effectué les opérations de post-traitements relatives à \(\text{X-FEM}\) (POST_MAIL_XFEM et POST_CHAM_XFEM). Le déplacement DX doit suivre la fonction \({u}_{x}\) de l’équation 2.2-7. Le déplacement DY doit suivre la fonction \({u}_{y}\) de l’équation 2.2-8.

Identification

Référence

% tolérance

5,0

DEPZON_1

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_2

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_3

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_4

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

Tableau 9.3-1

La déformée est représentée sur la figure 9.4-a.

../../../../_images/1000000000000312000002822DE2644B6AB27609.jpg

Figure 9.4-a : Déformée de la structure (exagération 10).

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR (exprimée en \(\text{J}\times {\text{m}}^{-1}\) ).

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

2, 2106

On teste la valeur de \({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

1,11656914997

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation F.

Modélisation H#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation F, mais en 3D. Les jonctions sont construites de la même manière.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage identique à celui de la modélisation C, est représenté sur la figure 5.2-a.

Grandeurs testées et résultats#

On teste les déplacements au niveau des lèvres des fissures après avoir effectué les opérations de post-traitements relatives à \(\text{X-FEM}\) (POST_MAIL_XFEM et POST_CHAM_XFEM). Le déplacement DX doit suivre la fonction \({u}_{x}\) de l’équation 2.2-7. Le déplacement DY doit suivre la fonction \({u}_{y}\) de l’équation 2.2-8. Le déplacement DZ doit suivre la fonction \({u}_{z}\) de l’équation 2.2-9.

Identification

Référence

% tolérance

5,0

DEPZON_1

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_2

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_3

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_4

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

Tableau 10.3-1

La déformée est représentée sur la figure 10.4-a.

../../../../_images/100000000000031200000282D5958F47389581A5.jpg

Figure 10.4-a : Déformée de la structure (exagération 10).

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR (exprimée en \(\text{J}\) ).

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

2, 2106

On teste la valeur de \({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

1,11785807089

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation F.

Modélisation I#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation H.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage identique à celui de la modélisation D, est représenté sur la figure 6.2-a.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles présentées pour la modélisation H.

Identification

Référence

% tolérance

5,0

DEPZON_1

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_2

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_3

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DEPZON_4

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

DZ- \({u}_{z}\)

MIN

0

5,0

MAX

0

5,0

Tableau 11.3-1

La déformée est représentée sur la figure 11.4-a.

../../../../_images/100000000000031200000282F972B52E7996C6C8.jpg

Figure 11.4-a : Déformée de la structure (exagération 10).

On teste la valeur de \({E}^{e}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR (exprimée en \(\text{J}\) ).

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Ee

“ANALYTIQUE”

2, 2106

On teste la valeur de \({\Vert u\Vert }_{{L}^{2}}\) produit par l’opérateur POST_ERREUR.

Identification

Type de référence

Valeur de référence

Tolérance

Norme L2

“ANALYTIQUE”

1,11785807089

0.1%

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation F.

Modélisation J#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit de la même modélisation que la modélisation F.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage identique à celui de la modélisation E, est représenté sur la figure 7.2-a. Le maillage est moins raffiné que celui de la modélisation F, de manière à ce que certains éléments voient les deux fissures horizontales.

Grandeurs testées et résultats#

Les grandeurs testées sont identiques à celles présentées pour la modélisation F.

Identification

Référence

% tolérance

7,0

DEPZON_1

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_2

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_3

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DEPZON_4

DX- \({u}_{x}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

DY- \({u}_{y}\)

MIN

0

7,0

MAX

0

7,0

Tableau 12.3-1

La déformée est représentée sur la figure 12.4-a.

../../../../_images/1000000000000312000002823639FF88A4F6C287.jpg

Figure 12.4-a : Déformée de la structure (exagération 10).

Remarques#

Les remarques sont identiques à celles précisées pour la modélisation F.

Synthèse des résultats#

La cinématique d’ouverture d’une fissure branchée à plusieurs autres fissures est possible avec \(\text{X-FEM}\) . Il faut néanmoins dans certains cas lier ces fissures entre elles via le mot clé JONCTION, même si ces fissures ne sont apriori pas branchées l’une sur l’autre.

L’approche a été validée en \(\mathrm{2D}\) pour des modélisations C_PLAN et D_PLAN et pour les éléments de type QUAD4 et TRIA3. On a aussi validé l’approche en \(\mathrm{3D}\) pour les éléments HEXA8 et TETRA4, avec et sans contact.

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