r5.04.01 Modélisation non locale à gradients de variables internes GRAD_VARI#
Résumé
On présente ici la modélisation non locale à gradient de variables internes intitulée GRAD_VARI dans Code_Aster. Cette modélisation est issue des travaux d’E. Lorentz [Bib 1]. L’algorithme permettant de résoudre les équations d’équilibre et de régularisation a toutefois été modifié par rapport à la version initiale du modèle.
Les modélisations non locales de type GRAD_VARI sont disponibles en 3D (3D_GRAD_VARI), axisymétrique (AXIS_GRAD_VARI) et déformations planes (D_PLAN_GRAD_VARI).
Contrairement à l’ancienne version, l’utilisation de GRAD_VARI est relativement simple, puisqu’il suffit de préciser la modélisation X_GRAD_VARI dans AFFE_MODELE, de préciser une longueur caractéristique sous le mot-clé NON_LOCAL dans DEFI_MATERIAU, et de vérifier que le loi de comportement qu’on souhaite utiliser est bien disponible en version non locale.
On présente l’écriture et le traitement numérique de ce modèle.
Choix des éléments finis#
L’introduction de nouvelles variables nodales impose d’utiliser des éléments compatibles avec la nouvelle formulation. On se trouve en présence de trois inconnues nodales: les déplacements \(u\) , la variable régularisée \(\alpha\) et le multiplicateur de Lagrange \(\lambda\) .
Le champ de variable interne étant lié aux déformations par l’intermédiaire du critère, il est préférable de prendre le même degré d’interpolation pour le champ de variable interne régularisée \(\alpha\) que pour le déformation, c’est-à-dire un degré de moins que les déplacements dont sont dérivées les déformations. On choisit le même degré d’interpolation pour le multiplicateur de Lagrange \(\lambda\) que pour la variable régularisée \(\alpha\) .
On considère donc des fonctions de formes \({P}^{2}\) pour \(u\) , \({P}^{1}\) pour \(\alpha\) et \({P}^{1}\) pour \(\lambda\)
Les éléments quadratiques, TRIA6 et QUAD8 pour le 2D, TETRA10, PENTA15 et HEXA20 pour le 3D, ont été développés. Les composantes du déplacement sont affectées à tous les nœuds de l’élément alors que les composantes des deux autres variables nodales ne sont affectées qu’aux nœuds sommets. Pour plus de clarté, l’élément TRIA6 est représenté ci-dessous:
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On utilise les familles de points de Gauss des éléments linéaires correspondants, ce qui se traduit par une sous-intégration sur les déplacements. L’utilisation des familles de points de Gauss des éléments quadratiques impliquerait une sur-intégration pour \(\alpha\) et \(\lambda\) , provoquant des oscillations intempestives.
Modélisations disponibles#
Ces différents éléments sont utilisés dans trois types de modélisations:
Calcul 2D en déformations planes: |
D_PLAN_GRAD_VARI |
Calcul 2D en axisymétrique: |
AXIS_GRAD_VARI |
Calcul 3D: |
3D_GRAD_VARI |
Le mode contraintes planes n’est pas encore disponible.
Lois de comportement disponibles avec les modélisations GRAD_VARI#
Les lois de comportement disponibles dans leur version non locale à gradient de variables internes sont les suivantes
Conseils/Procédure pour la mise en oeuvre d’une nouvelle loi de comportement à gradients de variables internes#
Comme on l’a vu dans la section 1.4 , l’implantation d’une nouvelle loi de comportement à gradient de variables internes, à partir d’une loi locale, est relativement simple, pour peu que la loi locale respecte le cadre des matériaux standards généralisés, et plus particulièrement, que le critère d’évolution des variables internes fasse intervenir une fonction seuil convexe par rapport aux forces thermodynamiques associées aux variables internes (la force thermodynamique associée à la variable \(\alpha\) est définie comme suit: \({F}^{a}=-\frac{\partial W}{\partial a}\) où \(W\) est l’énergie libre de la structure) et que l’on adopte une loi d’écoulement normale pour calculer l’évolution des variables internes.
Le tableau ci-dessous résume les étapes pour passer d’une loi de comportement locale à une loi de comportement non locale:
Type |
Modèle local |
Modèle non local |
Force thermodynamique |
\({F}^{{a}_{\text{local}}}\) |
\({F}^{{a}_{\text{non}\text{local}}}={F}^{{a}_{\text{local}}}+\lambda +r\alpha -\text{ra}\) |
Fonction seuil / critère |
\(f\left[{F}^{{a}_{\text{local}}}\right]\le 0\) |
\(f\left[{F}^{{a}_{\text{non}\text{local}}}\right]\le 0\) Il s’agit de la même fonction seuil mais dépendant d’une force thermodynamique modifiée |
Évolution (écoulement normal) (\(\eta\) multiplicateur de Lagrange) |
\(\Delta a=\Delta \eta \frac{\partial f}{\partial {F}^{{a}_{\text{local}}}}\) |
\(\Delta a=\Delta \eta \frac{\partial f}{\partial {F}^{{a}_{\text{non}\text{local}}}}\) Dans les faits, il suffit d’adapter la résolution du critère à la nouvelle force thermodynamique |
Contrainte |
\(\sigma (\varepsilon ,a)\) |
\(\sigma (\varepsilon ,a)\) L’expression de la contrainte est inchangée |
Matrice tangente |
\(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) |
\(\frac{\partial \sigma }{\partial \epsilon }\) inchangé \(\frac{\partial a}{\partial \varepsilon }\) , \(\frac{\partial a}{\partial \lambda }\) (termes supplémentaires) |
Le développeur d’une nouvelle loi de comportement non locale devra se baser sur les sources des lois d’ores et déjà implantées pour voir comment les termes supplémentaires (termes régularisants et termes supplémentaires de la matrice tangente) doivent être passés dans les différentes routines. Toute la partie concernant la construction du vecteur force interne et de la matrice de correction au niveau global n’a pas a être modifiée par le développeur, il suffit en effet de respecter les règles de programmation en vigueur pour les lois déjà implantées.
Bibliographie#
LORENTZ E. : “Lois de comportement à gradients de variables internes: construction, formulation variationnelle et mise en œuvre numérique”, Thèse de doctorat de l’université Paris 6, 27 avril 1999.
HALPHEN B., NGUYEN Q. S. : “Sur le matériaux standards généralisés”, Journal de Mécanique, Vol. 14, No 1, 1975.
Description des versions du document#
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
9.2 |
V.GODARD |
Texte initial |