v6.04.103 SSNV103 - Essai de traction cisaillement modèle de Rousselier#
Résumé:
Il s’agit d’un problème quasi-statique non linéaire en mécanique des structures.
On analyse la réponse d’un élément de volume à un chargement en traction-cisaillement, effectué de telle façon que cela impose un état de contrainte-déformation uniforme.
Le cas test comprend 1 modélisation: en \(\mathrm{3D}\) .
Il valide l’intégration numérique du modèle de comportement élasto-plastique avec endommagement de G.Rousselier.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le modèle \(\mathrm{3D}\) en vitesse s’écrit:
\(\lbrace \begin{array}{cccc}\dot{\sigma}-\dot{\rho}\Lambda {\varepsilon}_{e}-\rho \Lambda \dot{{\varepsilon}_{e}}& =& 0& (\Lambda \text{tenseur élasticité isotrope linéaire})\\ \dot{\beta}-\dot{p}D\exp(\frac{{\sigma}_{H}}{{\sigma}_{1}\rho })& =& 0& \\ \dot{\varepsilon}-\dot{{\varepsilon}_{e}}-\rho \dot{p}\frac{\partial f}{\partial \sigma }& =& 0& \\ \dot{f}& =& 0& \end{array}\)
ce qui, dans le cas d’un chargement de traction-cisaillement imposé \((\sigma (t)=\alpha (t)\left[\begin{array}{ccc}{\sigma}_{0}& {\tau}_{0}& 0\\ {\tau}_{0}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\) conduit à intégrer un système de 6équations différentielles ordinaires en \(y=(\varepsilon ,\gamma ,{\varepsilon}_{e},{\gamma}_{e},\beta ,p)\) de la forme \(A(y,t)\dot{y}=G(y,t)\) .
avec à \(t=0\) :
\(f=0\) , \(\rho (0)=1\) , \(\beta (0)=0\)
d’où:
\(\alpha (0){\sigma}_{\mathit{eq}0}-R(0)+D{\sigma}_{1}{F}_{0}\exp(\frac{\alpha (0){\sigma}_{0}}{3{\sigma}_{1}})\)
qui est résolu par une méthode de NEWTON pour \(\alpha (0)\) :
\(\lbrace \begin{array}{ccccc}\varepsilon (0)& =& \frac{1}{E}\alpha (0){\sigma}_{0}& =& {\varepsilon}_{e}(0)\\ \gamma (0)& =& \frac{1}{2\mu }\alpha (0){\tau}_{0}& =& {\gamma}_{e}(0)\\ p(0)& =& 0& & \end{array}\)
Résultats de référence#
On impose \(\alpha (t)=\alpha (0)+t\) avec \({\sigma}_{0}={\tau}_{0}=150\mathit{MPa}\) .
On obtient \(\alpha (0)=1.73138\) et \(\alpha (1)=2.73138\) .
Le système \((S)\) est alors résolu numériquement par une “Backward difference formula” à l’aide de la bibliothèque scientifique NAG sur CRAY. Résultat de référence= \((\varepsilon ,\gamma ,\beta ,\rho )\) aux nœuds à \(t=1\) .
Incertitude sur la solution#
Incertitude liée à la bibliothèque NAG.
Références bibliographiques#
Manuel utilisateur bibliothèque NAG sur CRAY.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type HEXA8.
Grandeurs testées et résultats de la modélisation A#
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
\(\varepsilon\) sur \(\mathit{NO1}\) à \(t=\mathrm{1s}\) |
0,07830 |
ANALYTIQUE |
0,11 % |
\(\gamma\) sur \(\mathit{NO1}\) à \(t=\mathrm{1s}\) |
0,11700 |
ANALYTIQUE |
0,20 % |
\(p\) sur \(\mathit{NO1}\) à \(t=\mathrm{1s}\) |
0,15260 |
ANALYTIQUE |
0,10 % |
\({\sigma}_{11}\) sur \(\mathit{NO1}\) à \(t=\mathrm{1s}\) |
409.70700 |
ANALYTIQUE |
0.05% |
On teste également les paramètres de la structure de données résultats:
Identification |
Référence |
Test |
Tolérance |
INSTpour NUME_ORDRE=8 |
1 |
ANALYTIQUE |
0 % |
ITER_GLOB pour NUME_ORDRE=8 |
4 |
NON_REGRESSION |
0 % |
Remarques#
On pourrait s’attendre à une meilleure corrélation, mais il faut souligner que la bibliothèque NAG utilise la fonction
sous forme algébrique, alors que Code_Aster l’utilise sous forme d’une courbe donnée point par point.
De plus, il semble que l’intégration du taux de la fonction seuil pose des problèmes à NAG, quelle que soit la précision requise par ailleurs (la valeur du seuil
étant sensiblement différente de 0 en fin d’intégration). Cependant, on peut noter la constance de cette corrélation tout au long de l’intégration
.
Synthèse des résultats#
Les valeurs de Code_Aster sont en bon accord avec les valeurs de référence.