v2.03.505 SDLS505 - Flambement d’une enveloppe cylindrique sous pression externe#
Résumé:
Ce test représente un calcul de stabilité d’une enveloppe cylindrique mince bouchée à ses extrémités soumise à une pression externe et à une pression axiale. On calcule les charges critiques conduisant au flambement élastique d’Euler. La matrice de rigidité géométrique utilisée dans la résolution du problème aux valeurs propres est celle qui est due aux contraintes initiales.
Il permet de valider la modélisation éléments finis :
COQUE_3D avec les mailles TRIA7 et QUAD9.
DKT avec les mailles TRIA3 et QUAD4.
La charge critique et le mode propre obtenus sont comparés à une solution de référence analytique.
Il est à noter que, dans la modélisation B, on utilise deux méthodes pour obtenir le mode de flambement : CALC_MODE et CRIT_STAB de l’opérateur STAT_NON_LINE.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La pression critique est donnée en [bib1] ou [bib2] par l’expression suivante:
\({P}_{\mathit{cr}}=\frac{\mathit{Eh}}{R}\frac{1}{({n}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2})}\left[\frac{1}{{(\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}+1)}^{2}}+\frac{{h}^{2}}{12{R}^{2}(1-{\nu}^{2})}{({n}^{2}+{b}^{2})}^{2}\right]\)
avec |
\(b=\frac{\pi R}{L}\) |
\(n\) représente le nombre de modes circonférentiels |
Cette formule est valable dans le cas où \(N=0.5R{p}_{\mathit{cr}}\) .
Résultats de référence#
Incertitudes sur la solution#
Solution analytique
Références bibliographiques#
S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE: Théorie de la stabilité élastique, page 500, deuxième édition, DUNOD 1966.
BO O. ALMROTH, D.O. BRUSH: Buckling of bars, plates and shells, page 173, Mc Graw-Hill, New York,1975.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2464
Nombre de mailles et types : 834 TRIA7
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
% Différence |
Pression critique(\(n=8\)) |
1523106 Pa |
10.715 |
Remarques#
La pression critique est testée sans difficulté.
En revanche, il est difficile de tester le mode de flambement car c’est un mode double.
La validation de ce mode de flambement est faite de la manière suivante:
On modifie très légèrement les coordonnées du maillage (de 1.e-8) pour que le mode associé à n=8 soit le même, à chaque exécution, sur toutes les machines où on exécute le test. (On dé-symétrise un peu le problème).
On valide visuellement que les modes de flambement 7 et 8 ont bien une forme avec 8 lobes (voir images ci-dessous).
On vérifie (avec un test de non-régression) que le mode 8 reste le même au cours des évolutions du code.
|
|
Remarque:
Pour les 4 modélisations de ce test, la finesse du maillage est insuffisante pour bien représenter la forme du mode. C’est ce qui explique que le mode observé n’est pas rigoureusement symétrique par rotation de 45 degrés.
On a vérifié que la symétrie était améliorée avec un maillage plus fin. Mais, pour conserver un test rapide, on conserve le maillage grossier.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1802
Nombre de mailles et types: 472 QUAD9
Grandeurs testées et résultats#
Méthode CALC_MODE :
Identification |
Référence |
Valeur calculée |
% Différence |
Pression critique(\(n=8\)) |
1523000 |
1557602.37 Pa |
2.272 |
Méthode CRIT_STAB de STAT_NON_LINE :
Identification |
Référence |
Valeur calculée |
% Différence |
Pression critique(\(n=8\)) |
1523000 |
1557614.06 Pa |
2.272 |
Remarques#
Le mode de flambement est testé de la même façon que pour la modélisation A.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 418
Nombre de mailles et types : 786 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Référence |
% Tolérance |
Pression critique(\(n=8\)) |
“ANALYTIQUE” |
1523106 Pa |
12.5 |
Le mode de flambement est testé de la même façon que pour la modélisation A.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 449
Nombre de mailles et types: 424 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Référence |
% Tolérance |
Pression critique(\(n=8\) ) |
“ANALYTIQUE” |
1523106 Pa |
12.5 |
Le mode de flambement est testé de la même façon que pour la modélisation A.
Synthèse des résultats#
Modélisation COQUE_3D
Les résultats obtenus sont satisfaisants. Les incertitudes sur la pression critique ne dépassent pas:
\(\text{10.71\%}\) avec des mailles TRIA7,
\(\text{2.3\%}\) avec des mailles QUAD9.
La déformée modale obtenue correspond bien au mode circonférentiel attendu : \(n=8\) pour les deux modélisations.
On constate que la modélisation COQUE_3D avec des mailles QUAD9 est plus précise que la modélisation COQUE_3D avec des mailles TRIA7.
Modélisation DKT
Les résultats obtenus sont satisfaisants pour des éléments de plaques. Les incertitudes sur la pression critique ne dépassent pas \(\text{12.5\%}\) quelque soit la maille (QUAD4, TRIA3).
La déformée modale obtenue correspond bien au mode circonférentiel attendu : \(n=8\) pour les deux modélisations.
Ce test a permis de tester les modélisations COQUE_3D et DKT en flambement linéaire d’Euler d’une structure mince soumis à une pression extérieure.