v2.04.302 SDLV302 – Analyse modale par sous-structuration : poutre bi-appuyée#
Résumé:
Ce test valide l’analyse modale d’une structure par la méthode de sous-structuration dynamique. La structure étudiée est une poutre bi-appuyée déformable à l’effort tranchant.
Elle est modélisée par des éléments volumes hexaédriques à 20 nœuds (modélisation 3D).
L’analyse modale est réalisée par trois méthodes:
approche directe;
approche par sous-structuration dynamique de Craig-Bampton;
approche directe avec amortissement visqueux proportionnel.
Un interêt particulier de ce test est la présence de relations linéaires entre plusieurs degrés de liberté.
Les fréquences propres calculées sont comparées à des valeurs obtenues analytiquement pour un modèle de poutre de Timoshenko déformable à l’effort tranchant et tenant compte de l’inertie rotatoire des sections.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre de Timoshenko, prenant en compte la déformation à l’effort tranchant et l’inertie rotatoire des sections. Les aspects théoriques sont développés dans la référence donnée en 2.4 .
Définissons les grandeurs adimensionnelles suivantes:
\({\Omega}_{n}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{n}^{2}\) valeurs propres
\(j=\frac{I}{A{L}^{2}}\) inertie rotatoire
\(g=\frac{\mathit{EI}}{k'AG{L}^{2}}\) coefficient de cisaillement
Les fréquences propres des premiers modes de flexions sont données par l’expression suivante:
\({\Omega}_{n}=\frac{(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1-\sqrt{{(g-j)}^{2}{\lambda}_{n}^{4}+2(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1}}{2gj}\)
avec
\({\lambda}_{n}=n\pi\) , \(n=1,2,3,\mathrm{...}\)
Les fréquences des modes d’extension sont données par:
\({f}_{n}=(\mathrm{2n}-1)\frac{1}{4L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\) , \(n=1,2,3,\mathrm{...}\)
Résultats de référence#
Mode |
Forme |
Fréquence (\(\mathit{Hz}\) ) |
1 |
flexion |
\(115.7\) |
2 |
flexion |
\(442.2\) |
3 |
extension |
\(648.6\) |
4 |
flexion |
\(931.6\) |
5 |
flexion |
\(1534.0\) |
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
ROBERT G., Solutions analytiques en dynamiques des structures, Rapport Samtech n° 121, Liège, 1996.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
Figure 3.1-1:Maillage de la géométrie du problème
Dans cette modélisation, la structure complète est maillée au moyen d’éléments volumiques 3D.
La contrainte de planéité s’exprime comme suit. Soient,
le point A \(X=0\) , \(Y=h/2\) , \(Z=0\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=0\) , \(\mathit{DZ}\ne 0\) ;
le point B \(X=0\) , \(Y=h/2\) , \(Z=b\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=0\) , \(\mathit{DZ}\ne 0\) ;
le point C \(X=0\) , \(Y=h\) , \(Z=b/2\) : \(\mathit{DX}\ne \mathit{DY}\ne 0\) , \(\mathit{DZ}=0\)
En négligeant les termes du second ordre dans les déplacements, la contrainte de planéité se traduit par une relation linéaire entre les déplacements \(\mathit{DX}=0\) des points \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(P\) , un point quelconque de la face:
\(∣\begin{array}{cccc}{\mathit{DX}}_{P}& {Y}_{P}& {Z}_{P}& 1\\ {\mathit{DX}}_{A}& h/2& 0& 1\\ {\mathit{DX}}_{B}& h/2& b& 1\\ {\mathit{DX}}_{C}& h& b/2& 1\end{array}∣=0\)
La condition s’écrit alors pour \({\mathit{DX}}_{A}=0\) :
\({\mathit{DX}}_{P}={\mathit{DX}}_{C}\times (\frac{2{Y}_{P}}{h-1})\)
En \(X=L\) , la condition de planéité s’obtient de façon analogue mais pour \({\mathit{DX}}_{A}\) quelconque. La relation s’écrit alors:
\({\mathit{DX}}_{P}={\mathit{DX}}_{C}\times (\frac{2{Y}_{P}}{h-1})+2\times (1-\frac{{Y}_{P}}{h})\times {\mathit{DX}}_{A}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1077
Nombre de mailles et types: 160 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Mode |
Valeur de référence |
Type de référence |
Tolérance (%) |
1 |
\(115.7\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
2 |
\(442.2\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
3 |
\(648.6\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
4 |
\(931.6\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
5 |
\(1534.0\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Figure 4.1-1: Maillage de la géométrie du problème.
La poutre est divisée en deux parties égales. Chaque moitié est représentée par une sous-structure. Celles-ci sont générées par la méthode de Craig-Bampton. Sa base modale se compose des normaux à interface bloquées, au nombre de 10 et des modes statiques contraints relatifs aux points tels que \(X=L\) et \(Y=h/2\) (on ne considère en ces points que les degrés de liberté non fixés par les conditions aux limites).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 557
Nombre de mailles et types: 80 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Mode |
Valeur de référence |
Type de référence |
Tolérance (%) |
1 |
\(115.7\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
2 |
\(442.2\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
3 |
\(648.6\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
4 |
\(931.6\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
5 |
\(1534.0\) |
“ANALYTIQUE” |
\(1.0\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation C#
Identique à la modélisation A avec ajout d’amortissement visqueux proportionnel tel que:
\([C]=\alpha [K]+\beta [M]\)
avec
\(\alpha =0.2852750549\times {10}^{-4}\) et \(\beta =57.62031174\)
On utilise la méthode de Lanczos (METHODE = “TRI_DIAG”) pour calculer les modes propres.
Caractéristiques du maillage#
Identique à la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Tests de non-régression uniquement sauf pour la validation des options MATE_ELGA et MATE_ELEM.
Identification |
Valeur de référence |
Type de référence |
Tolérance |
Champ MATE_ELGA, Maille MA000074, Point 1, Comp. RHO |
1E3 |
‘ANALYTIQUE’ |
0,1% |
Champ MATE_ELEM, Maille MA000074, Comp. E |
1E3 |
‘ANALYTIQUE’ |
0,1% |
Champ MATE_ELGA, Maille MA000081, Point 1, Comp. RHO |
3E3 |
‘ANALYTIQUE’ |
0,1% |
Champ MATE_ELEM, Maille MA000081, Comp. E |
3E3 |
‘ANALYTIQUE’ |
0,1% |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation D#
Identique à la modélisation A avec ajout d’amortissement visqueux proportionnel tel que:
\([C]=\alpha [K]+\beta [M]\)
avec,
\(\alpha =1.14110022\times {10}^{-4}\) et \(\beta =230.4812469\)
On utilise la méthode de Sorensen (METHODE = “SORENSEN”) pour calculer les modes propres.
Caractéristiques du maillage#
Identique à la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Tests de non-régression uniquement.
Synthèse des résultats#
La modélisation A permet de valider le calcul des modes propres par rapport à une solution de référence obtenue analytiquement; l’erreur maximale est de moins de 0.5%.
La modélisation B valide la sous-structuration dynamique avec interface de Craig-Bampton. L’erreur relative entre les modélisations A et B est nulle.