v4.22.302 TTNL302 - Mur infini soumis à un flux constant avec propriétés variables#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en thermique transitoire non linéaire.
Il s’agit d’un problème 1D linéique représenté par cinq modélisations, l’une plane, les quatre autres volumiques.
Les fonctionnalités testées sont les suivantes:
élément de thermique plan,
élément de thermique volumique,
algorithme de thermique transitoire non-linéaire,
propriétés variables,
condition limite : flux imposé.
L’intérêt du test réside dans la prise en compte de propriétés variables (conductivité thermique et chaleur volumique).
Les résultats sont comparés à une solution analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Solution semi-analytique faisant intervenir les fonctions d’erreur:
\(T(x,t)=2\left\lbrace \sqrt{\left[1+2\sqrt{(t/\pi )}\exp(\frac{-{x}^{2}}{\mathrm{4t}})+\mathrm{x.erfc}(\frac{x}{2\sqrt{(t)}})\right]}-1\right\rbrace\)
avec \(\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\pi}{\int}_{x}^{\infty}{e}^{-{t}^{2}}\mathrm{dt}\)
où \(x=\) abscisse
\(t=\) temps
Cette formule n’est valable que pour \(\lambda (T)=\rho c(T)=1.+\mathrm{0.5T}\)
Résultats de référence#
Température aux points \(A\) (\(x=0\) ) et \(E\) (\(x=1\) ) aux instants \(t\) suivants : \(t=0.1,0.3,0.5,0.7\) et \(\mathrm{1s}\)
Incertitude sur la solution#
Inconnue, due à l’évaluation des fonctions d’erreur.
Références bibliographiques#
Segal, N. Praagman, « A fast implementation of explicit time stepping algorithms with the finite element method for a class of nonlinear evolution problems », Int. J. num. Meth. Engng, vol 23, pp 155-168, 1986.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
PLAN (QUAD9)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
123 |
Nombre de mailles et types : |
20 QUAD9 |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante:
10 pas pour \([0.,\mathrm{5.D}-2]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-3}\)
19 pas pour \([\mathrm{5.D}-2,\mathrm{1.D0}]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-2}\)
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
tolérance |
Température \((°C)\) |
||||
Noeud N1 \(t=\mathrm{0.1s}\) |
0.330 |
0.329 |
0.204% |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.544 |
0.544 |
0.048% |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.682 |
0.681 |
0.075% |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.789 |
0.789 |
0.036% |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.918 |
0.920 |
0.254% |
1% |
Noeud N3 \(t=\mathrm{0.1s}\) |
0.330 |
0.329 |
0.204% |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.544 |
0.544 |
0.048% |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.682 |
0.681 |
0.075% |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.789 |
0.789 |
0.036% |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.918 |
0.920 |
0.254% |
1% |
Noeud N61 \(t=\mathrm{0.1s}\) |
0.004 |
0.004 |
1.161% |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.071 |
0.071 |
0.377% |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.160 |
0.161 |
0.573% |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.247 |
0.251 |
1.616% |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.366 |
0.380 |
3.951% |
1% |
Noeud N63 \(t=\mathrm{0.1s}\) |
0.004 |
0.004 |
1.161% |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.071 |
0.071 |
0.377% |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.160 |
0.161 |
0.573% |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.247 |
0.251 |
1.616% |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.366 |
0.380 |
3.951% |
1% |
Remarques#
L’erreur relative est au maximum de 3.9%.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
3D (HEXA20)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
248 |
Nombre de mailles et types : |
20 HEXA20 |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante:
10 pas pour \([0.,\mathrm{5.D}-2]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-3}\)
19 pas pour \([\mathrm{5.D}-2,\mathrm{1.D0}]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-2}\)
Résultats de la modélisation B#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
tolérance |
Température \((°C)\) |
||||
Noeud N1 t = 0.1s |
0.330 |
0.330 |
0.129 |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.544 |
0.543 |
0.149 |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.682 |
0.681 |
0.154 |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.789 |
0.788 |
0.092 |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.918 |
0.920 |
0.222 |
1% |
Noeud N8 t = 0.1s |
0.330 |
0.330 |
0.129 |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.544 |
0.543 |
0.149 |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.682 |
0.681 |
0.154 |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.789 |
0.788 |
0.092 |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.918 |
0.920 |
0.222 |
1% |
Noeud N121 t = 0.1s |
0.004 |
0.004 |
10.931 |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.071 |
0.071 |
0.242 |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.160 |
0.161 |
0.587 |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.247 |
0.251 |
1.619 |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.366 |
0.380 |
3.95 |
1% |
Noeud N126 t = 0.1s |
0.004 |
0.004 |
10.931 |
1% |
“ “ t = 0.3s |
0.071 |
0.071 |
0.242 |
1% |
“ “ t = 0.5s |
0.160 |
0.161 |
0.587 |
1% |
“ “ t = 0.7s |
0.247 |
0.251 |
1.619 |
1% |
“ “ t = 1.0s |
0.366 |
0.380 |
3.95 |
1% |
Remarques#
L’erreur relative est au maximum de 3.95%, sauf pour \(x=1\) à l’instant \(t=\mathrm{0.1s}\) l’erreur est de 11%. Cette erreur a été obtenue pour la plus petite valeur de la température (\(T=0.004°C\) ). Cet écart s’explique par le fait que la fonction d’erreur en ce point est de 0.025347 et que l’incertitude sur le calcul de la fonction d’erreur est inconnue.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
3D (TETRA4)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
224 |
Nombre de mailles et types : |
692 TETRA4 (et 8 TRIA3) |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante :
10 pas pour \([0.,\mathrm{5.D}-2]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-3}\)
19 pas pour \([\mathrm{5.D}-2,\mathrm{1.D0}]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-2}\)
Résultats de la modélisation C#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
Ecart relatif (%) |
Ecart absolu (°C) |
||||
différence |
tolérance |
différence |
tolérance |
|||||
Températures en \(°C\) : |
||||||||
Face |
x = 0.m |
|||||||
Noeud N7 |
t = 0.1s |
0.330 |
0.3295 |
0.162% |
1.% |
0.000536 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.544 |
0.5425 |
0.273% |
1.% |
0.00149 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.682 |
0.6796 |
0.351% |
1.% |
0.00239 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.789 |
0.7861 |
0.362% |
1.% |
0.00285 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.918 |
0.9165 |
0.159% |
1.% |
0.00146 |
0.005 |
|
Noeud N5 |
t = 0.1s |
0.330 |
0.3279 |
0.627% |
1.% |
0.00207 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.544 |
0.5418 |
0.406% |
1.% |
0.00221 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.682 |
0.6791 |
0.422% |
1.% |
0.00288 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.789 |
0.7858 |
0.409% |
1.% |
0.00323 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.918 |
0.9162 |
0.192% |
1.% |
0.00176 |
0.005 |
|
Section |
x = 1.m |
|||||||
Noeud N107 |
t = 0.1s |
0.00394 |
0.004140 |
5.085% |
1.% |
0.000200 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.0706 |
0.07013 |
0.665% |
1.% |
0.000470 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.160 |
0.1596 |
0.228% |
1.% |
0.000364 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.247 |
0.2488 |
0.730% |
1.% |
0.00180 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.366 |
0.3766 |
2.889% |
1.% |
0.0106 |
0.005 |
|
Noeud N108 |
t = 0.1s |
0.00394 |
0.004002 |
1.577% |
1.% |
0.0000621 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.0706 |
0.06937 |
1.742% |
1.% |
0.00123 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.160 |
0.1586 |
0.895% |
1.% |
0.00143 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.247 |
0.2476 |
0.238% |
1.% |
0.000587 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.366 |
0.3753 |
2.534% |
1.% |
0.00928 |
0.005 |
|
Remarques#
Les nœuds choisis correspondent aux résultats extrêmes sur une même section.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
3D (TETRA10)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
1310 |
Nombre de mailles et types : |
697 TETRA10 (et 8 TRIA6) |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante :
10 pas pour \([0.,\mathrm{5.D}-2]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-3}\)
19 pas pour \([\mathrm{5.D}-2,\mathrm{1.D0}]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-2}\)
Résultats de la modélisation D#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
Ecart relatif (%) |
Ecart absolu (°C) |
||||
différence |
tolérance |
différence |
tolérance |
|||||
Températures en \(°C\) : |
||||||||
Face |
x = 0.m |
|||||||
Noeud N4 |
t = 0.1s |
0.330 |
0.3291 |
0.281% |
1.% |
0.000926 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.544 |
0.5423 |
0.318% |
1.% |
0.00173 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.682 |
0.6794 |
0.383% |
1.% |
0.00261 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.789 |
0.7860 |
0.384% |
1.% |
0.00303 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.918 |
0.9164 |
0.180% |
1.% |
0.00165 |
0.005 |
|
Noeud N25 |
t = 0.1s |
0.330 |
0.3292 |
0.255% |
1.% |
0.000843 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.544 |
0.5423 |
0.314% |
1.% |
0.00171 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.682 |
0.6794 |
0.382% |
1.% |
0.00261 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.789 |
0.7860 |
0.383% |
1.% |
0.00303 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.918 |
0.9163 |
0.180% |
1.% |
0.00165 |
0.005 |
|
Section |
x = 1.m |
|||||||
Noeud N606 |
t = 0.1s |
0.00394 |
0.004331 |
9.913% |
1.% |
0.000391 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.0706 |
0.07021 |
0.551% |
1.% |
0.000389 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.160 |
0.1596 |
0.251% |
1.% |
0.000402 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.247 |
0.2488 |
0.710% |
1.% |
0.00175 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.366 |
0.3764 |
2.855% |
1.% |
0.0104 |
0.005 |
|
Noeud N611 |
t = 0.1s |
0.00394 |
0.004332 |
9.944% |
1.% |
0.000392 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.0706 |
0.07021 |
0.550% |
1.% |
0.000388 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.160 |
0.1596 |
0.251% |
1.% |
0.000402 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.247 |
0.2488 |
0.710% |
1.% |
0.00175 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.366 |
0.3764 |
2.855% |
1.% |
0.0104 |
0.005 |
|
Remarques#
Les résultats calculés sont quasiment identiques sur les nœuds d’une même section.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
3D (HEXA27)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
369 |
Nombre de mailles et types : |
20 HEXA27 (et 1 QUAD9) |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante :
10 pas pour \([0.,\mathrm{5.D}-2]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-3}\)
19 pas pour \([\mathrm{5.D}-2,\mathrm{1.D0}]\) soit \(\Delta t={\mathrm{5.D}}^{-2}\)
Résultats de la modélisation E#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
Ecart relatif (%) |
Ecart absolu (°C) |
||||
différence |
tolérance |
différence |
tolérance |
|||||
Températures en \(°C\) : |
||||||||
Face |
x = 0.m |
|||||||
Noeud N249 |
t = 0.1s |
0.330 |
0.3291 |
0.283% |
1.% |
0.000933 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.544 |
0.5423 |
0.317% |
1.% |
0.00173 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.682 |
0.6794 |
0.376% |
1.% |
0.00256 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.789 |
0.7860 |
0.378% |
1.% |
0.00298 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.918 |
0.9165 |
0.168% |
1.% |
0.00154 |
0.005 |
|
Section |
x = 1.m |
|||||||
Noeud N308 |
t = 0.1s |
0.00394 |
0.004331 |
9.926% |
1.% |
0.000391 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.3s |
0.0706 |
0.07021 |
0.554% |
1.% |
0.000391 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.5s |
0.160 |
0.1596 |
0.227% |
1.% |
0.000363 |
0.005 |
|
« « |
t = 0.7s |
0.247 |
0.2488 |
0.726% |
1.% |
0.00179 |
0.005 |
|
« « |
t = 1.0s |
0.366 |
0.3766 |
2.886% |
1.% |
0.0106 |
0.005 |
|
Remarques#
Les résultats calculés sont identiques (à \({10}^{–7}\) près) sur les nœuds d’une même section.
Synthèse des résultats#
Les cinq modélisations effectuées, ont le même découpage dans le sens de propagation de la température, elles se différencient uniquement par leur type de mailles.
Les cinq modélisations donnent des résultats dont certaines valeurs dépassent la tolérance fixée initialement (1%). L’écart maximum est de 9.9%. Il apparaît pour la plus petite valeur de référence située au milieu du mur et au début du transitoire.
Un maillage plus fin associé à une discrétisation temporelle plus fine devraient améliorer la qualité des résultats.
De plus, la solution de référence fait intervenir une fonction d’erreur dont la précision est inconnue.
Les résultats sont considérés comme acceptables compte tenu des points évoqués ci-dessus.
Ce test a permis de tester des mailles hexaédriques et tétraédriques en thermique non-linéaire transitoire ainsi que les principales commandes thermiques suivantes:
DEFI_MATERIAU associé au mot clé THER_NL, permettant de définir les caractéristiques d’un matériau dont les caractéristiques varient en fonction de la température (conductivité et enthalpie),
THER_NON_LINE commande permettant la résolution d’un problème non linéaire thermique stationnaire ou non.