v3.03.115 SSLS115 - Plaque carrée composite sous pression uniforme#
Résumé:
On traite le cas d’une plaque carrée tri-couches, simplement supportée et soumise à une pression uniforme. Les peaux sont constituées d’un matériau homogène orthotrope, ainsi que le cœur (mêmes axes d’orthotropie). Les modules \(E\) et \(G\) du cœur sont dix fois plus faibles que ceux des peaux.
On calcule le déplacement au centre ainsi que les contraintes aux interfaces inférieures et supérieures des peaux.
Le test regroupe huit modélisations: en ce qui concerne les quatre premières, les résultats obtenus sont comparés pour des mailles surfaciques triangulaires puis quadrangulaires, dans deux repères utilisateur différents. Les quatre dernières modélisations permettent de mesurer la sensibilité des résultats à l’orientation des mailles triangulaires dans les deux repères utilisateur.
Solution de référence#
Solution de référence#
La solution numérique obtenue avec une théorie de plaque multi-couches en élasticité linéaire orthotrope est donnée dans la référence [bib1] page 341.
Résultats de référence#
Au point \(C\) , on calcule le déplacement suivant \(z\) du point ainsi que les contraintes \({\sigma}_{x}\) aux interfaces inférieures et supérieures des peaux.
Incertitude sur la solution#
Solution numérique.
Références bibliographiques#
BATOZ et DHATT. Modélisation des structures par éléments finis. Poutres et plaques. Hermès, 1990.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le repère utilisateur est confondu avec le repère d’orthotropie.
C
D
A
B
Conditions limites: |
DDL_IMPO |
(GROUP_NO=”AB”, DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, DZ=0., DRX=0.) |
|
Point C |
maille: 72 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 56
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
4.7662E+01 |
1.194 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
5.9577E+01 |
1.323 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–4.7662E+01 |
1.194 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
4.7662E+01 |
1.194 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–5.9577E+01 |
1.323 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–4.7662E+01 |
1.194 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
\(\mathrm{DZ}\) |
4.1920E+01 |
4.1851E+01 |
–0.163 |
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le repère utilisateur est confondu avec le repère d’orthotropie .
C
D
A
B
Conditions aux limites: |
DDL_IMPO |
(GROUP_NO=”AB”, DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, DZ=0., DRX=0.) |
|
Point \(C\) |
maille: 36 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 57
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
5.0881E+01 |
8.028 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
6.3601E+01 |
8.166 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–5.0881E+01 |
8.028 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
5.0881E+01 |
8.028 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–6.3601E+01 |
8.166 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–5.0881E+01 |
8.028 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
\(\mathrm{DZ}\) |
4.1920E+01 |
4.2040E+01 |
0.29 |
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le modèle de plaque associé à la modélisation A est tourné de 20 degrés suivant l’angle nautique alpha et de 30 degrés suivant bêta.
Conditions aux limites: |
LIAISON_OBLIQUE |
(GROUP_NO=”AB”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRX=0.) |
|
Point \(C\) |
maille: 72 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 56
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Valeurs testées#
Point \(C\) |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
4.7662E+01 |
1.194 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
5.9577E+01 |
1.323 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–4.7662E+01 |
1.194 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
4.7662E+01 |
1.194 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–5.9577E+01 |
1.323 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–4.7662E+01 |
1.194 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
1.9696E+01 |
1.9663E+01 |
–0.163 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
7.1687E+00 |
7.1570E+00 |
–0.162 |
\(\mathrm{DZ}\) |
3.6304E+01 |
3.6244E+01 |
–0.163 |
Remarques#
Les valeurs de référence du déplacement au point \(C\) sont obtenues en projetant le déplacement théorique établi pour une plaque non tournée dans le nouveau repère utilisateur (le déplacement pour une plaque non tournée étant vertical, le nouveau déplacement est fonction de la projection de l’axe \(Z\) ). Dans le repère local, la projection de l’axe \(Z\) est la suivante:
, avec
et
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le modèle de plaque associé à la modélisation B est tourné de 20 degrés suivant l’angle nautique alpha et de 30 degrés suivant bêta.
Conditions aux limites: |
LIAISON_OBLIQUE |
(GROUP_NO=”AB”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRX=0.) |
|
Point \(C\) |
maille: 36 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 57
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
5.0881E+01 |
8.028 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
6.3601E+01 |
8.166 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–5.0881E+01 |
8.028 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
5.0881E+01 |
8.028 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–6.3601E+01 |
8.166 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–5.0881E+01 |
8.028 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
1.9696E+01 |
1.9750E+01 |
0.290 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
7.1687E+00 |
7.1895E+00 |
0.291 |
\(\mathrm{DZ}\) |
3.6304E+01 |
3.6409E+01 |
0.289 |
Remarques#
Les valeurs de référence du déplacement au point \(C\) sont obtenues en projetant le déplacement théorique établi pour une plaque non tournée dans le nouveau repère utilisateur (le déplacement pour une plaque non tournée étant vertical, le nouveau déplacement est fonction de la projection de l’axe \(Z\) ). Dans le repère local, la projection de l’axe \(Z\) est la suivante:
, avec
et
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le repère utilisateur est confondu avec le repère d’orthotropie. Comparativement à la modélisation A, le modèle est ici caractérisé par une orientation différente des mailles surfaciques.
C
D
A
B
Conditions aux limites: |
DDL_IMPO |
(GROUP_NO=”AB”, DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, DZ=0., DRX=0.) |
|
Point \(C\) |
maille: 72 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 56
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
5.2430E+01 |
11.317 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
6.5537E+01 |
11.459 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–5.2430E+01 |
11.317 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
5.2430E+01 |
11.317 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–6.5537E+01 |
11.459 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–5.2430E+01 |
11.317 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
\(\mathrm{DZ}\) |
4.1920E+01 |
4.2024E+01 |
0.248 |
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le modèle de plaque associé à la modélisation E est tourné de 20 degrés suivant l’angle nautique alpha et de 30 degrés suivant bêta. Comparativement à la modélisation C, le modèle est ici caractérisé par une orientation différente des mailles.
Conditions aux limites: |
LIAISON_OBLIQUE |
(GROUP_NO=”AB”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRX=0.) |
|
Point \(C\) |
maille: 72 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 56
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
5.2430E+01 |
11.317 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
6.5537E+01 |
11.459 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–5.2430E+01 |
11.317 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
5.2430E+01 |
11.317 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–6.5537E+01 |
11.459 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–5.2430E+01 |
11.317 |
|
\(\mathrm{DX}\) |
1.9696E+01 |
1.9744E+01 |
0.248 |
|
Déplacement |
\(\mathrm{DY}\) |
7.1687E+00 |
7.1865E+00 |
0.249 |
\(\mathrm{DZ}\) |
3.6304E+01 |
3.6393E+01 |
0.248 |
Remarques#
Les valeurs de référence du déplacement au point \(C\) sont obtenues en projetant le déplacement théorique établi pour une plaque non tournée dans le nouveau repère utilisateur (le déplacement pour une plaque non tournée étant vertical, le nouveau déplacement est fonction de la projection de l’axe \(Z\) ). Dans le repère local, la projection de l’axe \(Z\) est la suivante:
, avec
et
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le modèle de plaque est tourné de 20 degrés suivant l’angle nautique alpha et de 30 degrés suivant bêta, sans référence à un modèle non tourné.
L’orientation des mailles est ici identique à celle de la référence [bib1].
Conditions limites: |
LIAISON_OBLIQUE |
(GROUP_NO=”AB”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRX=0.) |
|
Point C |
maille: 72 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 56
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
4.7920E+01 |
1.742 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
5.9900E+01 |
1.872 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–4.7920E+01 |
1.742 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
4.7920E+01 |
1.742 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–5.9900E+01 |
1.872 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–4.7920E+01 |
1.742 |
|
DX |
1.9696E+01 |
1.9882E+01 |
0.946 |
|
Déplacement |
DY |
7.1687E+00 |
7.2365E+00 |
0.947 |
DZ |
3.6304E+01 |
3.6647E+01 |
0.946 |
Remarques#
Les valeurs de référence du déplacement au point \(C\) sont obtenues en projetant le déplacement théorique établi pour une plaque non tournée dans le nouveau repère utilisateur (le déplacement pour une plaque non tournée étant vertical, le nouveau déplacement est fonction de la projection de l’axe \(Z\) ). Dans le repère local, la projection de l’axe \(Z\) est la suivante:
, avec
et
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DST (modélisation d’un quart de plaque).
Le modèle de plaque est tourné de 20 degrés suivant l’angle nautique alpha et de 30 degrés suivant bêta, sans référence à un modèle non tourné.
Conditions limites: |
LIAISON_OBLIQUE |
(GROUP_NO=”AB”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”BC”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DX=0., DRY=0.) |
|
(GROUP_NO=”CD”, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DY=0., DRX=0.) |
|
(GROUP_NO=”DA’, ANGL_NAUT=(20.,30.,0.), DZ=0., DRX=0.) |
|
Point C |
maille: 142 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 101
Nombre de mailles et types : 144 TRIA3
Valeurs testées#
Point C |
Identification |
Référence |
Aster |
% Différence |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 inférieure |
4.7100E+01 |
5.0957E+01 |
8.19 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 3 supérieure |
5.8800E+01 |
6.3691E+01 |
8.32 |
|
Contraintes |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 inférieure |
–4.7100E+01 |
–5.0957E+01 |
8.19 |
\({\sigma}_{x}\) sur couche 2 supérieure |
4.7100E+01 |
5.0957+01 |
8.19 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 inférieure |
–5.8800E+01 |
–6.3696E+01 |
8.32 |
|
\({\sigma}_{x}\) sur couche 1 supérieure |
–4.7100E+01 |
–5.0957E+01 |
8.19 |
|
DX |
1.9696E+01 |
1.9735E+01 |
0.199 |
|
Déplacement |
DY |
7.1687E+00 |
7.1830E+00 |
0.200 |
DZ |
3.6304E+01 |
3.6376E+01 |
0.200 |
Remarques#
Les valeurs de référence du déplacement au point \(C\) sont obtenues en projetant le déplacement théorique établi pour une plaque non tournée dans le nouveau repère utilisateur (le déplacement pour une plaque non tournée étant vertical, le nouveau déplacement est fonction de la projection de l’axe \(Z\) ). Dans le repère local, la projection de l’axe \(Z\) est la suivante:
, avec
et
Contenu du fichier résultats#
Valeurs au point d’observation des déplacements et contraintes \({\sigma}_{x}\) .
Synthèse graphique#
Modélisation C |
Modélisation D |
||
Modélisation F |
Modélisation G |
||
Modélisation H |
% Contrainte |
% Déplacement |
|
C |
1.2 |
–0.17 |
|
D |
8.1 |
0.23 |
|
F |
11.4 |
0.25 |
|
G |
1.8 |
0.95 |
|
H |
8.2 |
0.20 |
|
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus montrent que:
A maillage identique (type de mailles surfaciques et orientation des mailles), le changement de repère utilisateur n’influe pas sur les contraintes;
Du fait de l’orthotropie du problème, il existe une sensibilité non négligeable à l’orientation des mailles surfaciques triangulaires (la précision des calculs passe de 1 à 11% pour les contraintes et de 0.17 à 0.95% pour les déplacements). Cette sensibilité ne disparaît pas en raffinant le maillage. Ce point est donc à prendre en compte lors de la comparaison des performances triangle/quadrangle.