v7.31.126 WTNV126 – Réponse à des chemins mixtes de saturation-consolidation avec le modèle de Barcelone

Résumé:

Ce test permet de valider l’intégration du modèle de Barcelone [r7.01.17]. Le présent test effectué dans la modélisation A, en couplage hydro-mécanique (modélisation HHM), comprend trois trajets de chargement :

• Un trajet de saturation.

• Un trajet de compression isotrope.

• Un trajet de désaturation.

La modélisation est effectuée sur un élément 3D héxaédrique.

Solution de référence

On exhibe sans difficulté une solution de référence portant sur la déformation volumique \(\varepsilon_v\) dans les trois phases de chargement.

Dans la première phase (saturation), elle se présente comme une fonction non-linéaire de la pression capillaire \(p_c\) :

(4936)\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,1} = \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(\frac{p_c+K_s\tilde\kappa_s}{p_c(0)+K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\varepsilon_v^e}, \quad \text{avec} \quad \tilde x = \frac{x}{1+e_0}\]

où \(p_c(0)=100\) kPa est la pression capillaire initiale.

Dans la seconde phase (compression isotrope), elle est une fonction non-linéaire de la pression nette \(p''=-\sigma_m''=-(\sigma_m+p_g)\) (\(p_g\) étant la pression de gaz) :

(4937)\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,2} = \varepsilon_{v,1} \underbrace{-\tilde\kappa\ln\left(1+\frac{p''}{K\tilde\kappa}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e}\underbrace{-(\tilde\lambda_0-\tilde\kappa)\ln\left(1+\frac{\langle p''-p^0_{con}\rangle}{p_{con}^0}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec} \quad \langle x \rangle = \frac{x+|x|}{2}\]

Dans la troisième phase (désaturation), elle est de nouveau une fonction non-linéaire de la pression capillaire \(p_c\) :

(4938)\[\varepsilon_v = \varepsilon_{v,3} = \varepsilon_{v,2} \underbrace{-\tilde\kappa_s\ln\left(1+\frac{p_c}{K_s\tilde\kappa_s}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^e} \underbrace{-(\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s)\ln\left(1+\frac{\langle p_c-s_0(\varepsilon_{v,2}^p)\rangle}{s_0(\varepsilon_{v,2}^p)}\right)}_{\Delta\varepsilon_v^p}, \quad \text{avec}\quad s_0(\varepsilon_{v,2}^p) = s_0^0\exp\left(-\frac{\varepsilon_{v,2}^p}{\tilde\lambda_s-\tilde\kappa_s}\right)\]

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Fig. 765 Modélisation 3D.

Tableau 181 Caractéristiques du maillage.

Nombre de nœuds	20
Nombre de mailles	1 de type HEXA 20 6 de type QUAD 8

Tableau 182 Mailles définies.

DROITE	NO3, NO5, NO8, N10, NO12, NO15, NO17, NO20
GAUCHE	NO1, NO4, NO6, NO9, NO11, NO13, NO16, NO18
DEVANT	NO6, NO7, NO8, NO11, NO12, NO18, NO19, NO20
DERRIERE	NO1, NO2, NO3, NO9, NO10, NO13, NO14, NO15
BAS	NO13, NO14, NO15, NO16, NO17, NO18, NO19, NO20
HAUT	NO1, NO2, NO3, NO4, NO5, NO6, NO7, NO8

Les conditions aux limites de symétrie sont :

• Sur les mailles DEVANT et DERRIERE : \(DX=0\).

• Sur les mailles GAUCHE et DROITE : \(DY=0\).

• Sur la maille BAS : \(DZ=0\).

Grandeurs testées et résultats

Les solutions sont calculées au point NO8 à \(t=1, 2\) et \(t=3\) correspondant chacun aux instants auxquels les trois chargements sont complétés. Elles sont données en termes de déformation \(\varepsilon_{zz}=\varepsilon_v/3\) dans le Tableau 183.

Tableau 183 Résultats.

Instant	Grandeur	Solution analytique	Erreur relative
\(t=1\) (premier chargement)	\(\varepsilon_{zz}\)	\(0.0008184509268008657\)	\(1\times 10^{-14}\) %
\(t=2\) (deuxième chargement)	\(\varepsilon_{zz}\)	\(-0.04738826926601325\)	\(2\times 10^{-4}\) %
\(t=3\) (troisième chargement)	\(\varepsilon_{zz}\)	\(-0.049095490773837104\)	\(2\times 10^{-4}\) %

La Fig. 766 présente les réponses obtenues.

Fig. 766 Évolutions de la pression capillaire \(p_c\) et de la pression nette \(p''\) avec la déformation \(\varepsilon_{zz}\) lors des trois chargements de saturation, compression isotrope et désaturation.