v6.03.119 FORMA20 - Maillage adaptatif mécanique sur une poutre en flexion#

Résumé:

Dans ce cas-test, il s’agit de s’assurer de la non-régression du TP n°1 associé aux cours «Indicateurs d’erreur et adaptation de maillage; Etat de l’art et implantation dans Code_Aster» de la formation «Analyse statique non-linéaire avec Code_Aster ».

En fait, on distort un calcul élastique sur une poutre métallique en flexion en modélisation contrainte plane. On le fait converger uniformément via l’outil de raffinement-déraffinement HOMARD encapsulé dans MACR_ADAP_MAIL, puis librement en couplant le processus à une carte d’erreurs spatiales localisée sur chaque élément fini.

Du point de vue de la validation informatique , ce cas test permet bien sûr de tester la non-régression de différents couplage calculs de carte d’erreurs/procédure de raffinement-déraffinement en mécanique, mais aussi les options de «pré et post-traitements» de ces calculs (lissage des contraintes aux nœuds, passage d’une erreur par élément à une erreur aux nœuds par élément).

Chaque modélisation est associée à une question du TP et on en a retranscrit l’essentiel des éléments de correction . L’intégralité du texte du TP étant disponible sur le site internet http://www.code-aster.com/utilisation/formations.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#

Sur un tel cas de figure, il n’est pas possible d’exhumer une solution analytique! La solution de référence utilisée pour les calculs d’erreurs sur la flèche et sur l’énergie potentielle de déformation est en fait une solution approchée obtenue après une série de quatre raffinements uniformes (sur le même maillage mais en TRIA6).

Cette procédure de raffinement uniforme peut être pilotée par une boucle PYTHON et l’opérateur MACR_ADAP_MAIL option UNIFORME. Les deux premières modélisations sont justement une illustration de cette fonctionnalité.

Résultat de référence#

Energie potentielle de déformation	\(=0.102242J\)
Flèche	\(=–0.0614777m\)

Incertitude sur les solutions#

Ils ne s’agit que de solutions approchées obtenues sur un maillage «quasi-convergé».

Références bibliographiques#

1. DESROCHES «Estimateurs d’erreur de Zhu-Zienkiewicz en élasticité 2D». [R4.10.01], 1994.
1. DESROCHES «Estimateur d’erreur en résidu». [R4.10.02], 2000.
1. BOITEAU «Cours et TP Indicateurs d’erreur & Adaptation de maillage; Etat de l’art et implantation dans le Code_Aster ». http://www.code‑aster.com/utilisation/formations, 2002.
1. BOITEAU «FORMA05: Maillage adaptatif thermo-mécanique sur une culasse fissurée». [V6.03.120], 2002.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Le maillage est réalisé avec des éléments de type TRIA3. Le calcul est fait en élasticité linéaire avec l’opérateur STAT_NON_LINE.

On calcule les cartes d’erreurs spatiales de l’indicateur de Zhu-Zienkiewicz version 1 (ERZ1_ELEM) et de l’indicateur en résidu pur (ERME_ELGA). Préalablement il faut avoir calculé le champ de contraintes aux nœuds (SIGM_ELNO) et, pour post-traiter le carte d’erreur (via GIBI), il faut la transformer d’un CHAM_ELEM par élément à un CHAM_ELEM aux nœuds par élément. On détermine aussi la valeur de la flèche (POST_RELEVE_T) et de l’énergie potentielle de déformation (POST_ELEM).

Le tout est placé dans une boucle PYTHON permettant la mise en place d’une procédure de raffinement uniforme en nb_calc=4 niveaux (via MACR_ADAP_MAIL option UNIFORME=’RAFFINEMENT’).

On peut ainsi constater la convergence des valeurs de flèche et d’énergie, la majoration de leurs erreurs relatives par rapport aux erreurs fournies par les indicateurs (elles mêmes en relatif et sur toute la structure), les variations des indices d’efficacité des indicateurs et leur bonne vérification de l’hypothèse de saturation.

Afin d’illustrer des conseils de «bonne pratique» pour la qualité des études, sur les aspects géométrie maillée, maillage proprement dit et type d’éléments finis, on utilise les options adhoc de LIRE_MAILLAGE, MACR_ADAP_MAIL et MACR_INFO_MAIL.

Figure 3.1-a: Isovaleurs de l’erreur en résidu (composante absolue ERREST)sur le maillage initial.

Figure 3.1-b: Décroissances des erreurs relatives de l’énergie de déformationet de la flèche comparées à celles de la composante totale relative des indicateurs.

Caractéristiques du maillage#

Initialement : 61 TRIA3, 15 SEG2, 48 nœuds

Après un raffinement uniforme: 244 TRIA3, 30 SEG2, 156 nœuds

Après deux raffinements uniformes: 976 TRIA3, 60 SEG2, 555 nœuds

Après trois raffinements uniformes: 3904 TRIA3, 120 SEG2, 2085 nœuds

Après quatre raffinements uniformes: 15616 TRIA3, 240 SEG2, 8073 nœuds

Grandeurs testées et résultats#

On teste les valeurs des erreurs relatives en flèche et en énergie potentielle de déformation par rapport aux solutions de référence (cf. [§2.2]). Et ce, sur le maillage initial et après quatre raffinements uniformes. Les tests se devant d’être multi-plateformes, la tolérance relative, qui est sur les erreurs initiales fixée à 10–6 %, est volontairement relâchée sur les erreurs après quatre raffinements: 10–4%.

Ces tests sont effectués sur des variables PYTHON (via TEST_FONCTION) préalablement insérées dans des fonctions ASTER (via FORMULE).

Identification	Valeurs Code_Aster	Valeurs de référence	Tolérance	Ecart relatif (en %)	Variable ASTER	Variable PYTHON
Ep(0)	39.406851 %	idem	10–6%	–1.26 10–12 ~ 0%	ERREEN0	eren0
Ep(4)	0.274116 %	idem	10–4%	1.5 10–12 ~ 0%	ERREEN4	eren4

Flèche(0)	39.244715 %	idem	10–6%	1.09 10–13 ~ 0%	ERREFL0	erfl0
Flèche(4)	0.270896 %	idem	10–4%	–2.25 10–13 ~ 0%	ERREFL4	erfl4

Ce qu’il fallait retenir de cette partie du TP…#

MACR_INFO_MAIL est donc complémentaire de LIRE_MAILLAGE(VERI_MAIL et INFO)et POST_ELEM. Leurs «efforts» conjugués peuvent donc permettre de:

vérifier la concordance du maillage avec la géométrie initiale (en masse , en dimension, en surface et en volume),
lister les GROUP_MA et GROUP_NO, primordiaux pour une bonne modélisation des conditions aux limites,
diagnostiquer d’éventuels problèmes (symétrisation ou connexité, éléments d’ébauche encore présents dans le modèle, prise en compte de conditions aux limites sur des surfaces ou lignes de mauvaises dimensions, interpénétration d’éléments),
évaluer la qualité du maillage d’un point de vue strictement élément fini.

le proche possible de 1

Par exemple, un critère empirique pourrait être:

au moins 50% des éléments finis avec un critère de qualité en dessous de 1.5,
au moins 90%, en dessous de 2.

L’enchaînement «opérateurs thermo-mécaniques/MACR_ADAP_MAIL OPTION ‘UNIFORME’»permet de faire converger proprement, automatiquement et facilement un maillage . Il faut cependant prendre garde au nombre de degrés de liberté engendrés qui peut rapidement devenir prohibitif !