v3.03.143 SSLS143 - Poutre cantilever à âme excentrée#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul des options EPSI_ELGA et DEGE_ELNO pour les poutres multifibres d’Euler-Bernoulli POU_D_EM, y compris si l’axe de référence n’est pas confondu avec la ligne des centres élastiques.
Le cas test valide également le calcul de la matrice élastique (RIGI_MECA) lorsque l’axe de référence n’est pas confondu avec la ligne des centres élastiques (excentrement).
Solution de référence#
Expressions analytiques#
En partant de l’extrémité encastrée, l’expression du moment fléchissant est: \(M(x)=F(x-L)\)
La flèche à l’extrémité chargée de la poutre est \(f=\frac{{\mathit{FL}}^{3}}{{\mathit{EI}}_{{G}_{0}}}\) où \({I}_{{G}_{0}}\) est le moment quadratique calculé au barycentre de la section \({G}_{0}\) : \({I}_{{G}_{0}}={\int}_{S}{(y-{y}_{{G}_{0}})}^{2}\mathit{dS}\) .
La courbure en un point situé à une distance \(x\) de l’encastrement est \({\chi }_{s}(x)=-\frac{M(x)}{{\mathit{EI}}_{{G}_{0}}}\) . En raison de l’excentrement de l’axe de référence, l’allongement de la poutre (au niveau de cet axe) vaut:
\({ϵ}_{s}(x)=-\frac{{A}_{G}}{S}{\chi }_{s}(x)\) où \(S\) est l’aire de la section et \({A}_{G}\) le moment statique de la section par rapport à un axe passant par \(G\) : \({A}_{G}={\int}_{S}\mathit{zdS}\) .
La déformation d’un point de coordonnées \((x,y,z)\) est: \(ϵ={ϵ}_{s}(x)-{\chi }_{s}(x)z\) , et la contrainte au même point vaut: \(\sigma =Eϵ\)
Calcul des caractéristiques de la section droite#
Afin d’éliminer l’incertitude du calcul numérique approché des caractéristiques géométrique de section droite (faible nombre de fibres), les valeurs utilisées dans la solution de référence sont calculées comme dans le calcul numérique :
\(S={\sum}_{\mathit{fibres}}{S}_{i}\) \({A}_{G}={\sum}_{\mathit{fibres}}{z}_{i}{S}_{i}\) \({I}_{G}={\sum}_{\mathit{fibres}}{z}_{i}^{2}{S}_{i}\) \({I}_{{G}_{0}}={\sum}_{\mathit{fibres}}{({z}_{i}-{z}_{{G}_{0}})}^{2}{S}_{i}\)
où \({z}_{i}\) est l’ordonnée du centre de la fibre \(i\) et \({S}_{i}\) l’aire de cette fibre.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation POU_D_EM.
la poutre est modélisée avec 1 élément fini et la section est discrétisée avec 8 fibres. L’axe de référence est choisit volontairement différent du barycentre, excentré de h/2 vers le bas, avec le mot-clé COOR_AXE_POUTRE de DEFI_GEOM_FIBRE.
La section est «découpée» en 8 fibres (Figure 2). Les coordonnées des centres des fibres et leurs aires sont données dans le tableau 1.
Figure 2: Découpage de la section en 8 fibres
Fibres |
\({y}_{i}\) |
\({z}_{i}\) |
\({S}_{i}\) |
Fibres |
\({y}_{i}\) |
\({z}_{i}\) |
\({S}_{i}\) |
|
1 |
0.1 |
0.875 |
0.05 |
5 |
-0.1 |
0.875 |
0.05 |
|
2 |
0.1 |
0.625 |
0.05 |
6 |
-0.1 |
0.625 |
0.05 |
|
3 |
0.1 |
0.375 |
0.05 |
7 |
-0.1 |
0.375 |
0.05 |
|
4 |
0.1 |
0.125 |
0.05 |
8 |
-0.1 |
0.125 |
0.05 |
Tableau 1: Caractéristiques des fibres
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 éléments de type SEG2.
Grandeurs testées et résultats#
Le calcul numérique des grandeurs de la section droite donne:
\(S=0.4{m}^{2}\) \({A}_{G}=0.2{m}^{3}\) \({I}_{G}=0.13125{m}^{4}\) et \({I}_{{G}_{0}}=0.03125{m}^{4}\)
La flèche à l’extrémité chargée de la poutre est: \(f=0.00035555m\)
Au niveau de l’encastrement \(x=0\) on a les valeurs suivantes:
\(M=-{10}^{-6}\mathit{Nm}\) \({\chi }_{s}=0.00106666{m}^{-1}\) \({ϵ}_{s}=-0.00053333{m}^{-1}\)
Au niveau du premier point de Gauss \(x=(1-\frac{1}{\sqrt{3}})/2=0.21132486540518503m\) on a les valeurs suivantes: \(M=-788675.13\mathit{Nm}\) \({\chi }_{s}=0.00084125{m}^{-1}\) \({ϵ}_{s}=-0.0004206{m}^{-1}\)
pour la fibre n°1 (\(z=0.875m\) ): \(ϵ=0.00031547\) et \(\sigma =9464101.6\mathit{Pa}\) et pour la fibre n°4 à \(z=0.125m\) \(ϵ=-0.00031547\) et \(\sigma =-9464101.6\mathit{Pa}\)
Flèche à l’extrémité de la poutre (DEPL):
Point |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance |
APPUI |
DZ |
\(-3.5555555555555E-4\) |
\(1.E-6\) |
Déformations généralisées à l’encastrement (DEGE_ELNO):
Maille |
Noeud |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance |
M1 |
N1 |
KY |
\(1.066666666666667E-3\) |
\(1.E-6\) |
M1 |
N1 |
EPXX |
\(-5.333333333333333E-3\) |
\(1.E-6\) |
Déformations et contraintes dans les fibres (EPSI_ELGA et SIEF_ELGA):
Maille |
Point |
Sous-Point |
Composante |
Valeur de référence |
Tolérance |
M1 |
1 |
1 |
EPXX |
\(3.15470053837926E-4\) |
\(1.E-6\) |
M1 |
1 |
1 |
SIXX |
\(9.46410161513778E6\) |
\(1.E-6\) |
M1 |
1 |
4 |
EPXX |
\(-3.15470053837926E-4\) |
\(1.E-6\) |
M1 |
1 |
4 |
SIXX |
\(-9.46410161513778E6\) |
\(1.E-6\) |
Synthèse des résultats#
Sous réserve d’utiliser les caractéristiques approchées de la section droite maillée grossièrement pour le calcul des valeurs analytiques de référence, la flèche, les contraintes et les déformations calculées numériquement sont identiques à ces valeurs de référence.