v6.04.135 SSNV135 - Essai triaxial drainé avec le modèle CJS (niveau 1)

Résumé

Ce test permet de valider le niveau 1 du modèle CJS. Il s’agit d’un essai triaxial en condition drainée. Trois niveaux de confinement sont simulés: \(100\) , \(200\) , puis \(400\mathrm{kPa}\) .

Par raison de symétrie, on ne s’intéresse qu’au huitième d’un échantillon soumis à un essai triaxial.

Les résultats obtenus avec le modèle CJS1 sont comparés avec la solution analytique.

Solution de référence

Développement de la solution analytique pour CJS1

On a en permanence:

où

représente la pression de confinement.

Reste à déterminer

.

Phase élastique:

En écrivant simplement la loi élastique, on a:

\({\sigma}_{xx}^{0}={\sigma}_{xx}^{0}+\lambda {\varepsilon}_{zz}+(\lambda +2\mu ){\varepsilon}_{xx}+\lambda {\varepsilon}_{xx}\)

\({\sigma}_{zz}={\sigma}_{zz}^{0}+(\lambda +2\mu ){\varepsilon}_{zz}+2\lambda {\varepsilon}_{xx}\)

où ici \(\lambda\) et \(\mu\) sont les coefficients de Lamé.

En éliminant \({\varepsilon}_{xx}\) entre ces deux équations, on trouve:

\({\sigma}_{zz}={\sigma}_{zz}^{0}+\frac{\mu (3\lambda +2\mu )}{(\lambda +\mu )}{\varepsilon}_{zz}\)

Phase plastique:

On a:

où

représente la pression de confinement.

On en déduit pour les composantes du déviateur

:

\({s}_{zz}=2\left[\frac{1}{3}{I}_{1}-{\sigma}_{xx}^{0}\right]\) et \({s}_{xx}={\sigma}_{xx}^{0}-\frac{1}{3}{I}_{1}\)

soit: \({s}_{\mathrm{II}}=\sqrt{6}\left[{\sigma}_{xx}^{0}-\frac{1}{3}{I}_{1}\right]\) et \(\det(\underline{\underline{s}})=2{\left[\frac{1}{3}{I}_{1}-{\sigma}_{xx}^{0}\right]}^{3}\)

Par conséquent: \(h({\theta}_{S})={(1-\gamma )}^{1/6}\)

Par ailleurs, lorsqu’on atteint le critère du mécanisme déviatoire: \({s}_{\mathrm{II}}h({\theta}_{S})+{R}_{m}{I}_{1}=0\)

d’où la relation:

\({I}_{1}=\frac{\sqrt{6}{\sigma}_{xx}^{0}}{\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{{R}_{m}}{{(1-\gamma )}^{1/6}}}\)

et finalement, on a pour la contrainte verticale:

\({\sigma}_{zz}=\frac{\sqrt{6}{\sigma}_{xx}^{0}}{\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{{R}_{m}}{{(1-\gamma )}^{1/6}}}-2{\sigma}_{xx}^{0}\)

En outre, on peut calculer que la transition entre les états élastique et parfaitement plastique se fait pour une déformation axiale égale à:

\({\varepsilon}_{zz}=\frac{\mu (3\lambda +2\mu )}{\lambda +\mu }\left[\frac{\sqrt{6}{\sigma}_{xx}^{0}}{\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{{R}_{m}}{{(1-\gamma )}^{1/6}}}-2{\sigma}_{xx}^{0}\right]\)

Résultats de référence

Contraintes \({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) et \({\sigma}_{zz}\) aux points \(A\) , \(B\) et \(C\) .

Incertitude sur la solution

Solution analytique pour CJS1.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

3D:

Découpage: 2 en hauteur, en largeur et en épaisseur.

Chargement de la phase 1:

Pression de confinement:

: successivement \(–100\mathrm{kPa}\) , \(–200\mathrm{kPa}\) et \(–400\mathrm{kPa}\) .

Niveau 1 du modèle CJS

Caractéristique du maillage

Nombre de nœuds: 27

Nombre de mailles et types: 8 HEXA8 et 24 QUA4

Valeurs testées

Pour

: \(–100\mathrm{kPa}\)

Localisation	Numéro d’ordre	déformation axiale (%)	contrainte (kPa)	Référence
Point \(A\) , \(B\) et \(C\)	10	–0.8 %		–100.0
	100	–20.0 %		–100.0
	10	–0.8 %		–100.0
	100	–20.0 %		–100.0
	10	–0.8 %		–279.2
	20	–1.6 %		–367.159
	40	–3.2 %		–367.159
	60	–7.2 %		–367.159
	100	–20.0 %		–367.159

Pour

: \(–200\mathrm{kPa}\)

Localisation	Numéro d’ordre	déformation axiale \({\varepsilon}_{zz}\) (%)	contrainte ( \(\mathrm{kPa}\) )	Référence
Point \(A\) , \(B\) et \(C\)	10	–0.8 %		–200.0
	100	–20.0 %		–200.0
	10	–0.8 %		–200.0
	100	–20.0 %		–200.0
	10	–0.8 %		–379.2
	20	–1.6 %		–558.4
	40	–3.2 %		–734.317
	60	–7.2 %		–734.317
	100	–20.0 %		–734.317

Pour

: \(–400\mathrm{kPa}\)

Localisation	Numéro d’ordre	déformation axiale \({\varepsilon}_{zz}\) (%)	contrainte ( \(\mathrm{kPa}\) )	Référence
Point \(A\) , \(B\) et \(C\)	10	–0.8 %		–400.0
	100	–20.0 %		–400.0
	10	–0.8 %		–400.0
	100	–20.0 %		–400.0
	10	–0.8 %		–579.2
	20	–1.6 %		–758.4
	40	–3.2 %		–1116.8
	60	–7.2 %		–1458.6348
	100	–20.0 %		–1458.6348

Synthèse des résultats

Les valeurs de Code_Aster sont en accord parfait avec les valeurs de la solution analytique de référence.