v7.33.112 WTNA112 – Pressurisation thermique d’une éprouvette cylindrique saturée non drainée#
Résumé :
Il s’agit d’un problème de THM saturé et élastique. On augmente la température d’un échantillon non drainé maintenu à confinement constant (contrainte totale constante au bord). La pression d’eau résultante varie alors linéairement avec la température selon un coefficient de pressurisation thermique que l’on calcule analytiquement. La solution obtenue ici est donc à comparer avec une solution analytique.
Solution de référence#
On r appelle que l’apport de masse d’eau s’écrit : \({m}_{w}=\varphi .{\rho}_{w}.(1+{\varepsilon}_{v})\) , ce que l’on peut dériver sous la forme suivante: \({\mathrm{dm}}_{w}=d\varphi {\rho}_{w}(1+{\varepsilon}_{v})+d{\rho}_{w}\varphi (1+{\varepsilon}_{v})+{\rho}_{w}\varphi d{\varepsilon}_{v}\) avec \(\varphi\) la porosité eulérienne.
Si l’on se place en hypothèse de petits déplacements, on aura donc :
La variation de porosité s’écrit suivant la relation :
avec \({\alpha}_{0}\) la dilatation linéique du squelette (assimilable au milieu poreux). On rappelle que le coefficient de Biot \(b\) et le module de compressibilité des grains solides \({K}_{s}\) sont reliés au module de compressibilité «drainé» du milieu poreux \({K}_{0}\) , tel que:
\(b=1-\frac{{K}_{0}}{{K}_{s}}\)
Par ailleurs, la variation de la masse volumique de l’eau s’écrit :
avec le module de compressibilité de l’eau \({K}_{w}\) et son module de dilatation \({\alpha}_{w}\) .
Enfin, si la loi de comportement est élastique, on rappelle que la déformation est reliée à la contrainte effective tel que :
Par ailleurs, la formulation en contrainte totale, nous indique que :
\(d\sigma '=d\sigma +b{\text{dp}}_{w}\) , considérant ici que le milieux est à confinement constant, on a donc :
\(d\sigma '=b{\text{dp}}_{w}\) , ce qui nous donne au final
On peut maintenant injecter (2), (3), (4) et (5) dans l’équation (1) et on obtient que :
Considérant que le milieu est non drainé on a donc :
Ce qui peut s’écrire sous la forme :
Avec \(\Lambda\) le coefficient de pressurisation thermique tel que :
\(\Lambda =\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)
On remarque que ce coefficient fait apparaître le différentiel thermique \(({\alpha}_{w}-{\alpha}_{0})\)
Dilatation thermique de l’eau constante#
Dans le cas où \({\alpha}_{w}=\mathit{cte}\) l’application numérique est immédiate.
Application numérique :
Avec les données définies précédemment, on obtient :
\(\Lambda =2,25{10}^{5}\mathit{Pa.}{K}^{-1}\)
Ce qui donne pour une variation de température \(\Delta T=40°C\) , une variation de pression de \(\Delta p=9,01\mathit{Mpa}\) (soit une pression de 13,01 MPa).
Dilatation thermique de l’eau fonction de la température#
Dans ce cas, on écrira
\(\Lambda (T)=\frac{\phi \left(3{\alpha}_{w}(T)-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\) et
\({\text{dp}}_{w}=\Lambda (T)\text{dT}\)
Pour pouvoir intégrer cette formule, on considère que la dilatation thermique de l’eau est une fonction linéaire de la température telle que \({\alpha}_{w}=\mathit{a.}T+b\) . \(\Lambda (T)\) est alors également une fonction linéaire que l’on intègre entre la température initiale T0 et la température finale T1, ce qui donne:
\(\Delta p=\frac{A}{2}.({\mathit{T2}}^{2}-{\mathit{T1}}^{2})+B(\mathit{T2}-\mathit{T1})\) avec
\(A=\frac{3\phi a}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)
et
\(B=\frac{\phi \left(\mathrm{3b}-3{\alpha}_{0}\right)}{\left(\frac{{b}^{2}}{{K}_{0}}+\frac{\left(b-\phi \right)}{{K}_{s}}+\frac{\phi }{{K}_{w}}\right)}\)
Application numérique :
On prend ici
\(a=2,63{10}^{-6}\) et \(b=-7{10}^{-4}\) ce qui correspond à \({\alpha}_{w}(293)=6,67.{10}^{-5}{K}^{-1}\) et \({\alpha}_{w}(333)=1,72.{10}^{-4}{K}^{-1}\) et qui constituent des valeurs réalistes pour l’eau.
Tout calcul fait, on obtient pour une variation de température entre 20°C et 60°C, une variation de pression de \(\Delta p=10,9\mathit{MPa}\) et donc une pression finale de \(14,9\mathit{MPa}\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
Modélisation plane “AXIS_THMS”. Loi mécanique “ELAS”. Couplage “LIQU_SATU”.
\(20\times 20\) éléments \(\mathrm{Q4}\) de largeur égale.
Dilatation thermique de l’eau constante
Résultats de la modélisation A#
Discrétisation en temps : 10 pas de temps de \(180s\) chacun. La solution calculée par Aster tenant compte des mouvements du fluide et de la chaleur (phénomènes diffusifs), il est normal de ne pas obtenir exactement la solution de référence. Les différences restent très faibles.
Résultat à l’instant final \(3600s\) :
\(N°\) NŒUD |
\(\mathit{COOR}\text{\_}X\) |
\(\mathit{COOR}\text{\_}Y\) |
Référence \(\mathit{PRE}1(\mathit{MPa})\) |
Aster \(\mathit{PRE}1(\mathit{MPa})\) |
Différences \((\text{\%})\) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
0 |
0 |
\(13,01\) |
\(12,99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
\(2\) |
0 |
\(0.01\) |
\(13,01\) |
\(12,99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Modélisation plane “AXIS_THMS”. Loi mécanique “ELAS_ORTH”. Couplage “LIQU_SATU”.
\(20\times 20\) éléments \(\mathit{Q4}\) de largeur égale. Termes de couplages également anisotropes.
Il s’agit de la même modélisation que précédemment mais en passant par les modules d’orthotropie (bien que l’éprouvette soit considérée comme isotrope et que les caractéristiques demeurent les mêmes dans chaque direction). En théorie les résultats devraient donner exactement la même chose.
Le modèle diffère cependant ici légèrement et la solution analytique indiquée précédemment n’est plus tout à fait exacte. En effet au lieu de la relation utilisée en isotrope :
\(d\varphi =(b-\varphi )(d{\varepsilon}_{V}-3{\alpha}_{0}\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{w}}{{K}_{s}})\)
La relation utilisée dans ce cas devient tensorielle (cf. doc R7.01.11) et est :
\(d\phi =B:d\epsilon -\phi d{\epsilon}_{V}-3{\alpha}_{\phi }\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{S}_{\text{lq}}{\text{dp}}_{c}}{{M}_{\phi }}\)
avec
\(\frac{1}{{M}_{\varphi}}=(B-\varphi \delta ):{S}_{0}^{S}:\delta\)
où \({S}_{0}^{S}\) la matrice de souplesse du squelette, fonction du module de Young de la matrice solide \({E}^{S}\) et du coefficient de Poisson de la matrice solide \({\nu}^{S}\) .
Par ailleurs la porosité ne peut ici être intégrée analytiquement et l’est donc de manière explicite (porosité prise au temps précédent). La résolution est donc ici moins précise.
Cette modélisation a pour objectif de quantifier la différence obtenue en passant par cette modélisation. On passe également par la matrice sécante afin de tester la possibilité de cette prédiction dans le cas orthotrope.
Résultats de la modélisation B#
On teste les mêmes résultats que précédemment d’abord sur 10 pas de temps comme pour la modélisation A
Résultat à l’instant final \(3600s\) :
\(N°\) NŒUD |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}X\) |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}Y\) |
Référence \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Aster \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Différences \((\text{\%})\) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
0 |
0 |
\(13,01\) |
\(12,99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
\(2\) |
0 |
\(0.01\) |
\(13,01\) |
\(12,99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
Les résultats obtenus ici sont aussi précis que dans le cas isotrope.
Pour s’en assurer on teste le même cas mais avec 15 pas de temps :
Résultat à l’instant final \(3600s\) :
\(N°\) NŒUD |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}X\) |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}Y\) |
Référence \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Aster \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Différences \((\text{\%})\) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
0 |
0 |
\(13,01\) |
\(12.99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
\(2\) |
0 |
\(0.01\) |
\(13,01\) |
\(12.99\) |
\(0,1\) |
\(1\) |
On converge parfaitement vers la solution analytique.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation C#
Modélisation plane “AXIS_THMS”. Loi mécanique “ELAS”. Couplage “LIQU_SATU”.
\(2\) éléments triangulaires
Dilatation thermique de l’eau suivant une loi linéaire (cf. section 2.2 )
Résultats de la modélisation C#
Discrétisation en temps : 30 pas de temps de \(120s\) chacun. La solution calculée par Aster tenant compte des mouvements du fluide et de la chaleur (phénomènes diffusifs), il est normal de ne pas obtenir exactement la solution de référence. Les différences restent très faibles.
Résultat à l’instant final \(3600s\) :
\(N°\) NŒUD |
\(\mathit{COOR}\text{\_}X\) |
\(\mathit{COOR}\text{\_}Y\) |
Référence \(\mathit{PRE}1(\mathit{MPa})\) |
Aster \(\mathit{PRE}1(\mathit{MPa})\) |
Différences \((\text{\%})\) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(4\) |
0 |
0 |
\(14,9\) |
\(14,84\) |
\(0,7\) |
\(1\) |
\(1\) |
0 |
\(0.01\) |
\(14,9\) |
\(14,84\) |
\(0,7\) |
\(1\) |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation D#
Modélisation plane “AXIS_THMS”
Deux lois de comportement sont testées: La loi mécanique “MOHR-COULOMB” avec les propriétés suivantes: \(\mathit{COHESION}=100\mathit{GPa}\) \(\mathit{PHI}=25\) \(\mathit{ANGDIL}=10\) Loi mécanique “RANKINE” avec les propriétés suivantes: \(\mathit{SIGMA}\text{\_}T=10\mathit{Pa}\) Les propriétés élastiques restent inchangées;
Couplage “LIQU_SATU”
\(20\times 20\) éléments \(Q8\) de largeur égale
Dilatation de l’eau constante
La cohésion de la loi de Mohr-Coulomb et la limite de traction de Rankinesont prises suffisament grandes pour que le comportement reste élastique lors du chargement.
Résultats de la modélisation D#
Discrétisation en temps : 10 pas de temps de \(180s\) chacun. La solution calculée par Aster tenant compte des mouvements du fluide et de la chaleur (phénomènes diffusifs), il est normal de ne pas obtenir exactement la solution de référence. Les différences restent très faibles.
Résultat à l’instant final \(3600s\) :
\(N°\) NŒUD |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}X\) |
\(\mathrm{COOR}\text{\_}Y\) |
Référence \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Aster \(\mathrm{PRE1}(\mathrm{MPa})\) |
Différences \((\text{\%})\) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
0 |
0 |
\(13,01\) |
\(12,98\) |
\(0,133\) |
\(1\) |
\(2\) |
0 |
\(0.01\) |
\(13,01\) |
\(12,99\) |
\(0,073\) |
\(1\) |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont en cohérence avec la solution analytique.