r4.09.01 Bilan d’énergie en thermo-mécanique#

Résumé :

On présente dans cette documentation l “écriture du bilan d’énergie pour un calcul avec Code_Aster . Le calcul du bilan d’énergie peut être activé dans les opérateurs STAT_NON_LINE [U4.51.03], DYNA_NON_LINE [U4.53.01] et DYNA_VIBRA[U4.53.03] sur base physique grâce à l’option ENERGIE=_F(). Cette fonctionnalité couvre donc les calculs thermo-hydro-mécaniques en quasi-statique et en dynamique. Sont exclus les calculs thermiques (opérateurs THER_LINEAIRE, THER_NON_LINEet THER_NON_LINE_MO) etles calculs modaux (opérateur DYNA_VIBRAsur base modale).

Aide à l’utilisation et applications#

Conseils#

Dans ce qui suit, nous indiquons quelques bonnes pratiques facilitant l’obtention d’un bilan d’énergie satisfaisant.

Utiliser un formalisme adapté

L’ensemble des calculs présentés s’inscrit dans une configuration Lagrangienne. En effet, on fait intervenir un terme d’effort moyen sur le pas de temps, obtenu en sommant une force écrite au pas précédent avec une force écrite au pas courant. Cela ne pose pas de problème pour l’opérateur DYNA_VIBRA. Mais cela peut engendrer un bilan d’énergie incorrect pour STAT_NON_LINE et DYNA_NON_LINE , lorsque le formalisme employé défini sous le mot-clé facteur COMPORTEMENT est:

PETIT_REAC
SIMO_MIEHE

Dans ces deux cas , il est conseillé de faire de petits pas de temps pour limiter l’écart entre les configurations de calcul d’un pas de temps à l’autre.

Partir d’un état équilibré

Une première précaution est de partir d’un état initial équilibré. L’équilibre est assuré en calculant la force extérieure \({F}_{\mathit{ext}}\) qui équilibre l’état initial (voir § 1.4.1 ). Dans la majorité des cas, cela correspond à la réalité. Il est néanmoins vivement conseillé de partir d’un état déjà équilibré lorsque cela est possible.

Utiliser des critères de convergences adaptés

Un autre point important à signaler est l’influence du critère de convergence sur la qualité du bilan d’énergie. La convergence du calcul est assurée à une tolérance près, à travers la valeur de RESI_GLOB_RELA ou RESI_GLOB_MAXI. Lorsque ce critère est trop lâche, la dissipation numérique peut devenir non négligeable. En cas de doute, il est conseillé de relancer le calcul avec un critère plus resserré, afin de vérifier que l’énergie dissipée par l’intégration diminue.

Préférer la commande AFFE_CHAR_MECAà la commande AFFE_CHAR_CINE

La commande AFFE_CHAR_CINE est particulière. Elle consiste, lors de la résolution, à supprimer les degrés de liberté où un déplacement est imposé. Cette fonctionnalité est intéressante, puisqu’elle permet de réduire la taille du système à résoudre. Néanmoins, elle peut poser problème dans l’évaluation du bilan des énergies dans certaines conditions, certes assez rares. Un exemple est donné dans la partie 2.1.2.1 .

Quelques applications#

Dans cette partie, nous choisissons quelques cas-tests pour en décrypter le bilan d’énergie. Les calculs sont réalisés avec la version 11.1.12 de Code_Aster .

Cas-test ssnp155a#

Ce test modélise un emboutissage d’une tôle par un poinçon dans une matrice (figure ). La structure est modélisée en déformations planes. On tient compte de la symétrie pour ne représenter qu’une moitié. Le poinçon et la matrice sont modélisés en éléments de bord, sur lesquels on impose un déplacement à l’aide de la commande AFFE_CHAR_CINE. On obtient alors en fin de calcul un bilan d’énergie manifestement incorrect, puisque \({W}_{\mathit{ext}}\) est nul et puisque \({W}_{\mathit{sch}}\) devrait être très faible par rapport aux autres termes d’énergie (tableau ).

poinçon Figure 2.1.2.1-1: Géométrie du cas-test ssnp155a

matrice

\({W}_{\mathit{ext}}\)	\({E}_{\mathit{tot}}\)	\({E}_{\mathit{cin}}\)	\({W}_{\mathit{liai}}\)	\({W}_{\mathit{sch}}\)
0	6,8808E+01	3,7883E-05	1,4873E-01	-6,8957E+01

Tableau 2.1.2.1-1: Bilan d’énergie du cas-test ssnp155a en fin de calcul

L’explication est la suivante: le fait d’utiliser la commande AFFE_CHAR_CINE supprime de la résolution l’ensemble des degrés de liberté du poinçon. Pour calculer la contribution au travail extérieur des déplacements imposés via la commande AFFE_CHAR_CINE , on construit le vecteur des déplacements restreints aux nœuds sur lesquels un déplacement est imposé, et on utilise l’équation ( ) avec comme force le vecteur des forces internes. Dans ce cas-test, le travail extérieur est uniquement celui dû au déplacement imposé du poinçon. Mais comme il n’est modélisé qu’avec des éléments de bord, qui n’ont pas de rigidité, leur contribution au vecteur des forces internes est nulle. On se trouve donc dans l’incapacité de récupérer la force qui correspond au déplacement imposé, et on obtient un travail extérieur nul.

Pour obtenir un bilan correct, il suffit d’utiliser la commande AFFE_CHAR_MECA pour imposer le déplacement. Avec celle-ci, afin de garantir le respect des conditions de déplacement imposé, des multiplicateurs de Lagrange sont construits correspondant en fait à la force à prendre en compte dans le calcul du travail extérieur. Une autre solution aurait été de mailler le poinçon afin de pouvoir y calculer les forces internes. Dans les deux cas, on aboutit alors au bilan d’énergie indiqué dans le tableau ci-dessous:

\({W}_{\mathit{ext}}\)	\({E}_{\mathit{tot}}\)	\({E}_{\mathit{cin}}\)	\({W}_{\mathit{liai}}\)	\({W}_{\mathit{sch}}\)
6,8979E+01	6,8808E+01	3,7883E-05	1,4873E-01	2,2804E-02

Tableau 2.1.2.1-2: Bilan d’énergie avec utilisation de AFFE_CHAR_MECA

L’équilibre du bilan s’est nettement amélioré. Néanmoins, le terme \({W}_{\mathit{sch}}\) reste significatif. C’est en fait dû à l’utilisation d’un schéma HHT dissipatif. Lorsqu’on utilise un schéma de Newmark non dissipatif, le terme \({W}_{\mathit{sch}}\) devient négligeable par rapport aux autres énergies (tableau ) :

\({W}_{\mathit{ext}}\)	\({E}_{\mathit{tot}}\)	\({E}_{\mathit{cin}}\)	\({W}_{\mathit{liai}}\)	\({W}_{\mathit{sch}}\)
6,8947E+01	6,8872E+01	1,6589E-02	5,7774E-02	-1,4257E-08

Tableau 2.1.2.1-3: Bilan d’énergie avec utilisation de AFFE_CHAR_MECA et d’un schéma non dissipatif

Cas-test sdlv120a#

Ce cas-test, illustré sur la figure , modélise un barreau élastique infini dans lequel on crée une onde de compression en imposant un déplacement à l’une de ses extrémités. L’autre extrémité du barreau est affecté d’éléments paraxiaux élastiques d’ordre 0 destinés à appliquer des conditions absorbantes à la frontière du maillage, afin de rendre compte du milieu infini.

Figure 2.1.2.2-1: Géométrie du cas-test sdlv120a

On obtient alors l’évolution suivante représentée sur la figure pour les différentes énergies mises en jeu:

Figure 2.1.2.2-2: Évolution énergétique dans le cas-test sdlv120a

On observe que l’énergie apportée par l’extérieur se propage dans le barreau sous forme d’énergie de déformation totale et d’énergie cinétique avant d’être rapidement dissipée grâce aux éléments de frontière absorbante.

Cas-test wtnv109a#

Ce cas-test modélise l’effet de la mécanique et de l’hydraulique sur la thermique. Un élément est étiré en lui imposant un déplacement dans la direction \(z\) , tout en lui appliquant une pression hydraulique constante, ce qui conduit à une diminution de sa température. Nous l’avons choisi pour illustrer l’influence du critère de convergence sur l’équilibre du bilan d’énergie.

Dans le tableau , on présente le bilan d’énergie avec la valeur par défaut du critère RESI_GLOB_RELA, à savoir \(1.E-6\) , puis pour une valeur de \(1.E-12\) .

RESI_GLOB_RELA	\({W}_{\mathit{ext}}\)	\({E}_{\mathit{tot}}\)	\({W}_{\mathit{sch}}\)
1.E-6	1,1296E+02	1,1303E+02	-7,0833E-02
1.E-12	1,1303E+02	1,1303E+02	-2,3590E-12

Tableau 2.1.2.3-1: Bilan d’énergie du cas-test wtnv109a

On constate que l’écart d’équilibre, symbolisé par la valeur de \({W}_{\mathit{sch}}\) , a été diminué d’un facteur 10.