v3.04.104 SSLV104 - Poutre en rotation#
Résumé:
Ce test permet de valider le calcul élastique linéaire d’une poutre élancée soumise à une rotation d’une de ses extrémités. Quatre modélisations sont testées : éléments 3D (HEXA20) , éléments COQUE_3D (QUAD9 et TRIA7) et éléments D_PLAN (QUAD8). Cela teste les forces d’inertie de rotation, sans tenir compte des termes élémentaires de raidissement centrifuge (cf. [V3.04.105]).
La solution de référence est analytique (1D). Les résultats coïncident parfaitement avec la solution de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Dans le repère local de la poutre :
\(\frac{{\partial}^{2}{U}_{x}}{\partial {x}^{2}}+\frac{\rho}{E}{\omega}^{2}x=0\) avec \(\begin{array}{}{U}_{x}(0)=0\\ \frac{\partial {U}_{x}}{\partial x}(L)={\sigma}_{xx}(L)=0\end{array}\)
En intégrant l’équation différentielle précédente on obtient, dans le repère de la poutre :
\({U}_{x}(x)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2E}(x{L}^{2}-\frac{{x}^{3}}{3})\) \({U}_{y}={U}_{z}=0\)
Les déplacements de tous points de la poutre s’écrivent donc dans le repère global :
\(\begin{array}{}{U}_{x}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{y}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{z}(X,Y,Z)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{3}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\end{array}\)
avec \(r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}}\)
Résultats de référence#
Valeurs des trois déplacements au centre de la section la plus éloignée de l’axe de rotation.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments 3D (HEXA20)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1521
Nombre de mailles et types: 200 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments de coque MEC3QU9H
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 45
Nombre de mailles et types: 8 QUAD9
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments de coque MEC3TR7H
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 217
Nombre de mailles et types: 64 TRIA7
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
\(\mathrm{DZ}\) en \(L\) |
8.44 10–3 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Eléments D_PLAN MEDPQU8
Maillage comportant 2 éléments selon la largeur, 50 éléments selon la longueur.
100 éléments au total.
En 2D, les déplacements de la poutre s’écrivent :
\(\begin{array}{}\\ \begin{array}{}{U}_{x}(X,Y)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{2}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ {U}_{y}(X,Y)=\frac{\rho {\omega}^{2}}{2\sqrt{2}E}(r{L}^{2}-\frac{{r}^{3}}{3})\\ \end{array}\end{array}\)
avec \(r=\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 405
Nombre de mailles et types: 100 QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
\(\mathrm{DX}\) en \(L\) |
10.341 10–3 |
\(\mathrm{DY}\) en \(L\) |
10.341 10–3 |
Synthèse des résultats#
La coïncidence des résultats avec la solution analytique permet de valider le chargement dû aux forces d’inertie de rotation.
La modélisation COQUE_3D avec MEC3QU9H donne la solution avec très peu d’éléments.
On se reportera au test SSLV105 [V3.04.105] pour évaluer l’effet du raidissement centrifuge pour l’élément 3D, HEXA20.