v7.32.122 WTNP122 - Modélisation d’un barreau saturé en gaz compressible faiblement non-linéaire (écoulement monophasique) soumis à un choc de pression#
Résumé:
Ce cas test a pour objectif de valider :
les schémas volumes finis développés pour la modélisation des écoulements diphasiques.
la modélisation hydraulique saturée en éléments finis D_PLAN_HS
Le problème diphasique va ici être dégénéré en un problème monophasique gaz dont on connaît la solution analytique. Il s’agit de la modélisation monodimensionnelle d’un barreau saturé en gaz soumis à un choc de pression.
Solution analytique#
Méthode de calcul#
Le problème monophasique instationnaire et monodimensionnel peut s’écrire sous une forme générale du type :
\(N\frac{\partial P}{\partial t}-{K}_{i}\Delta P=0\)
\(P(t=0)={P}_{0}\)
\(P(t,x=0)=0\)
\(\frac{\partial P}{\partial x}(t,x,L)=0\)
Ce problème admet une solution analytique obtenue par développement en séries de Fourier.
\(P={\sum}_{k=0}^{K}\frac{{\mathrm{4P}}_{0}}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}x)\) avec \({\omega}_{k}=(k+\frac{1}{2})\frac{\pi}{L}\)
Le nombre de termes \(K\) de cette série est déterminé de la façon suivante:
Soit \({n}_{x}\) le nombre de points \({x}_{i}\) où la solution est évaluée à un instant \(t\) .
On pose:
\({a}_{k}^{i}=\frac{4}{(\mathrm{2k}+1)\pi }\exp(\frac{-{K}_{i}}{N}{\omega}_{k}^{2}t)\sin({\omega}_{k}{x}_{i})\)
Si bien que la solution peut s’écrire: \(P({x}_{i})={\sum}_{k=0}^{K}{P}_{0}.{a}_{k}^{i}\)
On choisit \(K\) tel que: \(\frac{1}{{n}_{x}}\sqrt{{\sum}_{i=1}^{\mathrm{nx}}{({a}_{k}^{i})}^{2}}<\epsilon\)
En pratique nous avons pris \(\varepsilon ={10}^{-10}\) .
Les allures de la solution analytique aux temps 1, 10, 100, 1000 sont montrées sur la figure ci-dessous:
Le tableau suivant donne le nombre de termes selon le temps:
Temps |
Nombre de termes série |
1 |
194 |
10 |
64 |
100 |
22 |
1000 |
8 |
Tableau 2.1-1: Représentation du nombre de terme en fonction du temps
Hypothèses simplificatrices#
On considère que le milieu est complètement saturé en gaz et on impose dans aster un pression de liquide nulle sur tous les nœuds. On impose une pression initiale de gaz \({P}_{g}^{\mathit{ref}}\) et on donne des conditions aux limites qui correspondent à une variation de cette pression de référence, Soit alors \(\delta {P}_{g}\) cette variation de pression. L’équation de conservation de la masse de gaz s’écrira :
\(\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+d(\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g})d({P}_{g}^{r}+\delta {P}_{g}))=0\)
En supposant \(\delta {P}_{g}\) petit devant \({P}_{g}^{\mathit{ref}}\) , cette équation devient :
\(\frac{\partial (\varphi \delta {P}_{g})}{\partial t}+\frac{{K}_{i}{k}_{g}}{{\mu}_{g}}{P}_{g}^{r}\Delta (\delta {P}_{g})=0\)
C’est donc \(\delta {P}_{g}\) que l’on identifiera à la solution de l’équation analytique modèle.
De façon à retrouver les coefficients du problème modèle, on prendra :
\(\varphi =1\)
\({k}_{g}={\mu}_{g}=1\)
et on fera en sorte que
\({K}_{int}{P}_{\mathit{ref}}={10}^{-3}\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HH2SUDA. Cette modélisation correspond à la modélisation Volume Finis décentrés sur les arêtes pour les mobilités (les termes fickiens sont centrés).La loi de couplage hydraulique est LIQU_AD_GAZ_VAPE.
Caractéristiques du maillage#
On utilise un maillage constitué de 100 éléments QUAD9.
Grandeurs testés et résultats#
Illustration 1: Profils de pression de gaz
On effectue des tests sur 4 nœuds à 1 instant une première fois en comparant les résultats à la solution analytique et une seconde fois en réalisant un test de non régression.
Grandeur |
Points \((x,y)\) |
Temps (s) |
Type référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
PRE2 |
\((0,075;0)\) \(\mathrm{N304}\) |
100 |
analytique |
1331.0 |
9.0% |
PRE2 |
\((0,075;0)\) \(\mathrm{N304}\) |
100 |
non régression |
1444.1 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,075;1)\) \(\mathrm{N293}\) |
100 |
analytique |
1331.0 |
9.0% |
PRE2 |
\((0,075;1)\) \(\mathrm{N293}\) |
100 |
non régression |
1444.1 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N469}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N469}\) |
100 |
non régression |
990.9 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,075;0,5)\) \(\mathrm{NQ95}\) |
100 |
analytique |
1331.0 |
9.0% |
PRE2 |
\((0,075;0,5)\) \(\mathrm{NQ95}\) |
100 |
non régression |
1444.1 |
1.0% |
Tableau 3.3-1 : Valeurs testées
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Modélisation D_PLAN_HH2S. Cette modélisation correspond à la modélisation Elements Finis classiques.La loi de couplage hydraulique est LIQU_AD_GAZ_VAPE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 100 éléments QUAD8.
Grandeurs testées et résultats#
On effectue des tests sur 2 nœuds à 1 instant une première fois en comparant les résultats à la solution analytique et une seconde fois en réalisant un test de non régression.
Grandeur |
Points \((x,y)\) |
Temps (s) |
Type référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N104}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N104}\) |
100 |
non régression |
992.8591566774 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,05;1)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;1)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
non régression |
992.85915667759 |
1.0% |
Tableau 4.3-1 : Valeurs testées
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HH2SUDA. Cette modélisation correspond à la modélisation Volumes Finis décentrés sur les arêtes pour les mobilités (les termes fickiens sont centrés).La loi de couplage hydraulique est LIQU_AD_GAZ_VAPE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 200 éléments TRIA7.
Grandeurs testées et résultats#
On effectue des tests sur 2 nœuds à 1 instant en comparant les résultats à la solution analytique et sur 3 nœuds à 1 instant en réalisant un test de non régression.
Grandeur |
Points \((x,y)\) |
Temps (s) |
Type référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
PRE2 |
\((0,075;0)\) \(\mathrm{N360}\) |
100 |
analytique |
1331.0 |
11.0% |
PRE2 |
\((0,075;0)\) \(\mathrm{N360}\) |
100 |
non régression |
1454.4 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,075;0,025)\) \(\mathrm{N505}\) |
100 |
analytique |
1331.0 |
10.0% |
PRE2 |
\((0,075;0,025)\) \(\mathrm{N505}\) |
100 |
non régression |
1450.4 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,016;0,0158)\) \(\mathrm{NT70}\) |
100 |
non régression |
353.978 |
1.0% |
Tableau 5.3-1 : Valeurs testées
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HH2S. Cette modélisation correspond à la modélisation Elements Finis.La loi de couplage hydraulique est LIQU_AD_GAZ_VAPE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 200 éléments TRIA6.
Grandeurs testées et résultats#
On effectue des tests sur 2 nœuds à 1 instant une première fois en comparant les résultats à la solution analytique et une seconde fois en réalisant un test de non régression.
Grandeur |
Points \((x,y)\) |
Temps (s) |
Type référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
non régression |
992.699 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N203}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N203}\) |
100 |
non régression |
993.06 |
1.0% |
Tableau 6.3-1 : Valeurs testées
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HS. Cette modélisation correspond à la modélisation Elements Finis.La loi de couplage hydraulique est GAZ.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 200 éléments TRIA6.
Grandeurs testées et résultats#
On effectue des tests sur 2 nœuds à l’instant \(t=100\mathrm{ans}\) une première fois en comparant les résultats à la solution analytique et une seconde fois en réalisant un test de non régression.
Grandeur |
Points \((x,y)\) |
Temps (s) |
Type référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0,05)\) \(\mathrm{N103}\) |
100 |
non régression |
992.699 |
1.0% |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N203}\) |
100 |
analytique |
889.3176 |
12.0% |
PRE2 |
\((0,05;0)\) \(\mathrm{N203}\) |
100 |
non régression |
993.06 |
1.0% |
Tableau 7.3-1: Valeurs testées
Synthèse des résultats#
Ce cas test permet de tester les schémas volumes finis dans différentes configurations sur une modélisation d’écoulement gazeux:
le schéma volumes finis décentré arête ;
sur différents types de mailles (triangles et rectangles).
Ces mêmes cas sont également réalisés avec les schémas éléments finis classiques. Tous les résultats sont très proches de la solution analytique.
D’un point de vue performance, on préconisera l’utilisation du schéma décentré arête.