v1.03.129 MFRON04 – Test de l’interface Code_Aster-MFront pour des lois de comportement anisotropes#
Résumé :
Ce test valide l’implémentation de lois de comportement élastique et élasto-plastique orthotropes définies à l’aide de MFront sur des chargements uniaxiaux.
Les modélisations A et B considèrent un modèle élastique linéaire orthotrope, en modélisations 3D et AXIS respectivement.
Les modélisations C et D considèrent un modèle élasto-plastique associé, avec élasticité linéaire isotrope et critère de plasticité orthotrope de Hill, en modélisations 3D et AXIS respectivement.
Solution de référence#
On considère dans toutes les modélisations que l’axe de chargement est parallèle à un axe du repère d’anisotropie \(\tensTwo{e}_1, \tensTwo{e}_2\) ou \(\tensTwo{e}_3\). On s’intéresse aux solutions des modélisations A et C. Celles des modélisations B et D s’en déduisent aisément.
- Remarque
La rotation du repère d’anisotropie est effectuée en utilisant le mot-clé MASSIF de l’opérateur AFFE_CARA_ELEM ([u4.42.01]), en renseignant les angles nautiques \((\alpha,\beta,\gamma)\) en 3D (et \(\alpha\) en 2D). Cette rotation est fausse si on utilise les angles d’Euler lorsqu’on intègre une loi de comportement anisotrope dans MFront.
Modélisation A#
On exhibe l’expression des déformations sur le modèle élastique linéaire orthotrope.
Le tenseur des contraintes s’écrit \(\stress = \stressCmp_{zz}\tensTwo{e}_z\otimes\tensTwo{e}_z\). Les déformations associées \(\strain\) sont :
Modélisation C#
On exhibe la contrainte de plastification sur le modèle élasto-plastique associé, avec élasticité linéaire isotrope et critère de plasticité orthotrope de Hill.
Le tenseur des contraintes est \(\stress = \stressCmp_{zz}\tensTwo{e}_z\otimes\tensTwo{e}_z\). La contrainte de plastification associée \(\stressCmp_p\) est :
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation et du maillage#
Le problème est modélisé en 3D. Le maillage est quadratique.
Paramètres matériau#
Les paramètres utilisés sont les suivants.
\(\youngModulus_1\) |
\(\youngModulus_2\) |
\(\youngModulus_3\) |
\(\poissonCoef_{12}\) |
\(\poissonCoef_{23}\) |
\(\poissonCoef_{13}\) |
\(\shearModulus_{12}\) |
\(\shearModulus_{23}\) |
\(\shearModulus_{13}\) |
100 MPa |
200 MPa |
300 MPa |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
20 MPa |
40 MPa |
60 MPa |
Grandeurs testées et résultats#
On compare la contrainte \(\strainCmp_{xx}\) et les déformations \(\strainCmp_{yy}\) et \(\strainCmp_{zz}\) obtenues en fin de chargement aux solutions analytiques.
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(\tensTwo{e}_1,\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_3)\) :
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\strainCmp_{xx}\) |
-0.009 |
9.64e-16 |
\(\strainCmp_{yy}\) |
-0.003 |
5.78e-16 |
\(\stressCmp_{zz}\) |
3 MPa |
5.92e-16 |
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(-\tensTwo{e}_3,\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_1)\) :
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\strainCmp_{xx}\) |
-0.003 |
5.78e-16 |
\(\strainCmp_{yy}\) |
-0.001 |
1.08e-16 |
\(\strainCmp_{zz}\) |
1 MPa |
0 |
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(\tensTwo{e}_1,-\tensTwo{e}_3,\tensTwo{e}_2)\) :
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\strainCmp_{xx}\) |
-0.002 |
8.67e-16 |
\(\strainCmp_{yy}\) |
-0.002 |
2.17e-16 |
\(\strainCmp_{zz}\) |
2 MPa |
1.11e-16 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation et du maillage#
Le problème est modélisé en AXIS. Le maillage est quadratique.
Paramètres matériau#
Les paramètres utilisés sont les suivants.
\(\youngModulus_1\) |
\(\youngModulus_2\) |
\(\poissonCoef_{12}\) |
\(\poissonCoef_{23}\) |
\(\shearModulus_{12}\) |
100 MPa |
300 MPa |
0.1 |
0.2 |
200 MPa |
- Remarque
Les paramètres renseignés ci-dessus sont les seuls pertinents en AXIS où les directions 2 et 3 sont équivalentes, et la direction 1 est celle d’axisymétrie. L’orthotropie se réduit alors à l’isotropie transverse, caractérisée par cinq constantes élastiques.
Grandeurs testées et résultats#
On compare la contrainte \(\strainCmp_{yy}\) et la déformation \(\strainCmp_{xx}\) obtenues en fin de chargement aux solutions analytiques.
L’orientation du repère d’anisotropie est tel que \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y)=(-\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_1)\Leftrightarrow \alpha=90°\).
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\strainCmp_{xx}\) |
-0.01 |
4.34e-16 |
\(\stressCmp_{yy}\) |
1 MPa |
4.44e-16 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation et du maillage#
Le problème est modélisé en 3D. Le maillage est quadratique.
Paramètres matériau#
Les paramètres utilisés sont les suivants.
\(\youngModulus\) |
\(\poissonCoef\) |
\(\sigma_0\) |
\(F\) |
\(G\) |
\(H\) |
\(L\) |
\(M\) |
\(N\) |
1000 MPa |
0.3 |
1 MPa |
0.5 |
0.1 |
0.3 |
0.5 |
0.1 |
0.8 |
Grandeurs testées et résultats#
On compare la contrainte \(\stressCmp_{zz}\) obtenue en fin de chargement à \(\stressCmp_p\).
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(\tensTwo{e}_1,\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_3)\) :
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\stressCmp_{zz}\) |
1/(0.4)**0.5 MPa |
2.03e-10 |
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(-\tensTwo{e}_3,\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_1)\) :
Si \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)=(\tensTwo{e}_1,-\tensTwo{e}_3,\tensTwo{e}_2)\) :
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\stressCmp_{zz}\) |
1/(0.6)**0.5 MPa |
5.41e-10 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation et du maillage#
Le problème est modélisé en AXIS. Le maillage est quadratique.
Paramètres matériau#
Les paramètres utilisés sont les suivants.
\(\youngModulus\) |
\(\poissonCoef\) |
\(\sigma_0\) |
\(F\) |
\(G\) |
\(H\) |
\(L\) |
\(M\) |
\(N\) |
1000 MPa |
0.3 |
1 MPa |
0.5 |
0.1 |
0.5 |
0.5 |
0.5 |
0.8 |
- Remarque
Les paramètres renseignés ci-dessus sont cohérents à l’équivalence des directions 2 et 3 : \(H=F\) et \(M=L\).
Grandeurs testées et résultats#
On compare la contrainte \(\stressCmp_{zz}\) obtenue en fin de chargement à \(\stressCmp_p\).
L’orientation du repère d’anisotropie est tel que \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y)=(-\tensTwo{e}_2,\tensTwo{e}_1)\Leftrightarrow \alpha=90°\).
Grandeur |
Valeur analytique |
Erreur relative |
\(\stressCmp_{yy}\) |
1 MPa |
1.13e-10 |
Synthèse des résultats#
L’ensemble des résultats est conforme aux solutions attendues.