v6.01.103 SSNA103 - Calage des paramètres du modèle de Weibull#
Résumé:
Ce test valide la commande RECA_WEIBULL permettant l’identification des paramètres \(m\) et \({\sigma}_{u}\) du modèle de Weibull.
L’identification est réalisée à l’aide d’une base de données constituée de 45 essais, tous réalisés sur éprouvettes cylindriques lisses à trois températures différentes, \(-150°C\) , \(-100°C\) et \(–50°C\) . Cette base de données est obtenue par tirage aléatoire d’un échantillon représentatif de la loi statistique de Weibull correspondant à des valeurs de \(m\) et \({\sigma}_{u}\) fixées arbitrairement.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Aucun calcul n’est nécessaire pour obtenir la solution de référence. Les valeurs \(m\) et \({\sigma}_{u}\) (M et SIGM_REFE dans l’option WEIBULL de DEFI_MATERIAU) que l’on cherche à identifier sont connues et permettent de générer la base des données expérimentales. Ainsi, les élongations à rupture sont déterminées de la façon suivante:
Pour chaque couple \(m\) et \({\sigma}_{u}\) associé à une température d’essai, un échantillon de 15 valeurs de contrainte de Weibull à la rupture ont été déterminées par tirage aléatoire compte tenu de la loi statistique suivante:
\({P}_{f}({\sigma}_{w})=1-\exp[-{(\frac{{\sigma}_{w}}{{\sigma}_{u}})}^{m}]\)
La contrainte de Weibull est définie par:
\({\sigma}_{w}=\sqrt[m]{\sum_{i}{({\sigma}_{I}^{i})}^{m}\frac{{V}_{i}}{{V}_{0}}}\)
La sommation porte sur les volumes de matière \({V}_{i}\) plastifiés, \({\sigma}_{I}^{i}\) désignant la contrainte principale maximale dans chacun de ces volumes (le volume \({V}_{0}\) (VOLU_REFE dans l’option WEIBULL de DEFI_MATERIAU) est égal à \((50\mu {m}^{3})\) ).
Dans le cas d’une sollicitation en traction simple avec l’hypothèse des petites déformations, la contrainte de Weibull, \({\sigma}_{W}\) , s’exprime en fonction de l’élongation à la rupture \((l-{l}_{0})/{l}_{0}\) ,, selon:
\({\sigma}_{w}=[{E}_{t}(\frac{l-{l}_{0}}{{l}_{0}})+(1-\frac{{E}_{t}}{E}){\sigma}_{Y}]\sqrt[m]{\frac{V}{{V}_{0}}}\)
On déduit donc de cette expression et du tirage aléatoire précédent les valeurs des allongements à rupture reportées dans le tableau de la v6.01.103-conditions-limites-chargements.
Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs de références de \(m\) et \({\sigma}_{u}\) utilisées pour créer les bases d’essais expérimentaux sont les suivantes:
Température \([°C]\) |
–50 |
–100 |
–150 |
\(m\) |
24 |
24 |
24 |
\({\sigma}_{u}\) \([\mathrm{MPa}]\) |
2800 |
2700 |
2600 |
Incertitudes sur la solution#
L’incertitude sur la solution ne peut pas être déterminée de façon précise. Elle peut être assez élevée. En effet, les valeurs de références ne peuvent être retrouvées que si l’on considère des populations expérimentales composées d’un nombre infini d’échantillons.
Modélisation A#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 149
Nombre de mailles et types: 40 éléments QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification d’un \(m\) commun aux trois bases expérimentales et d’un \({\sigma}_{u}\) par base.
Température \([°C]\) |
Référence |
Valeurs calculées |
|||||
MAXI_VRAI |
REGR_LINE |
||||||
\(m\) |
\({\sigma}_{u}\) \([\mathrm{MPa}]\) |
\(m\) |
\({\sigma}_{u}\) \([\mathit{MPa}]\) |
\(m\) |
\({\sigma}_{u}\) \([\mathit{MPa}]\) |
||
–50 |
24 |
2800 |
26,7 |
2536 |
16,1 |
4983 |
|
–100 |
24 |
2700 |
26,7 |
2428 |
16,1 |
4642 |
|
–150 |
24 |
2600 |
26,7 |
2372 |
16,1 |
4555 |
|
Remarques#
En utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, bien que l’écart entre les valeurs de (\(m\) , \({\sigma}_{u}\) ) obtenues avec RECA_WEIBULL et leurs valeurs de référence reste non négligeable, il est conforme au résultat cherché compte tenu du nombre relativement faible d’échantillons utilisés pour le recalage (15 par température). Pour obtenir les valeurs de référence il faudrait considérablement augmenter le nombre d’échantillons par température (\(N>1000\) ). L’écart constaté reste cependant raisonnable (de l’ordre de 10%). Par ailleurs, la croissance de \({\sigma}_{u}\) en fonction de la température est respectée.
Avec la méthode de régression linéaire, l’écart est plus important.
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus montrent que la procédure de calage automatique des paramètres du modèles de Weibull fonctionne et donne des résultats cohérents avec les résultats théoriques attendus.