v2.03.120 SDLS120 – Plaque 2D fissurée soumise à un chargement en Mode I. Validation du calcul modal avec X-FEM

Résumé:

Ce cas-test valide le calcul modal pour une plaque 2D ayant une fissure introduite par la méthode X-FEM. On valide notamment les options de calcul RIGI_MECA, MASS_MECA et RIGI_GEOM nouvellement développées pour un modèle X-FEM. La plaque présente une fissure débouchante horizontale et droite, des conditions aux limites d’encastrement sont appliquées sur un bord et un chargement en pression sur l’autre afin d’ouvrir la fissure en mode \(I\) .

La solution de référence, qui fait l’objet de la modélisation A, est calculée par Code_Aster en utilisant le modèle similaire avec la fissure maillée de façon classique. Les premiers 8 modes propres sont calculés et leurs fréquences propres sont comparées.

Le fonctionnement des commandes de post-traitement pour la visualisation d’un résultat de type mode_meca calculé avec un modèle X-FEM est également testé.

La modélisation C est une copie de la modélisation A avec la modélisation C_PLAN au lieu de D_PLAN. Elle a pour but de tester l’option RIGI_GEOM avec les éléments C_PLAN.

Solution de référence

La solution de référence est calculée par la modélisation A (voir le chapitre suivant) avec la méthode classique des éléments finis en considérant la fissure maillée.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation on considère le cadre des déformations planes (D_PLAN), la fissure est maillée, et on utilise la méthode classique des éléments finis pour réaliser le calcul. Cette modélisation servira de référence et permettra la comparaison avec la méthode X-FEM.

Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage régulier composé de \(30\times 50\) QUAD4, respectivement suivant les axes \(x,y\) (voir [Figure 3.2‑a]). Les lèvres de la fissure sont générées par les deux bords superposés à mi-hauteur de la plaque (trait plus épais sur la figure).

Figure 3.2‑a: Maillage pour la modélisation A. Illustration des conditions aux limites et du chargement

Fonctionnalités testées

On calcule les premiers 8 modes propres de la structure en considérant la contribution de la rigidité géométrique due à la précontrainte induite à l’équilibre par le chargement considéré.

Commandes
CALC_MATR_ELEM		OPTION = ‘RIGI_MECA’ OPTION = ‘MASS_MECA’ OPTION = ‘RIGI_GEOM’
CALC_MODES	CALC_FREQ SOLVEUR_MODAL	OPTION = ‘PLUS_PETITE’ NMAX_FREQ = 8 METHODE = ‘SORENSEN”

Grandeurs testées et résultats

Pour cette modélisation on considère des tests de non-régression sur les fréquences propres des premiers 8 modes.

Identification	Référence	Code_Aster	% différence
Fréquence mode 1	7.005	7.005
Fréquence mode 2	24.895	24.895
Fréquence mode 3	41.820	41.820
Fréquence mode 4	84.905	84.905
Fréquence mode 5	106.179	106.179
Fréquence mode 6	134.298	134.298
Fréquence mode 7	166.198	166.198
Fréquence mode 8	181.048	181.048

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation, toujours D_PLAN, on considère le cas X-FEM. La fissure n’est plus maillée, elle est introduite dans le maillage sain par l’opérateur DEFI_FISS_XFEM.

Caractéristiques du maillage

La structure est modélisée par un maillage régulier composé de \(30\times 50\) QUAD4, respectivement suivant les axes \(x,y\) (voir [Figure 4.2‑a]). On peut observer que les mailles affectées par la fissure sont partitionnées en triangles par les opérateurs X-FEM pour des besoins d’intégration numérique des quantités comme la masse et la rigidité.

Figure 4.2‑a: Maillage pour la modélisation B

Fonctionnalités testées

On calcule les premiers 8 modes propres de la structure en considérant la contribution de la rigidité géométrique due à la précontrainte induite à l’équilibre par le chargement considéré.

Commandes
CALC_MATR_ELEM		OPTION = ‘RIGI_MECA’ OPTION = ‘MASS_MECA’ OPTION = ‘RIGI_GEOM’
CALC_MODES	CALC_FREQ SOLVEUR_MODAL	OPTION = ‘PLUS_PETITE’ NMAX_FREQ = 8 METHODE = ‘SORENSEN”
POST_CHAM_XFEM		RESULTAT = sd_mode_meca

Grandeurs testées et résultats

Pour cette modélisation on considère des tests sur les fréquences propres des premiers 8 modes avec comme référence les résultats issus de la modélisation A.

Identification	Référence	Code_Aster	% différence
Fréquence mode 1	7.005	6.902	1.5
Fréquence mode 2	24.895	24.984	0.36
Fréquence mode 3	41.820	41.143	1.6
Fréquence mode 4	84.905	84.661	0.29
Fréquence mode 5	106.179	103.269	2.7
Fréquence mode 6	134.298	135.242	0.70
Fréquence mode 7	166.198	165.284	0.55
Fréquence mode 8	181.048	181.556	0.28

Remarques

Comme on peut l’observer dans le comparatif des résultats pour cette modélisation, on obtient des différences entres les fréquences propres calculées avec le modèle X-FEM et celles calculées avec le modèle classique. Ces différences sont normales sachant que la masse, la rigidité élastique ainsi que la contribution géométrique de la rigidité sont calculées de façon différent pour les éléments X-FEM. Ceux-ci sont partitionnées dans des triangles sur lesquels on considère des schémas d’intégration à 12 points. En revanche, pour les éléments classiques on utilise le schéma à 4 points. Pour certains modes propres (notamment le mode 5 ici) la différence est encore plus grande car dans ce cas l’apport de la rigidité géométrique joue un rôle plus important. Comme pour la solution de référence le maillage est assez grossier autour de la pointe de la fissure, le champ de contraintes n’est pas calculé avec la même précision que dans le cas X-FEM où des fonctions d’enrichissement spéciales permettent une évaluation plus exacte. Concernant les déformées modales, on constate (voir la Figure 4.5-a) une très bonne concordance entre les résultats issus du calcul classique et ceux issus du calcul X-FEM.

mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5

Figure 4 .5 ‑ a: Les déformées modales pour les 5 premiers modes propres. Sur la rangée d’en haut sont les modes « classiques » et sur la rangée d’en bas ceux « X-FEM »

Modélisation C

Copie de la modélisation A avec des éléments C_PLANpour tester l’option RIGI_GEOM sur ces éléments. Produit les mêmes résultats que la modélisation A.

Synthèse des résultats

Ce cas-test a permis la validation du calcul modal d’une structure 2D présentant une fissure introduite par la méthode X-FEM. Le comparatif des résultats considérés ici, les fréquences propres des premiers 8 modes, montre une bonne concordance entre le calcul « classique » où la fissure est maillée et le calcul avec X-FEM.