v7.23.102 HSNS102 - Plaque en béton armé avec chargement thermique#
Résumé:
Ce test a pour but principal de vérifier la modélisation des éléments béton armé sous chargement thermique selon trois techniques :
Modélisation A: Modèle coque : DKT + GRILLE_EXCENTREE
Modélisation B: Modèle solide : Volumique + GRILLE_MEMBRANE
Modélisation C: Modèle solide : Volumique + MEMBRANE
L’objectif est de vérifier la réponse mécanique par comparaison avec une solution de référence obtenue analytiquement.
De plus, il teste, dans la modélisation B, la fonctionnalité MATRICE=ELASTIQUE de STAT_NON_LINE pour les éléments GRILLE_MEMBRANE, ainsi que les options EPVC_ELGA, EPME_ELGA et EPSP_ELGA.
Dans la modélisation C, on teste également le calcul des options EFGE_ELGA et EFGE_ELNO sur les éléments de MEMBRANE(en linéaire et en non-linéaire).
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Les déformations totales dans l’acier et dans le béton sont :
\({\epsilon}_{a}^{t}={\epsilon}_{a}^{m}+{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\) et \({\epsilon}_{b}^{t}={\epsilon}_{b}^{m}\) avec \({\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}=\alpha \Delta T\)
Soient \(\epsilon\) la déformation du plan moyen de la plaque et \(\chi\) la courbure de la plaque, les deux inconnues à trouver. En respectant la cinématique (les sections restent planes), l’acier étant parfaitement lié au béton, on a :
\({\epsilon}_{a}^{t}=\epsilon -e\chi\) et \({\epsilon}_{b}^{t}=\epsilon -y\chi\)
L’effort normal imposé sur la plaque est nul :
\(N={N}_{a}+{N}_{b}={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\int{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})+{E}_{b}{S}_{b}\epsilon =0\)
De même, le moment fléchissant imposé sur la plaque est nul :
\(M={M}_{a}+{M}_{b}=e{E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{m}+{E}_{b}\inty{\epsilon}_{b}^{m}\text{}={E}_{a}{S}_{a}(e\epsilon -{e}^{2}\chi -e{\epsilon}_{a}^{\mathrm{th}})+{E}_{b}{I}_{b}\chi =0\)
On obtient ainsi deux équations pour déterminer les deux inconnues :
\(\begin{array}{c}({E}_{a}{S}_{a}+{E}_{b}{S}_{b})\epsilon -{E}_{a}{S}_{a}e\chi ={E}_{a}{S}_{a}{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\\ {E}_{a}{S}_{a}e\epsilon +({E}_{b}{I}_{b}-{E}_{a}{S}_{a}{e}^{2})\chi ={E}_{a}{S}_{a}e{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}}\end{array}\)
On obtient :
\(\epsilon =\frac{\alpha \Delta T}{A}\) et \(\chi =\frac{-\alpha \Delta T}{B}\)
avec :
\(A=1+\frac{{E}_{b}{S}_{b}}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{{S}_{b}{e}^{2}}{{I}_{b}}\) et \(B=e+(\frac{1}{{E}_{a}{S}_{a}}+\frac{1}{{E}_{b}{S}_{b}})+\frac{{E}_{b}{I}_{b}}{e}\)
A partir de ces valeurs on peut calculer :
l’allongement de la plaque : \(\Delta L=\epsilon L\)
la rotation de la plaque : \({R}_{y}=\chi L\)
la flèche au bout de la plaque : \(f=-\chi \frac{{L}^{2}}{2}\) ou au milieu de la plaque \(f=-\chi \frac{{L}^{2}}{8}\)
la contrainte normale dans l’acier : \({\sigma}_{a}={E}_{a}(\epsilon -e\chi -{\epsilon}_{a}^{\mathit{th}})\)
l’effort normal dans le béton : \({N}_{b}={E}_{b}{S}_{b}\epsilon\)
Grandeurs et résultats de référence#
On calcule l’allongement et la flèche de la plaque (déplacement \({U}_{x}\) et \({U}_{z}\) d’un nœud du bord \(C\) de la plaque), la rotation (\({R}_{y}\) constante sur la longueur), l’effort normal dans les armatures, l’effort normal dans le béton \({N}_{b}\) .
Incertitudes sur la solution#
Solution exacte.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
NO3
NO4
GEOB
GEOA
NO1
NO2
Modélisation :
1 élément DKT (GEOB) superposé à 1 élément GRILLE_EXCENTRE (GEOA) appuyé sur les mêmes nœuds.
Conditions aux limites:
Nœuds \(\mathrm{NO1}\) et \(\mathrm{NO4}\) : \(\mathrm{DX}=0.,\mathrm{DZ}=0.,\mathrm{DRY}=0.\)
Nœuds \(\mathrm{NO1}\) et \(\mathrm{NO2}\) : \(\mathrm{DY}=0\)
Chargement thermique :
Le béton reste à \(20°C\) .
L’acier passe de \(20°C\) à \(120°C\) entre les instants \(0\) et \(1\) ,
La température de référence est dans les deux cas de \(20°C\) .
Caractéristiques du maillage#
Nœuds: 4
Mailles: 1 QUAD4pour le béton et 1 QUAD4 pour l’acier
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de Référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
Déplacement DXen NO2 |
“ANALYTIQUE” |
1.4285714E-04 |
0.0001% |
Déplacement DZen NO2 |
“ANALYTIQUE” |
2.1428571E-03 |
0.0001% |
Rotation RYen NO2 |
“ANALYTIQUE” |
-4.2857143E-03 |
0.0001% |
Contrainte SIXXdans la maille acier AMA1 |
“ANALYTIQUE” |
-8.571429E+07 |
0.0001% |
Effort NXX dans la maille béton MA1 |
“ANALYTIQUE” |
8.571429E+05 |
0.0001% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
GEOA
GEOB
P1
P4
P3
A
PMB : milieu du béton (0.5; 0.5; 0.)
PMA : milieu de l’acier (0.5; 0.5; -0.1)
Modélisation :
Éléments 3D linéaires (GEOB) et éléments GRILLE_MEMBRANE (GEOA) appuyés sur les nœuds de la face inférieure.
Conditions aux limites :
Face \(A\) : bloquée par \(\mathit{DX}=0\)
Ligne \(\mathit{P1}-\mathit{P4}\) : bloquée par \(\mathit{DZ}=0\)
Point \(\mathit{P1}\) : bloqué par \(\mathit{DY}=0\)
Chargement thermique :
Le béton reste à \(20°C\) .
L’acier passe de \(20°C\) à \(120°C\) entre les instants \(0\) et \(1\) ,
La température de référence est dans les deux cas de \(20°C\) .
Remarque :
Par rapport aux autres modélisations, un calcul non-linéaire avec le comportement GRILLE_ISOT_LINE est ajouté pour valider l’option EPSP_ELGA .
Les paramètres du matériau ECRO_LINE utilisés sont les suivants: D_SIGM_EPSI = \(0.5E11\) , SY = \(1E7\) .
Caractéristiques du maillage#
Nœuds: 243
Mailles: 104 CUB8pour le béton et 52 QUAD4 pour l’acier
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
Déplacement DXau point PMB |
“ANALYTIQUE” |
7.19892100E-05 |
1.00% |
Déplacement DZau point PMB |
“ANALYTIQUE” |
5.35714274E-04 |
1.05% |
Contrainte SIXXdans l’acier au point PMA |
“ANALYTIQUE” |
-8.571429E+07 |
1.00% |
Contrainte SIXXdans le béton au point PMB |
“ANALYTIQUE” |
4.52857145E+06 |
1.00% |
Remarque :
Les valeurs de déplacements et de contraintes sont évaluées au centre de la plaque car en modélisation \(\mathrm{3D}\) il y a des effets de bord libre au bout, non considérés par la solution analytique.
Validation de EPVC_ELGA, EPME_ELGA et EPSP_ELGA sur le calcul élastique (les tests sur EPSI_ELGA et SIEF_ELGA servent à l’obtention des valeurs de références):
Instant |
Maille/Point |
Champ/Composante |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
1.0 |
M107/1 |
EPSI/EXX |
“NON_REGRESSION” |
||
1.0 |
M107/1 |
EPVC/EPTHER_L |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-03 |
0.1 |
1.0 |
M107/1 |
EPME/EXX |
“NON_REGRESSION” |
||
1.0 |
M107/1 |
EPSP/EXX |
“ANALYTIQUE” |
Complément de validation de EPME_ELGA et EPSP_ELGA sur un calcul anélastique:
Instant |
Maille/Point |
Champ/Composante |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance (%) |
1.0 |
M107/1 |
SIEF/SIXX |
“NON_REGRESSION” |
||
1.0 |
M107/1 |
EPME/EPXX |
“NON_REGRESSION” |
||
1.0 |
M107/1 |
EPSP/EPXX |
“NON_REGRESSION” |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation :
Éléments 3D linéaires (GEOB) et éléments MEMBRANE (GEOA) appuyés sur les nœuds de la face inférieure.
Conditions aux limites et chargement thermique :
Identiques à la modélisation B.
Caractéristiques du maillage#
Maillage identique à la modélisation B.
Valeurs testées et résultats#
Valeurs identiques à la modélisation B.
Remarque:
La validation des options EFGE_ELGA et EFGE_ELNO est faite par inter comparaison avec les champs SIEF_ELGA et SIEF_ELNO : ces champs ont le même contenu.
Synthèse des résultats#
Ce test compare les solutions obtenues avec trois types de modélisation à une solution analytique dans le cas d’une plaque en béton armé soumis à un chargement thermique.
Modèle coque: DKT + GRILLE_EXCENTREE
Modèle solide: Volumique + GRILLE_MEMBRANE
Modèle solide: Volumique + MEMBRANE
Le bilan des comparaisons indique un écart négligeable entre les résultats. Un seul élément fini est suffisant pour retrouver la solution analytique dans le cas DKT + GRILLE_EXCENTREE.
Dans les cas volumiques avec GRILLE_MEMBRANE ou MEMBRANE, l’erreur est inférieure à \(1\text{\%}\) pour un maillage suffisamment fin (26 éléments dans la longueur).