v3.04.121 SSLV121 - Etirement d’un parallélépipède isotrope transverse sous son propre poids#
Résumé:
Ce test de mécanique des structures permet l’évaluation des déplacements et des contraintes d’un parallélépipède se déformant sous son propre poids. Le matériau est élastique linéaire isotrope transverse. La modélisation est tridimensionnelle. Le modèle est similaire au test VPCS SSLV07 (mais dans ce cas le matériau est isotrope) et au test SSLV120 (dans ce cas le matériau est orthotrope.).
Les écarts des résultats obtenus par Aster se situent entre \(\text{0,00\%}\) et \(\text{0,4\%}\) de la référence calculée analytiquement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est issue de celle donnée dans la fiche SSLV07/89 du guide VPCS (en considérant en plus une matrice élastique isotrope transverse). L’expression analytique de la solution est la suivante:
Déplacements:
\(u=-\frac{{\nu}_{\text{NL}}\rho gxz}{{E}_{N}}\)
\(v=-\frac{{\nu}_{\text{NL}}\rho gyz}{{E}_{N}}\)
\(w=\frac{\rho g{z}^{2}}{2{E}_{N}}+\frac{\rho g{\nu}_{\text{NL}}}{2{E}_{N}}({x}^{2}+{y}^{2})-\frac{\rho g{L}^{2}}{2{E}_{N}}\)
Contraintes:
\({\sigma}_{zz}=\rho gz\) \({\sigma}_{zz}={\sigma}_{yy}={\sigma}_{xy}={\sigma}_{yz}={\sigma}_{\mathrm{zx}}=0\)
Résultats de référence#
Déplacement des points \(B\) , \(C\) , \(D\) , \(E\) et \(X\) .
Contraintes \({\sigma}_{zz}\) en \(A\) et \(E\)
Incertitude sur la solution#
Résultats analytiques exacts.
Références bibliographiques#
TIMOSHENKO (S.P) Théorie de l’élasticité - Paris - Librairie Polytechnique Ch. Béranger , p.279 à 282 (1961)
S.W. TSAI, H.T. HAHN - Introduction to composite materials. Technomic Publishing Company (1980).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
3D
Découpage :
3 éléments en hauteur
2 éléments en largeur et épaisseur
mailles hexa20
Conditions limites:
sur l’axe \(\mathrm{AB}\) |
DDL_IMPO: ( GROUP_NO:ABsansA DX=0., DY=0. ) |
en \(A\) et \(D\) |
( NOEUD:A DX=0., DY=0., DZ=0. ) ( NOEUD:D DY=0.) |
Noms des nœuds: |
\(A=\mathrm{N59}\) |
\(B=\mathrm{N53}\) |
\(C=\mathrm{N12}\) |
\(D=\mathrm{N18}\) |
\(E=\mathrm{N56}\) |
\(X=\mathrm{N70}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 111
Nombre de mailles et types: 12 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
\({U}_{B}\) |
10–22 |
||
\({V}_{B}\) |
10–22 |
||
\({W}_{B}\) |
–1.72165510–6 |
–1.721674 10–6 |
0.001 |
\({U}_{C}\) |
= 10–14 |
||
\({V}_{C}\) |
= 10–19 |
||
\({W}_{C}\) |
–1.715916 10–6 |
–1.715935 10–6 |
0.001 |
\({U}_{D}\) |
-6.88662 10–8 |
-6.88653 10–8 |
0.001 |
\({V}_{D}\) |
= 10–23 |
||
\({W}_{D}\) |
5.73885 10–9 |
5.71514 10–9 |
0.413 |
\({U}_{E}\) |
= 10–22 |
||
\({V}_{E}\) |
= 10–23 |
||
\({W}_{E}\) |
–1.291241 10–6 |
–1.291260 10–6 |
0.002 |
\((\mathrm{Pa})\) |
|||
\({\sigma}_{zz}\) \((A)\) |
2.29554 105 |
2.2956 105 |
< 0.01 |
\({\sigma}_{zz}\) \((E)\) |
1.14777 105 |
1.14777 105 |
< 0.01 |
\({\sigma}_{zz}\) \((X)\) |
2.29554 105 |
2.29549 105 |
< 0.01 |
\({U}_{X}\) |
10–20 |
||
\({V}_{X}\) |
-6.88662 10–8 |
-6.886534 10–8 |
|
\({W}_{X}\) |
5.73885 10–8 |
5.71514 10–9 |
0.413 |
La modélisation en HEXA20 est tout à fait acceptable pour ce maillage grossier.
Synthèse des résultats#
Les résultats concernant les déplacements et les contraintes sont très proches de la solution analytique avec la modélisation adoptée (\(\text{< 0.2\%}\) pour les déplacements, \(\text{< 0.5\%}\) pour les contraintes).
Le fait qu’il n’y ait qu’une seule composante des contraintes (\({\sigma}_{zz}\) ) dans le problème permet de ne tester que 2 coefficients élastiques (\({E}_{N}\) et \({\nu}_{\text{LN}}\) ).
Bien que ces coefficients soient constants, ils ont été introduits sous forme de fonctions pour tester la fonctionnalité ELAS_ISTR_FO.
Les coefficients élastiques dans le plan \(\mathrm{XY}\) et la direction \(Z\) ont été choisis de manière à obtenir les mêmes valeurs des déplacements aux points \(B\) , \(C\) , \(D\) et \(E\) que celles calculées pour un matériau isotrope (test SSLV07) ou orthotrope (test SSLV120). Numériquement, ces valeurs sont très proches de celles de ces tests aux points considérés (de l’ordre de \({10}^{-6}\) ) la différence résultant du mode de construction des matrices de raideur dans les différents cas. Au point \(X\) , ces valeurs diffèrent mais correspondent bien à la solution de référence.