r7.01.50 Intégration de la relation de comportement élasto-plastique INTERF_POU_CINE pour les éléments 3D_INTERF_POU

Résumé :

Ce document décrit l’intégration de la relation de comportement élasto-plastique INTERF_POU_CINE. Cette loi concerne uniquement les éléments 3D_INTERF_POU [R7.01.49].

La méthode d’intégration utilisée se base sur une formulation implicite directe. A partir de l’état initial, ou à partir de l’instant de calcul précédent, on calcule le champ de contraintes résultant d’un incrément de déformation. On calcule également l’opérateur tangent.

Notations générales et hypothèses en élasto-plasticité

\[\newcommand{\sig}{\vector{\sigma}} \newcommand{\signx}{\sigma_{n_1}} \newcommand{\signy}{\sigma_{n_2}} \newcommand{\sigt}{\sigma_t} \newcommand{\eps}{\vector{\varepsilon}} \newcommand{\epsnx}{\varepsilon_{n_1}} \newcommand{\epsny}{\varepsilon_{n_2}} \newcommand{\epst}{\varepsilon_t} \newcommand{\Cel}{\vector{C}} \newcommand{\sigy}{\vector{\sigma_y}} \newcommand{\isigy}{\inverse{\sigy}} \newcommand{\sigyn}{\sigma_{y,n}} \newcommand{\sigyt}{\sigma_{y,t}} \newcommand{\ksi}{\vector{\xi}} \newcommand{\rsig}{\vector{r}} \newcommand{\rsigt}{r_{t}} \newcommand{\rsignx}{r_{n_1}} \newcommand{\rsigny}{r_{n_2}} \newcommand{\Gpl}{\vector{G}} \newcommand{\dfds}{\frac{\partial f}{\partial \sig}} \newcommand{\tdfds}{\transpose{\dfds}} \newcommand{\idn}[1]{{#1}_{n}} \newcommand{\idp}[1]{{#1}_{n+1}} \newcommand{\Dlam}{\Delta \lambda} \newcommand{\epsp}{\idp{\eps}} \newcommand{\epsn}{\idn{\eps}} \newcommand{\sigp}{\idp{\sig}} \newcommand{\sign}{\idn{\sig}} \newcommand{\rsigp}{\idp{\rsig}} \newcommand{\rsign}{\idn{\rsig}} \newcommand{\ksip}{\idp{\ksi}} \newcommand{\ksin}{\idn{\ksi}} \newcommand{\lamp}{\idp{\lambda}} \newcommand{\lamn}{\idn{\lambda}} \newcommand{\Dlamp}{\Delta \lamp} \newcommand{\Dtp}{\Delta \idp{t}}\]

Notations générales

Les quantités évaluées à l’instant précédent \(t\) sont indicées \({}_{n}\). Les quantités évaluées à l’instant courant \(t+\Delta t\) sont indicées \({}_{n+1}\).

Les incréments sont désignés par \(\Delta\).

Pour le calcul des dérivées , on notera : \(\dot{\eps}\) dérivée de \(\eps\) par rapport au temps.

\(\sig = \transpose{\langle \begin{matrix} \sigt & \signx & \signy \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des forces d’interface.
\(\eps = \transpose{\langle \begin{matrix} \epst & \epsnx & \epsny \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des déplacements relatifs.
\(\Cel = \transpose{\langle \begin{matrix} k_t & k_n & k_n \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des raideurs d’élasticité.
\(k_n, k_t\)	raideurs élastiques dans les directions respectivement normales et tangentielles au renforcement.
\(\sigy = \transpose{\langle \begin{matrix} \sigyt & \sigyn & \sigyn \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des limites d’élasticité.
\(\sigyn, \sigyt\)	limites d’élasticité dans les directions respectivement normales et tangentielles au renforcement.
\(\rsig = \transpose{\langle \begin{matrix} \rsigt & \rsignx & \rsigny \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des forces d’interface de rappel (écrouissage cinématique).
\(\ksi = \isigy \left( \sig - \rsig \right)\)
\(\Gpl = \transpose{\langle \begin{matrix} g_t & g_n & g_n \end{matrix} \rangle}\)	vecteur des raideurs plastiques.
\(g_n, g_t\)	raideurs plastiques dans les directions respectivement normales et tangentielles au renforcement.
\(\lambda\)	multiplicateur plastique.
\(t\)	temps.
\(\Delta\)	incrément

Hypothèses de l’élasto-plasticité

Sont rappelées ci-après les hypothèses de l’élasto-plasticité :

• décomposition de la déformation en partie élastique et plastique :

\[\dot{\eps} = \dot{\eps}^{el} + \dot{\eps}^{pl}\]

• existence d’un domaine élastique régi par une relation élastique linéaire telle que :

\[\dot{\sig} = \Cel \dot{\eps}^{el}\]

• existence d’une surface de charge délimitant ce domaine élastique :

\[f (\sig, \rsig) \leq 0\]

• existence d’une règle d’écoulement donnant la direction d’écoulement plastique à partir d’un potentiel plastique :

\[\dot{\eps}^{pl} = \dot{\lambda} \transpose{\frac{\partial \Phi}{\partial \sig}}\]

• existence d’une fonction d’écrouissage prescrivant l’évolution des variables internes :

\[\dot{\rsig} = - \dot{\lambda} \vector{h} \left(\sig, \rsig\right)\]

• application des conditions de complémentarité de Kuhn-Tucker :

\[\begin{array}{ccc} f \le 0 \quad \quad & \quad \quad \dot{\lambda} \ge 0 \quad \quad & \quad \quad \dot{\lambda} f = 0 \end{array}\]

Caractéristiques générales

\[\newcommand{\sig}{\vector{\sigma}} \newcommand{\signx}{\sigma_{n_1}} \newcommand{\signy}{\sigma_{n_2}} \newcommand{\sigt}{\sigma_t} \newcommand{\eps}{\vector{\varepsilon}} \newcommand{\epsnx}{\varepsilon_{n_1}} \newcommand{\epsny}{\varepsilon_{n_2}} \newcommand{\epst}{\varepsilon_t} \newcommand{\Cel}{\vector{C}} \newcommand{\sigy}{\vector{\sigma_y}} \newcommand{\isigy}{\inverse{\sigy}} \newcommand{\sigyn}{\sigma_{y,n}} \newcommand{\sigyt}{\sigma_{y,t}} \newcommand{\ksi}{\vector{\xi}} \newcommand{\rsig}{\vector{r}} \newcommand{\rsigt}{r_{t}} \newcommand{\rsignx}{r_{n_1}} \newcommand{\rsigny}{r_{n_2}} \newcommand{\Gpl}{\vector{G}} \newcommand{\dfds}{\frac{\partial f}{\partial \sig}} \newcommand{\tdfds}{\transpose{\dfds}} \newcommand{\idn}[1]{{#1}_{n}} \newcommand{\idp}[1]{{#1}_{n+1}} \newcommand{\Dlam}{\Delta \lambda} \newcommand{\epsp}{\idp{\eps}} \newcommand{\epsn}{\idn{\eps}} \newcommand{\sigp}{\idp{\sig}} \newcommand{\sign}{\idn{\sig}} \newcommand{\rsigp}{\idp{\rsig}} \newcommand{\rsign}{\idn{\rsig}} \newcommand{\ksip}{\idp{\ksi}} \newcommand{\ksin}{\idn{\ksi}} \newcommand{\lamp}{\idp{\lambda}} \newcommand{\lamn}{\idn{\lambda}} \newcommand{\Dlamp}{\Delta \lamp} \newcommand{\Dtp}{\Delta \idp{t}}\]

La surface de charge est considérée elliptique dans l’espace des efforts d’interface (sphérique dans l’espace normalisé). Elle est symétrique dans les deux directions normales au renforcement (fig. Fig. 325).

Fig. 325 Surface de charge dans l’espace normalisé des efforts d’interface

Surface de charge	\(f (\sig, \rsig) = \transpose{\ksi} \ksi - 1 = 0\)
Règle d’écoulement (associée : \(\Phi = f\))	\(\dot{\eps}^{pl} = \dot{\lambda} \tdfds = 2 \dot{\lambda} \isigy \ksi\)
Fonction d’écrouissage	\(\dot{\rsig} = \Gpl \dot{\eps}^{pl} = 2 \dot{\lambda} \Gpl \isigy \ksi\)

Intégration du comportement local

\[\newcommand{\sig}{\vector{\sigma}} \newcommand{\signx}{\sigma_{n_1}} \newcommand{\signy}{\sigma_{n_2}} \newcommand{\sigt}{\sigma_t} \newcommand{\eps}{\vector{\varepsilon}} \newcommand{\epsnx}{\varepsilon_{n_1}} \newcommand{\epsny}{\varepsilon_{n_2}} \newcommand{\epst}{\varepsilon_t} \newcommand{\Cel}{\vector{C}} \newcommand{\sigy}{\vector{\sigma_y}} \newcommand{\isigy}{\inverse{\sigy}} \newcommand{\sigyn}{\sigma_{y,n}} \newcommand{\sigyt}{\sigma_{y,t}} \newcommand{\ksi}{\vector{\xi}} \newcommand{\rsig}{\vector{r}} \newcommand{\rsigt}{r_{t}} \newcommand{\rsignx}{r_{n_1}} \newcommand{\rsigny}{r_{n_2}} \newcommand{\Gpl}{\vector{G}} \newcommand{\dfds}{\frac{\partial f}{\partial \sig}} \newcommand{\tdfds}{\transpose{\dfds}} \newcommand{\idn}[1]{{#1}_{n}} \newcommand{\idp}[1]{{#1}_{n+1}} \newcommand{\Dlam}{\Delta \lambda} \newcommand{\epsp}{\idp{\eps}} \newcommand{\epsn}{\idn{\eps}} \newcommand{\sigp}{\idp{\sig}} \newcommand{\sign}{\idn{\sig}} \newcommand{\rsigp}{\idp{\rsig}} \newcommand{\rsign}{\idn{\rsig}} \newcommand{\ksip}{\idp{\ksi}} \newcommand{\ksin}{\idn{\ksi}} \newcommand{\lamp}{\idp{\lambda}} \newcommand{\lamn}{\idn{\lambda}} \newcommand{\Dlamp}{\Delta \lamp} \newcommand{\Dtp}{\Delta \idp{t}} \newcommand{\vA}{\vector{A}} \newcommand{\vId}{\vector{1}}\]

Formulation du problème continu en temps

La résolution d’un problème de mécanique à l’échelle de la structure nécessite la connaissance de l’état de contrainte en chacun des points de Gauss du modèle. Dans le cadre d’un comportement non-linéaire en un point de Gauss, une étape d’intégration de ce comportement est nécessaire en ce point.

Cette étape consiste à mettre à jour les variables locales (\(\sig\), \(\rsig\), \(\eps^{pl}\)) en \(\idp{t}\), à partir de leur connaissance en \(\idn{t}\) et de la connaissance de \(\idp{\eps}\), et en cohérence avec les équations d’évolution des variables données en section précédente r7-01-50-equations-evolution,

\[\begin{split}\begin{align} \dot{\sig} & = \Cel \left( \dot{\eps} - \dot{\eps}^{pl} \right) \\ \dot{\eps}^{pl} & = 2 \dot{\lambda} \isigy \ksi \\ \dot{\rsig} & = 2 \dot{\lambda} \Gpl \isigy \ksi \end{align}\end{split}\]

tout en respectant les conditions de complémentarité de Kuhn-Tucker :

\[\begin{split}\begin{align} f & \le 0 \\ \dot{\lambda} & \ge 0 \\ \dot{\lambda} f & = 0 \end{align}\end{split}\]

Discrétisation du problème en temps

Ce problème continu en temps est transformé en un problème discret d’optimisation sous contraintes par l’application d’un schéma d’Euler implicite. Les équations d’évolution non-linéaires prennent ainsi la forme :

\[\begin{split}\begin{align} \sigp & = \Cel \left( \epsp - \epsp^{pl} \right) \\ \epsp^{pl} & = \epsn^{pl} + 2 \Dlamp \isigy \idp{\ksi} \\ \rsigp & = \rsign + 2 \Dlamp \Gpl \isigy \idp{\ksi} \end{align}\end{split}\]

Les conditions de Kuhn-Tucker prennent la forme discrète :

\[\begin{split}\begin{align} f \left( \sigp, \rsigp \right) & \le 0 \\ \Dlamp & \ge 0 \\ \Dlamp f \left( \sigp, \rsigp \right) & = 0 \end{align}\end{split}\]

Afin d’être résolues algorithmiquement, ces conditions sont reformulées sous la forme d’une procédure en deux temps :

1. prédiction élastique, qui fige l’écoulement plastique au cours du pas de temps, suivie, si les conditions de Kuhn-Tucker sont violées par la prédiction élastique, d’une

2. correction plastique, ramenant sur la surface de charge le point figurant l’état de contrainte

Note

L’intégration ici est bien faite par rapport au temps \(t\), mais il est plus aisé de se ramener à un problème en \(\lambda\).

Détaillons à titre d’exemple le calcul de l’expression de \(\epsp^{pl}\).

L’application du schéma d’Euler implicite à \(\eps^{pl}\) donne :

(4339)\[\epsp^{pl} = \epsn^{pl} + \Dtp \idp{\dot{\eps}}^{pl}\]

où

\[\idp{\dot{\eps}}^{pl} = \idp{\dot{\lambda}} \idp{\left. \tdfds \right|}\]

Et l’application du schéma à \(\lambda\) donne :

\[\begin{split}\begin{align} & \lamp = \lamn + \Dtp \idp{\dot{\lambda}} \\ \Leftrightarrow \quad & \idp{\dot{\lambda}} = \frac{\lamp - \lamn}{\Dtp} \\ \Leftrightarrow \quad & \idp{\dot{\lambda}} = \frac{\Dlamp}{\Dtp} \end{align}\end{split}\]

Remplaçant \(\idp{\dot{\lambda}}\) par cette dernière expression dans l’équation (4339), nous obtenons finalement :

\[\begin{split}\begin{align} & \epsp^{pl} = \epsn^{pl} + \Dtp \frac{\Dlamp}{\Dtp} \idp{\left. \tdfds \right|} \\ \Leftrightarrow \quad & \boxed{\epsp^{pl} = \epsn^{pl} + \Dlamp \idp{\left. \tdfds \right|}} \end{align}\end{split}\]

où

\[\idp{\left. \tdfds \right|} = 2 \isigy \idp{\ksi}\]

Prédiction élastique

L’étape de prédiction élastique suppose l’écoulement plastique figé au cours du pas de temps. Ansi, toutes les grandeurs au pas de temps \(\idp{t}\) et se rapportant à l’état de plasticité sont considérées égales à celles du pas de temps précédent \(\idn{t}\).

\[\begin{split}\left \lbrace \begin{align} \idp{\eps^{pl}}^{trial} & := \epsn^{pl} \\ \idp{\sig}^{trial} & := \Cel \left( \epsp - \idp{\eps^{pl}}^{trial} \right) \\ \idp{\rsig}^{trial} & := \idn{\rsig} \\ \idp{f}^{trial} & := f \left( \idp{\sig}^{trial}, \idp{\rsig}^{trial} \right) \end{align} \right.\end{split}\]

Si \(\idp{f}^{trial} \le 0\), alors le système est dans un régime élastique au cours du pas de temps et l’état \(\idp{}\) est entièrement déterminé :

\[\begin{split}\left \lbrace \begin{align} \epsp^{pl} & = \idp{\eps^{pl}}^{trial} \\ \idp{\sig} & = \idp{\sig}^{trial} \\ \idp{\rsig} & = \idp{\rsig}^{trial} \\ \idp{f} & = \idp{f}^{trial} \\ \idp{\Dlam} & = 0 \end{align} \right.\end{split}\]

Sinon, si \(\idp{f}^{trial} \gt 0\), alors l’état prédit élastiquement viole les conditions de Kuhn-Tucker. Le système est dans un régime plastique. L’étape de correction plastique va permettre de ramener le système dans un état compatible avec les conditions. La détermination de l’état dans ce régime nécessite la résolution de l’équation \(\idp{f} = 0\).

Correction plastique

L’étape de correction plastique suppose un régime plastique :

\[\begin{split}\begin{align} f \left( \sigp, \rsigp \right) & = 0 \\ \Dlamp & \gt 0 \\ \Dlamp f \left( \sigp, \rsigp \right) & = 0 \end{align}\end{split}\]

Afin de résoudre l’équation \(f \left( \sigp, \rsigp \right) = 0\), et ainsi déterminer un état plastique compatible avec les conditions de Kuhn-Tucker, il est d’abord nécessaire d’exprimer cette équation uniquement à partir de grandeurs connues à l’instant précédent \(\idn{}\) et d’une unique inconnue scalaire \(\Dlamp\), le multiplicateur plastique exprimé à l’instant courant \(\idp{}\) :

\[\begin{split}\begin{align} f \left( \sigp, \rsigp \right) & = f \left( \Dlamp \right) \\ & = \ksip^2 \cdot \vId - 1 \\ & = \left( \frac{\ksip^{trial}}{\vId + \vA \Dlamp} \right)^2 \cdot \vId - 1 \end{align}\end{split}\]

où

\[\ksip^{trial} = \isigy \left( \idp{\sig}^{trial} - \idp{\rsig}^{trial} \right)\]

L’équation \(f \left( \Dlamp \right) = 0\) est non-linéaire. Elle est résolue à l’aide d’une méthode de Newton locale, qui nécessite de linéariser l’équation autour du point courant \(\Dlamp\) :

\[f \left( \Dlamp^{(k+1)} \right) = f \left( \Dlamp^{(k)} \right) + \idp{\left. \frac{d f}{d \left( \Dlam \right)} \right|}^{(k)} d \left( \Dlamp \right) = 0\]

où

\[\begin{split}\boxed{ \left \lbrace \begin{align} f \left( \Dlamp^{(k)} \right) & = \left( \frac{\ksip^{trial}}{\vId + \vA \Dlamp^{(k)}} \right)^2 \cdot \vId - 1 \\ \frac{d f}{d \left( \Dlam \right)} & = - \frac{2 \vA {\ksip^{trial}}^2}{\left( \vId + \vA \Dlamp^{(k)} \right)^3} \cdot \vId \end{align} \right. }\end{split}\]

L’état final en \(\idp{t}\) est obtenu à partir de l’état convergé de la méthode de Newton locale :

\[\begin{split}\left \lbrace \begin{align} \epsp^{pl} & = \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \\ \sigp & = \sigp^{(k+1)} \\ \rsigp & = \rsigp^{(k+1)} \\ \Dlamp & = \Dlamp^{(k+1)} \end{align} \right.\end{split}\]

L’état de contraintes final en \(\idp{t}\) au point de Gauss est finalement retourné à l’élément fini et de là, par assemblage, à la boucle de Newton-Raphson globale (à l’échelle de la structure). Celle-ci nécessite également le calcul la matrice tangente du comportement pour l’assemblage de la matrice tangente globale. Ce calcul est présenté dans la partie suivante.

Note

Détaillons le calcul de \(\ksip\) :

Soit

\[\begin{split}\begin{align} \sigp & = \Cel \left( \epsp - \eps^{pl} \right) \\ & = \Cel \left( \epsp - \epsn^{pl} - \left( \epsp^{pl} - \epsn^{pl} \right) \right) \\ & = \sigp^{trial} - \Cel \Delta \epsp^{pl} \end{align}\end{split}\]

et

\[\begin{split}\begin{align} \rsigp & = \rsign + \Gpl \Delta \epsp^{pl} \\ & = \rsigp^{trial} + \Gpl \Delta \epsp^{pl} \end{align}\end{split}\]

injectées dans

\[\begin{split}\begin{align} \ksip & = \isigy \left( \sigp - \rsigp \right) \\ & = \isigy \left( \sigp^{trial} - \rsigp^{trial} - \left( \Cel + \Gpl \right) \Delta \epsp^{pl} \right) \\ & = \ksip^{trial} - \isigy \left( \Cel + \Gpl \right) \Delta \epsp^{pl} \\ & = \ksip^{trial} - \underbrace{2 \sigy^{-2} \left( \Cel + \Gpl \right)}_{\vA} \ksip \Dlamp \end{align}\end{split}\]

Cette expression est manipulée afin d’obtenir finalement \(\ksip\) :

\[\begin{split}\begin{align} & \ksip^{trial} = \left( \vId + \vA \Dlamp \right) \ksip \\ \Leftrightarrow \quad & \boxed{\ksip = \frac{\ksip^{trial}}{\vId + \vA \Dlamp}} \end{align}\end{split}\]

Calcul de l’opérateur tangent

\[\newcommand{\sig}{\vector{\sigma}} \newcommand{\signx}{\sigma_{n_1}} \newcommand{\signy}{\sigma_{n_2}} \newcommand{\sigt}{\sigma_t} \newcommand{\eps}{\vector{\varepsilon}} \newcommand{\epsnx}{\varepsilon_{n_1}} \newcommand{\epsny}{\varepsilon_{n_2}} \newcommand{\epst}{\varepsilon_t} \newcommand{\Cel}{\vector{C}} \newcommand{\Ct}{\vector{C^t}} \newcommand{\sigy}{\vector{\sigma_y}} \newcommand{\isigy}{\inverse{\sigy}} \newcommand{\sigyn}{\sigma_{y,n}} \newcommand{\sigyt}{\sigma_{y,t}} \newcommand{\ksi}{\vector{\xi}} \newcommand{\rsig}{\vector{r}} \newcommand{\rsigt}{r_{t}} \newcommand{\rsignx}{r_{n_1}} \newcommand{\rsigny}{r_{n_2}} \newcommand{\Gpl}{\vector{G}} \newcommand{\dfds}{\frac{\partial f}{\partial \sig}} \newcommand{\dfdr}{\frac{\partial f}{\partial \rsig}} \newcommand{\tdfds}{\transpose{\dfds}} \newcommand{\tdfdr}{\transpose{\dfdr}} \newcommand{\idn}[1]{{#1}_{n}} \newcommand{\idp}[1]{{#1}_{n+1}} \newcommand{\Dlam}{\Delta \lambda} \newcommand{\epsp}{\idp{\eps}} \newcommand{\epsn}{\idn{\eps}} \newcommand{\sigp}{\idp{\sig}} \newcommand{\sign}{\idn{\sig}} \newcommand{\rsigp}{\idp{\rsig}} \newcommand{\rsign}{\idn{\rsig}} \newcommand{\ksip}{\idp{\ksi}} \newcommand{\ksin}{\idn{\ksi}} \newcommand{\lamp}{\idp{\lambda}} \newcommand{\lamn}{\idn{\lambda}} \newcommand{\Dlamp}{\Delta \lamp} \newcommand{\Dtp}{\Delta \idp{t}} \newcommand{\vA}{\vector{A}} \newcommand{\vId}{\vector{1}}\]

On cherche l’expression de la matrice tangente cohérente (ou algorithmique) à l’état convergé \(\idp{}^{(k+1)}\) :

\[\idp{\Ct}^{(k+1)} = \idp{\left. \frac{d \sig}{d \eps} \right|}^{(k+1)}\]

On rappelle que

\[\begin{split}\left \lbrace \begin{align} d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} & = d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)} \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} \\ d \rsigp^{(k+1)} & = \Gpl d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \end{align} \right.\end{split}\]

car \(d \epsn^{pl} = d \rsign = 0\) (constants sur le pas de temps).

On rappelle également que

\[\sigp^{(k+1)} = \Cel \left( \epsp - \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \right)\]

d’où

(4340)\[\begin{split}d \sigp^{(k+1)} = \Cel \left( d \epsp - d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \right) \\\end{split}\]

L’équation (4340), au travers de \(d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)}\), dépend de \(d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)}\), qui est inconnu. La condition de cohérence permet de déterminer la valeur de \(d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)}\). Cette condition découle des conditions de Kuhn-Tucker et s’écrit ainsi :

\[\dot{\lambda} \dot{f} = 0\]

En régime plastique [1] , cette condition impose que \(d \idp{f}^{(k+1)} = 0\).

\[\begin{split}\begin{align} d f \left( \sigp^{(k+1)}, \rsigp^{(k+1)} \right) & = \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} d \sigp^{(k+1)} + \idp{\left. \tdfdr \right|}^{(k+1)} d \rsigp^{(k+1)} \\ & = \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \Cel \left( d \epsp - d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \right) + \idp{\left. \tdfdr \right|}^{(k+1)} \Gpl d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \\ \end{align}\end{split}\]

En remplaçant \(d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)}\) par son expression dans l’équation \(\idp{f}^{(k+1)} = 0\), \(d \idp{\left( \Dlam \right) }^{(k+1)}\) peut être isolé :

\[\begin{split}\begin{align} & \idp{f}^{(k+1)} = 0 \\ \Leftrightarrow \quad & d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)} = \frac{ \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \Cel }{ \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \Cel \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} - \idp{\left. \tdfdr \right|}^{(k+1)} \Gpl \idp{\left. \dfdr \right|}^{(k+1)} } d \epsp \end{align}\end{split}\]

Sachant que \(\dfdr = - \dfds\), l’expression peut être simplifiée en

\[d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)} = \frac{ \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \Cel }{ \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \left( \Cel + \Gpl \right) \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} } d \epsp\]

En remplaçant \(d \idp{\left( \Dlam \right) }^{(k+1)}\) par l’expression précédente dans l’équation (4340), on obtient :

\[\begin{split}\begin{align} d \sigp^{(k+1)} & = \Cel \left( d \epsp - d \idp{\eps^{pl}}^{(k+1)} \right) \\ & = \Cel \left( d \epsp - d \idp{\left( \Dlam \right)}^{(k+1)} \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} \right) \end{align}\end{split}\]

Et finalement la matrice tangente cohérente \(\Ct\) :

\[\boxed{ d \sigp^{(k+1)} = \underbrace{\left( \Cel - \frac{ \Cel \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \Cel }{ \idp{\left. \tdfds \right|}^{(k+1)} \left( \Cel + \Gpl \right) \idp{\left. \dfds \right|}^{(k+1)} } \right)}_{\Ct} d \epsp }\]

Footnotes

[1]

En régime élastique, la matrice tangente correspond simplement à la matrice élastique.

Bibliographie

[bib1]

Simo J.C., Hughes T.J.R., Computational Inelasticity, Mechanics and Materials, Interdisciplinary Applied Mathematics Vol. 7 , Edition Springer-Verlag, New York, 1998

[bib2]

Bertrand D., Grange S., Vulnerability assessment of civil engineering structures subjected to earthquakes and impacts, Cours INSA Lyon, 2021.