v3.01.400 SSLL400 - Poutre de section variable, soumise à des efforts ponctuels ou répartis#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 4 des modèles de poutres.
Ce test permet la vérification des calculs de poutres droites dans le domaine statique linéaire.(une modélisation avec des éléments de poutres POU_D_E, poutre droite d’EULER).
On calcule simultanément 3 poutres des sections différentes: section cercle, rectangle, et générale. Ces poutres sont soumises à des efforts ponctuels ou répartis.
Les valeurs testées sont les déplacements et rotations, les efforts généralisés, et les contraintes.
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
Section circulaire#
Poutre soumise à un effort de traction ponctuel \(\mathit{Fx}\)#
L’’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\mathrm{dx}})=0\) avec \(A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})\) et \(c=\sqrt{\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}}}-1\) , \(N(L)={F}_{x}\)
En intégrant deux fois [R3.08.01], nous obtenons les déplacements en fonction de la force appliquée, soit :
\(u(x)=\frac{{\mathrm{LF}}_{x}}{{\mathrm{EA}}_{1}}(\frac{x}{L+\mathrm{cx}})\)
et donc à l’extrémité L de la poutre :
\(u(L)=\frac{L}{E\sqrt{{A}_{1}{A}_{2}}}{F}_{x}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\(N(x)=\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x)={F}_{x}\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}\)
Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel \(\mathit{Fy}\)#
L’’équation d’équilibre, sous l’hypothèse d’Euler, est donnée par l’équation :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\) , \({V}_{y}(L)={F}_{y}\)
Nous résolvons l’équation par intégration en tenant compte de la loi de comportement modifiée \({\mathrm{MF}}_{z}={\mathrm{EI}}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\) et l’équation d’équilibre \(\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{z}}{\partial x}+{V}_{y}=0\)
Les quatre intégrations successives, en tenant compte pour le calcul des constantes d’intégration que :
\(\begin{array}{}\frac{\partial}{\partial x}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right](L)=-{V}_{y}(L)=-{F}_{y}\\ ({\mathrm{EI}}_{z}(L)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
mènent à l’expression de :
\(v(x)=+\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{{x}^{2}(3L-x+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
et à l’expression de \({\theta}_{z}(x)\)
\({\theta}_{z}(x)=+\frac{{F}_{y}\mathrm{L²}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{x(6\mathrm{L²}-3\mathrm{Lx}+6L\mathrm{cx}-\mathrm{cx²}+2\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ {\mathrm{MF}}_{z}(x)={F}_{y}(L-x)\end{array}\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}\)
\({\sigma}_{xy}=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\) pas de coefficient de correction du cisaillement en hypothèse d’Euler.
Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel \(\mathrm{Mx}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0\) avec \({I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\) , \({M}_{x}(L)={M}_{x}\)
Après intégration, et en tenant compte du fait que :
\(G{I}_{p}(L)=\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}(L)={M}_{x}\) , et \({\theta}_{x}(0)=0\)
nous obtenons l’expression de \({\theta}_{x}(x)\) :
\({\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}}{3G{I}_{{p}_{1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
Nous devons également avoir pour les efforts internes et les contraintes:
\(\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\\ {\sigma}_{xz}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\end{array}\)
Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel \(\mathit{My}\)#
Le raisonnement pour trouver la solution analytique est le même que précédemment. Nous utilisons la loi de comportement \({M}_{y}(x)=-{\mathrm{EI}}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}}\) et l’équation d’équilibre \(\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{y}}{\partial x}-{V}_{z}=0\) Le calcul des constantes d’intégration diffère : on a \({V}_{z}(L)=0\) et \({M}_{{F}_{y}}(L)={M}_{y}\) .
On obtient l’expression de \(w(x)\) :
\(w(x)=\frac{L{M}_{y}}{6E{I}_{{y}_{1}}}\frac{\mathrm{x²}(3L+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\) ,
et l’expression de \({\theta}_{y}(x)\) :
\({\sigma}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}}{3E{I}_{\mathrm{y1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+{c}^{2}{x}^{2})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
On doit également avoir pour les efforts internes et les contraintes:
\(\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)=\mathrm{My}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{y}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{y}(x)}\end{array}\)
Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante \(\mathrm{fx}\)#
L’équilibre est décrit par l’équation
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=-{f}_{x}\) avec \(A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}\) et \(c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1\)
En intégrant une première fois cette équation, nous obtenons:
\(EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}x+{c}_{1}\)
La condition limite \(N(L)=0\) implique \({c}_{1}={f}_{x}L\) . Nous avons donc :
\(\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}\frac{(L-x)}{EA(x)}\)
soit :
\(u(x)={f}_{x}\int\frac{(L-x)}{EA(x)}\mathrm{dx}+{c}_{2}\)
\({c}_{2}\) est déterminé pour que \(u(0)=0\)
Tout calcul fait, nous avons :
\(u(x)=\frac{{L}^{2}{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\frac{cx+{c}^{2}x+(L+cx)\log\frac{L}{L+cx}}{L+cx}\) .
Les efforts internes sont déduits de la loi de comportement \(N(x)=EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}\) :
\(N(x)={f}_{x}(L-x)\)
et les contraintes sont données par :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{N(x)}{A(x)}=\frac{{f}_{x}(L-x)}{{\left[\sqrt{{A}_{1}}+(\sqrt{{A}_{2}-\sqrt{{A}_{1}}})\frac{x}{L}\right]}^{2}}\)
Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante \(\mathit{fy}\)#
Partant de l’équation d’équilibre:
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\)
nous effectuons quatre intégrations successives. La détermination des constantes d’intégration est faite à partir des conditions limites suivantes :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {M}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
L’expression analytique pour \(v(x)\) et \(\theta (z)\) en présence d’un chargement réparti est, tout calcul fait:
\(\begin{array}{}v(x)=\frac{-{f}_{y}{L}^{3}}{12{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{4}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[\begin{array}{c}-6{L}^{2}\mathrm{cx}+{x}^{2}(-9{\mathrm{Lc}}^{2}-3{\mathrm{Lc}}^{4})+{x}^{3}(-2{c}^{3}+2{c}^{4}-2{c}^{5})\\ +\log(1+c\frac{x}{L})(6{L}^{3}+12{L}^{2}\mathrm{cx}+6L{c}^{2}{x}^{2})\end{array}\right]\\ {\theta}_{z}(x)=\frac{+{L}^{3}{f}_{y}x}{6E{I}_{{z}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\left[3{L}^{2}-3\mathrm{Lx}+3\mathrm{Lcx}+{x}^{2}(1-c+{c}^{2})\right]\end{array}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\({V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)\) et \({\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}\)
les contraintes par :
\(\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{Mf}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}\end{array}\)
Section rectangulaire#
Poutre soumise à un effort de traction ponctuel \(\mathit{Fx}\)#
L’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=0\) avec \(A(x)={A}_{1}+({A}_{2}-{A}_{1})\frac{x}{L}\) , \(N(L)={F}_{x}\)
En intégrant deux fois, et en tenant compte du fait que :
\(EA(L)\frac{\partial u}{\partial x}(L)={F}_{x}\) , \(u(0)=0\)
pour la détermination des constantes d’intégration, nous obtenons l’expression analytique de \(u(x)\) , soit :
\(u(x)=\frac{{F}_{x}L}{{A}_{1}\mathrm{Ec}}\log(1+c\frac{x}{L})\)
Pour les efforts internes et contraintes, nous avons :
\(\begin{array}{}N(x)={F}_{x}\\ {\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}\end{array}\)
Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel \(\mathit{Fy}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\) , \({V}_{y}(L)={F}_{y}\)
Le même raisonnement que pour la section circulaire mène au résultat suivant :
\(v(x)=-\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{{z}_{1}}{c}^{3}}\frac{\left[2\mathrm{Lcx}+{c}^{2}{x}^{2}-{c}^{3}{x}^{2}+2L(L+\mathrm{cx})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\right]}{(L+\mathrm{cx})}\)
\({\theta}_{z}(x)=\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}}\frac{x(2L-x+\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
Nous devons avoir pour les efforts internes et les contraintes :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ \\ {M}_{{F}_{z}}(x)={F}_{y}(L-x)\\ \\ {\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{y}(x){M}_{{F}_{x}}(x)}{{\mathrm{2I}}_{z}(x)}\\ \\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\end{array}\)
Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel \(\mathit{Mx}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0\) avec \({I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\) , \({M}_{x}(L)={M}_{x}\)
Par le même raisonnement que la poutre à section circulaire, nous obtenons l’expression analytique de \({\theta}_{x}(x)\) :
\({\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}x(2L+\mathrm{cx})}{2{I}_{{p}_{1}}G{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
\({I}_{{p}_{1}}\) et \({I}_{{p}_{2}}\) sont calculés selon les formules données dans la documentation de référence [R3.08.01].
Les efforts internes et les contraintes sont donnés par :
\(\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)={\sigma}_{xz}\end{array}\)
Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel \(\mathit{My}\)#
On reprend le même raisonnement que précédemment, on obtient les expressions analytiques suivantes pour \(w(x)\) et \({\theta}_{y}(x)\) :
\(\begin{array}{}w(x)=-\frac{L{M}_{y}{x}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{y}_{1}}(L+\mathrm{cx})}\\ \\ {\theta}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}x(2L+\mathrm{cx})}{2E{I}_{{y}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\end{array}\)
pour les efforts :
\(\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)={M}_{y}\end{array}\)
et pour les contraintes :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{z}(x){\mathrm{MF}}_{y}(x)}{2{I}_{y}(x)}\)
Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante \(\mathrm{Fx}\)#
L’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right]=-{f}_{x}\) avec \(A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})\) et \(c=(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})-1\) .
Après deux intégrations et en tenant compte du fait que \(N(L)=0\) pour déterminer la première constante d’intégration, et \(u(0)=0\) pour déterminer la deuxième, nous obtenons l’expression analytique de \(u(x)\) :
\(u(x)=\frac{-L{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\left[cx+(L+{L}_{c})\log(\frac{L}{L+cx})\right]\)
Les efforts internes sont connus par l’expression suivante :
\(N(x)={f}_{x}(L-x)\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{{f}_{x}(L-x)}{A(x)}\)
Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante \(\mathrm{Fy}\)#
L’équation d’équilibre est:
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\)
Nous intégrons successivement quatre fois cette équation. Les constantes d’intégration sont calculées en tenant compte du fait que :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {\mathrm{MF}}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
Le résultat analytique pour la flèche et la rotation en \(L\) est le suivant :
\(\begin{array}{}v(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4E{I}_{{z}_{1}}{c}^{4}(L+cx)}\left[x(6\mathrm{Lc}+4{\mathrm{Lc}}^{2})+{x}^{2}({\mathrm{5c}}^{2}+{\mathrm{2c}}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +({\mathrm{6L}}^{2}+{\mathrm{4L}}^{2}c+\mathrm{8Lcx}+4{\mathrm{Lc}}^{2}x+{\mathrm{2c}}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\theta}_{z}(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{3}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[x(2\mathrm{Lc}+2{\mathrm{Lc}}^{3})+{x}^{2}(3{c}^{2}+2{c}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +(2{L}^{2}+\mathrm{Lcx}+2{c}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}\)
Les efforts internes sont donnés par les expressions suivantes :
\({V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)\) , \({\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}\)
les contraintes par :
\(\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣\frac{{\mathrm{Mf}}_{z}(x){h}_{y}}{{I}_{z}(x)2}∣\end{array}\)
Section générale#
Poutre soumise aux forces de pesanteur#
Les efforts de pesanteur sont appliqués suivant l’axe \(z\) . Le mouvement de la poutre induit par ces efforts est donc un mouvement de flexion dans le plan \((xoz)\) .
L’équation d’équilibre est donnée par l’expression :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}(E{I}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}})=\underset{\mathrm{poids}\mathrm{linéique}}{\rho A(x)g}\)
avec \(A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}\) , \(c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1\) et \({I}_{y}(x)={I}_{\mathrm{y1}}{(1+d\frac{x}{L})}^{4}\) \(d={(\frac{{I}_{\mathrm{y2}}}{{I}_{\mathrm{y1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\)
En intégrant une première fois, nous obtenons l’effort tranchant interne :
\({V}_{z}(x)=-\int\rho A(x)g\mathrm{dx}+{C}_{1}\)
\({C}_{1}\) est déterminé de façon à ce que \({V}_{z}(L)=0\) .
Nous obtenons :
\({V}_{z}(x)=\frac{L{A}_{1}\rho g}{3c}\left[-{(1+c\frac{x}{L})}^{3}+{(1+c)}^{3}\right]\) .
En intégrant une deuxième fois, nous obtenons le moment de flexion interne:
\({M}_{y}(x)=\int{V}_{z}(x)\mathrm{dx}+{c}_{2}\)
\({C}_{2}\) est calculé afin que \({M}_{y}(L)=0\)
Nous obtenons :
\({M}_{y}(x)=\frac{{A}_{1}\rho g}{12{L}^{2}}{(L-x)}^{2}(6{L}^{2}+8{L}^{2}c+3{L}^{2}{c}^{2}+4\mathrm{Lcx}+2\mathrm{Lcx}+\frac{2{\mathrm{Lc}}^{2}x}{+{c}^{2}{x}^{2}})\)
Nous calculons ensuite la rotation à partir de la loi de comportement \({M}_{y}(x)=E{I}_{y}(x)\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\)
Nous avons donc \({\theta}_{y}(x)=\int\frac{{M}_{y}(x)}{E{I}_{y}(x)}\mathrm{dx}+{C}_{3}\) avec \({\theta}_{y}(0)=0\)
La flèche \(w(x)\) est déterminée à partir de la relation d’Euler : \({\theta}_{y}=-\frac{\partial w}{\partial x}\)
Nous calculons \(w(x)\) par intégration de \({\theta}_{y}(x)\) : \(w(x)=-\int{\theta}_{y}(x)+{C}_{4}\)
avec \({C}_{4}\) telle que \(w(0)=0\) .
Les expressions analytiques de \({\theta}_{y}(x)\) et \(w(x)\) ne sont pas retranscrites ici car elles sont beaucoup trop lourdes. Elles ont été calculées, comme les précédentes, par le logiciel de calcul formel MATHEMATICA.
Résultats de référence#
Déplacements et rotations à l’extrémité libre
Efforts intérieurs aux deux extrémités
Contraintes aux deux extrémités
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
[1] Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres ASTER»
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d’Euler.
Section S1: section circulaire variable
à l’encastrement, |
\(\mathrm{R1}=0.1m\) (section pleine) |
à l’extrémité libre, |
\(\mathit{R2}=0.05m\) (section pleine) |
Section S2: section rectangulaire variable
à l’encastrement, |
\({H}_{\mathit{y1}}=0.05m\) |
\({H}_{\mathit{z1}}=0.10m\) |
à l’extrémité libre, |
\({H}_{\mathit{y2}}=0.05m\) |
\({H}_{\mathit{z2}}=0.05m\) |
Section S3 : section générale variable
à l’encastrement, |
\({A}_{1}={10}^{2}{m}^{4}\) |
\({I}_{\mathit{y1}}=8.3333{10}^{6}{m}^{4}\) |
à l’extrémité libre, |
\({A}_{2}=2.5{10}^{3}{m}^{2}\) |
\({I}_{\mathit{y2}}=5.20833{10}^{7}{m}^{4}\) |
Caractéristiques du maillage#
3 sections \(\times\) 10 éléments POU_D_E
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Section |
Identification |
Référence |
Tolérance % |
1 |
\(\mathit{S1}\) |
\(u(l)\) |
3.1831E–08 |
1.00E-05 |
\(n(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\(n(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
3.1831E+03 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
1.2732E+04 |
1.00E-05 |
||
2 |
\(\mathit{S1}\) |
\(v(l)\) |
4.2441E–06 |
1.00E-05 |
\({\theta}_{z}(l)\) |
8.4882E–06 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{y}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1.2732E+05 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-05 |
||
3 |
\(\mathit{S1}\) |
\({\theta}_{x}(l)\) |
3.8621E–05 |
1.00E-05 |
\({m}_{x}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({m}_{x}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
4 |
\(\mathit{S1}\) |
\(w(l)\) |
–8.4882E–06 |
1.00E-05 |
\({\theta}_{y}(l)\) |
2.9708E–05 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{z}(0)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{y}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1.2732E+05 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
1.0185E+06 |
1.00E-05 |
||
5 |
\(\mathit{S1}\) |
\(u(l)\) |
1.2296E–08 |
1.00E-02 |
\(n(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\(n(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
3.1831E+03 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
6 |
\(\mathit{S1}\) |
\(v(l)\) |
1.3486E–06 |
1.00E-02 |
\({\theta}_{z}(l)\) |
2.1220E–06 |
1.00E-02 (absolu) |
||
\({v}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{y}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(0)\) |
5.0000E+01 |
1.00E-02 |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
6.3662E+04 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
3.1831E+03 |
1.00E-05 |
Cas de charge |
Section |
Identification |
Référence |
Ecart % |
1 |
\(\mathit{S2}\) |
\(u(l)\) |
1.3862E–07 |
1.00E-05 |
\(n(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\(n(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
2.0000E+04 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
4.0000E+04 |
1.00E-05 |
||
2 |
\(\mathit{S2}\) |
\(v(l)\) |
1.8969E–04 |
2.30E-02 |
\({\theta}_{z}(l)\) |
3.0238E–04 |
2.70E-02 |
||
\({v}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{y}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
2.4000E+06 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
2.0000E+04 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xy}(l)\) |
4.0000E+04 |
1.00E-05 |
||
3 |
\(\mathit{S2}\) |
\({\theta}_{x}(l)\) |
8.3506E–04 |
5.70E-02 |
\({m}_{x}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({m}_{x}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
1.5600E+06 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xy}(l)\) |
4.0371E+06 |
5.00E-02 |
||
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
1.5600E+06 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xz}(l)\) |
4.0371E+06 |
5.00E-02 |
||
4 |
\(\mathrm{S2}\) |
\(w(l)\) |
–1.2000E–04 |
3.00E-03 |
\({\theta}_{y}(l)\) |
3.600E–04 |
4.00E-03 |
||
\({v}_{z}(0)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({v}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\mathit{mf}}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\mathit{mf}}_{y}(l)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1.2000E+06 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
4.8000E+06 |
1.00E-05 |
||
5 |
\(\mathit{S2}\) |
\(u(l)\) |
6.1370E–08 |
1.00E-05 |
\(n(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\(n(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
2.0000E+04 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l/2)\) |
1.3333E+04 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
6 |
\(\mathrm{S2}\) |
\(v(l)\) |
6.8626E–05 |
2.00E-02 |
\({\theta}_{z}(l)\) |
9.4847E–05 |
2.40E-02 |
||
\({v}_{y}(0)\) |
1.0000E+02 |
1.00E-05 |
||
\({v}_{y}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\mathrm{mf}}_{z}(0)\) |
5.0000E+01 |
1.00E-02 |
||
\({\mathrm{mf}}_{z}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1.2000E+06 |
1.00E-05 |
||
\({\sigma}_{xx}(l)\) |
0.0000E+00 |
1.00E-03 (absolu) |
||
7 |
\(\mathrm{S3}\) |
\(w(l)\) |
–3.8259E–05 |
1.00E-02 |
\({\theta}_{y}(l)\) |
5.7388E–05 |
1.00E-02 |
||
\({v}_{z}(0)\) |
–4.4633E+02 |
1.00E-03 |
||
\({\mathrm{mf}}_{y}(0)\) |
1.7535E+02 |
1.00E-02 |
Remarques#
La modélisation étant faite en poutres d’Euler, les coefficients de cisaillement sont \(\mathit{ky}=\mathit{kz}=1\) .
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus confirment que les éléments POU_D_E avec section variable présentent un bon degré de fiabilité.
Pour la section circulaire, les résultats sont tous exacts aux nœuds (on retrouve les propriétés de l’élément à section constante) sauf pour les efforts répartis où l’effet de la finesse de discrétisation se fait sentir.
Pour une section rectangulaire et une section générale, il faut discrétiser finement pour avoir une solution correcte.