v7.22.104 HSNV104 - Thermo-plasticité et métallurgie en déformations planes avec restauration d’écrouissage#
Résumé:
On traite la détermination de l’évolution mécanique d’un parallélépipède rectangle en déformations planes soumis à des évolutions thermique \({T}_{(t)}\) et métallurgique \({Z}_{(t)}\) connues et uniformes (la transformation métallurgique est de type bainitique).
Les éléments utilisés sont des éléments bidimensionnels en déformations planes et la relation de comportement est la plasticité de vonMises avec écrouissage isotrope linéaire. On tient compte de la restauration d’écrouissage, mais non de la plasticité de transformation.
Le coefficient de dilatation \(\alpha\) dépend de la composition métallurgique.
La solution de référence est obtenue par la résolution analytique du problème.
Les résultats fournis par Code_Aster sont très satisfaisants avec des erreurs inférieures à \(0,8\text{\%}\) .
Solution de référence#
Forme du champ solution#
Le champ de contrainte solution \(\sigma (t)\) est de la forme:
\(\sigma (t)={\sigma}_{o}(t)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
On en déduit la forme suivante du tenseur des déformations élastiques:
\({\epsilon}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{o}(t)}{E}\left(\begin{array}{ccc}-\nu & 0& 0\\ 0& -\nu & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
De plus, étant donné que \(\sigma (t)\) garde une direction constante, on a:
\({\epsilon}^{p}(t)={\epsilon}_{o}^{p}(t)\left(\begin{array}{ccc}\frac{-1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{-1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)
où \({\epsilon}^{p}\) est le tenseur des déformations plastiques.
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Notation: par la suite, on notera \({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) (resp. \({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) ) la variable d’écrouissage effective des phases froides (resp. de la phase chaude).
Avant transformation , solution thermo-élastique pour \(t<{t}_{1}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{1}\) tel que:
\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}({t}_{1})=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{1})={\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}& \iff & T({t}_{1})-{T}^{0}=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}}{E{\alpha}_{\mathit{aust}}}=-100.°C\\ & \iff & {t}_{1}=\frac{T({t}_{1})-{T}^{0}}{\mu}=20s\end{array}\)
Avant transformation , solution thermo-élasto-plastique, \({t}_{1}\le t\le {\tau}_{1}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}-E{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})}{E+{H}^{\mathit{aust}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)=p(t)={\epsilon}_{zz}^{p}(t)\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)
Pendant la transformation , pour \({\tau}_{1}<t\le {\tau}_{2}\) , on est en régime élastique, on a donc une solution thermo‑élastique avec changement de phase.
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)
Après la transformation , solution thermo-élastique pour \({\tau}_{2}<t<{t}_{2}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)
La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{2}\) tel que :
\({\sigma}_{zz}({t}_{2})=R(T,Z,{\epsilon}^{\mathit{eff}})+{\sigma}_{y}(T,Z)\)
A cause de la restauration d’écrouissage et du fait qu’on était en régime élastique pendant toute la transformation : \(R=0\) avant replastification.
On a donc en \({t}_{2}\) :
\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}({t}_{2})=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{2})+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))={\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}& \iff & T({t}_{2})-{T}^{0}=-\frac{{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}+E(\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))}{E{\alpha}_{\mathit{fbm}}}\simeq -624°C\\ & \Rightarrow & {t}_{2}=\frac{T({t}_{2})-{T}^{0}}{\mu}\simeq 125s\end{array}\)
Après la transformation , solution thermo-élasto-plastique pour \(t\ge {t}_{2}\) .
\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}-E({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}})+{H}^{\mathit{fbm}}{\epsilon}^{p}({\tau}_{1})}{E+{H}^{\mathit{fbm}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)=0\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}(t)-{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\end{array}\)
Résultats de référence#
À \(t=60s\) : |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
À \(t=89s\) : |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
À \(t=112s\) : |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
À \(t=176s\) : |
\({\sigma}_{zz}\) |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) |
Références bibliographiques#
DONORE A.M. - WAECKEL F. - Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto-plastiques Note HI-74/93/024.
DONORE.A.M. - WAECKEL.F. - RAZAKANAIVO.A. - Doc. Aster [R4.04.02].
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
\(A=\mathit{N4}\) , \(B=\mathit{N5}\) , \(C=\mathit{N13}\) , \(D=\mathit{N12}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 13.
Nombre de mailles et types: 2 mailles QUAD8, 6mailles SEG3.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=\mathrm{60s}\) |
ANALYTIQUE |
4.0792E8 |
0.1 |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{60s}\) |
ANALYTIQUE |
3.9604E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{60s}\) |
ANALYTIQUE |
0.1 |
|
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=60s\) |
ANALYTIQUE |
-6.0E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=60s\) |
ANALYTIQUE |
-2.59208E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=60s\) |
ANALYTIQUE |
-1.9802E-3 |
0.1 |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=\mathrm{89s}\) |
ANALYTIQUE |
7.0684E8 |
0.80 |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{89s}\) |
ANALYTIQUE |
3.9604E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{89s}\) |
ANALYTIQUE |
0.1 |
|
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=89s\) |
ANALYTIQUE |
-7.49460E-3 |
0.5 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=89s\) |
ANALYTIQUE |
-3.04046E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=89s\) |
ANALYTIQUE |
-1.9802E-3 |
0.3 |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=\mathrm{112s}\) |
ANALYTIQUE |
9.4392E8 |
0.1 |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{112s}\) |
ANALYTIQUE |
0.1 |
|
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{112s}\) |
ANALYTIQUE |
0.1 |
|
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=112s\) |
ANALYTIQUE |
-8.68E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=112s\) |
ANALYTIQUE |
-3.39608E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=112s\) |
ANALYTIQUE |
-1.9802E-3 |
0.1 |
\({\sigma}_{zz}\) \(t=\mathrm{176s}\) |
ANALYTIQUE |
12.101E8 |
0.1 |
\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{176s}\) |
ANALYTIQUE |
0.1 |
|
\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) \(t=\mathrm{176s}\) |
ANALYTIQUE |
5.068921E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\) \(t=176s\) |
ANALYTIQUE |
-1.508E-2 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\) \(t=176s\) |
ANALYTIQUE |
-6.3298E-3 |
0.1 |
\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\) \(t=176s\) |
ANALYTIQUE |
-4.51465E-3 |
0.1 |
Remarques#
Dans cette modélisation:
\({\epsilon}_{zz}^{\mathit{pt}}(T,Z)=0\)
L’erreur sur \({\sigma}_{zz}\) à 89 secondes provient en fait de l’erreur commise sur la description numérique de la transformation métallurgique qui est, à cet instant, d’environ \(56\text{\%}\) .
Synthèse des résultats#
Les résultats trouvés avec Code_Aster sont très satisfaisants, avec des pourcentages d’erreur inférieurs à \(0.8\text{\%}\) .