v2.02.001 SDLL01 - Poutre courte sur appuis simples#
Résumé:
Ce problème bidimensionnel consiste à rechercher les fréquences de vibration d’une structure mécanique composée d’une poutre en appuis simples à ses deux extrémités. Ce cas test de Mécanique des Structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle linéique ayant un comportement linéaire. On étudie l’influence de la position des points considérés comme points d’appuis (points sur la fibre neutre ou points excentrés à la base de la poutre) par rapport à la fibre neutre d’une poutre épaisse.
Ce test permet de tester une partie des fonctionnalités qui concernent les poutres de Timoshenko, les liaisons rigides et la recherche de fréquences propres par itérations inverses.
Les résultats obtenus avec les points d’appuis sur la fibre neutre, soit avec les points d’appuis excentrés sont comparés aux calculs analytiques sur les poutres de TImoshenko. Les résultats obtenus avec les points d’appuis excentrés sont comparés à des résultats de non-régression.
Quand les points d’appuis sont excentrés, on observe un couplage entre les différents modes de traction‑compression et de flexion.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans le livre de Timoshenko sur la théorie des vibrations des poutres et plaques ([1]):
Problème 1 : Calcul analytique
L’équation de flexion des poutres non élancées donne la formulation de Timoshenko, en superposant les effets de la flexion simple, des déformations d’effort tranchant et l’inertie de rotation.
Les fréquences propres en traction-compression sont données selon cette théorie par :
\({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}}{2\pi L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\) avec \({\lambda}_{i}=\frac{(\mathrm{2i}-1)}{2}\pi\) \(i=1,2,\mathrm{...}\)
On trouve dans la référence [1] une formule équivalente pour les modes de flexion.
Problème 2 :
Le problème n’ayant pas de solution analytique, la solution est établie par des résultats de non-régression.
Les modes de flexion et de traction-compression sont couplés.
Résultats de référence#
Problème 1 : 6 premiers modes propres.
Problème 2 : 5 premiers modes propres.
Incertitude sur la solution#
Problème 1 : solution analytique.`
Références bibliographiques#
S.P. TIMOSHENKO, D.H. YOUNG, W. WEAVER. Vibrations Problems in Engineering. New‑York : Wiley & Sons, 4° édition, p. 415 (1974).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise l’élément de poutre droite de Timoshenko : POU_D_T
Problème 1 :
Découpage: |
poutre \(\mathrm{AB}\) : 40 mailles SEG2 |
Conditions limites: en tous les nœuds en \(A\) : en \(B\) : |
DDL_IMPO =( GROUP_NO = “AB”, DZ=0., DRX=0, DRY=0.) ( NOEUD=”A”, DX=0., D=0. ) ( NOEUD=”B”, DY=0. ) |
Problème 2 :
Découpage: |
poutre \(\mathrm{AB}\) : 40 mailles SEG2 2 éléments rigides \(\mathrm{AC}\) , \(\mathrm{BC}\) : 2 mailles SEG2 |
Conditions limites: en tous les nœuds en \(C\) : en \(D\) : |
DDL_IMPO = ( TOUT=”OUI”, DZ=0., DRX=0, DRY=0.) ( NOEUD=”C”, DX=0., DY=0. ) ( NOEUD=”D”, DY=0. ) |
Noms des nœuds: |
Point \(A\) = \(\mathrm{N100}\) Point \(B\) = \(\mathrm{N200}\) |
Point \(C\) = \(\mathrm{N300}\) Point \(D\) = \(\mathrm{N400}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
43 |
Nombre de mailles et types : |
42 SEG2 |
Remarques#
Définition des poutres rigides \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BD}\) :
Section : \(\mathrm{Hy}=0.2\) , \(\mathrm{Hz}=0.2\) .
Matériau : \(E={2.10}^{16}\) , \(\rho =0\) .
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )
Mode propre |
Référence |
Aster |
tolérance |
Problème 1 |
|||
flexion 1 |
431.555 |
431.8916 |
0.2 % |
traction 1 |
1265.924 |
1266.0056 |
0.2 % |
flexion 2 |
1498.295 |
1500.7635 |
0.2 % |
flexion 3 |
2870.661 |
2873.5344 |
0.2 % |
traction 2 |
3797.773 |
3799.9692 |
0.2 % |
flexion 4 |
4377.837 |
4370.8206 |
0.2 % |
Mode propre |
Référence |
Aster |
tolérance |
Problème 2 |
|||
1 |
392.8 |
394.4774 |
0.5 % |
couplage 2 |
922.2 |
922.6072 |
0.1 % |
flexion 3 |
1592.0 |
1638.2311 |
3 % |
traction 4 |
2629.2 |
2778.7000 |
5.8 % |
compression 5 |
3126.2 |
3261.6699 |
4.5 % |
On calcule l’énergie cinétique du premier élément de poutre raccordé au point \(A\) du problème 1 :
Option |
Composante |
Référence ( NON_REGRESSION ) |
Aster |
% différence |
ECIN_ELEM |
TOTALE |
51366.0 |
51366.027 |
1 % |
Remarques#
Calculs effectués par:
Problème 1:
CALC_MODES
OPTION=”AJUSTE” CALC_FREQ=_F(FREQ=(430., 4500.))
Problème 2:
CALC_MODES
OPTION=”AJUSTE” CALC_FREQ=_F(FREQ=(380., 3300.))
Contenu du fichier résultats :
Problème 1:
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Problème 1:
5 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
POU_D_TG
Problème 1 :
Découpage: |
poutre \(\mathrm{AB}\) : 40 mailles SEG2 |
Conditions limites: en tous les nœuds en \(A\) : en \(B\) : |
DDL_IMPO = ( GROUP_NO=”AB”, DZ=0., DRX=0, DRY=0.) ( GROUP_NO=”A” DX=0., DY=0. ) ( GROUP_NO=”B”, DY=0. ) |
Problème 2 :
Découpage: |
poutre AB: 40 mailles SEG2 2 éléments rigides \(\mathrm{AC}\) , \(\mathrm{BD}\) : 2 mailles SEG2 |
Conditions limites: en tous les nœuds en \(C\) : en \(D\) : |
DDL_IMPO = ( TOUT=”OUI”, DZ=0., DRX=0, DRY=0.) ( GROUP_NO=”C”, DX=0., DY=0. ) ( GROUP_NO=”D”, DY=0. ) |
Noms des nœuds: |
Point \(A\) = \(\mathrm{N100}\) Point \(B\) = \(\mathrm{N200}\) |
Point \(C\) = \(\mathrm{N300}\) Point \(D\) = \(\mathrm{N400}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
43 |
Nombre de mailles et types : |
42 SEG2 |
Remarques#
Définition des poutres rigides \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BD}\) :
Section : \(\mathrm{Hy}=0.2\) , \(\mathrm{Hz}=0.2\) .
Matériau : \(E={2.10}^{16}\) , \(\rho =0\) .
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )
Mode propre |
Référence |
Aster |
tolérance |
Problème 1 |
|||
flexion 1 |
431.555 |
431.8916 |
0.2 % |
traction 1 |
1265.924 |
1266.0056 |
0.2 % |
flexion 2 |
1498.295 |
1500.7635 |
0.2 % |
flexion 3 |
2870.661 |
2873.5344 |
0.2 % |
traction 2 |
3797.773 |
3799.9692 |
0.2 % |
flexion 4 |
4377.837 |
4370.8206 |
0.2 % |
Problème 2 |
|||
1 |
392.8 \(\pm\) 2.7% |
394.4774 |
0.5 % |
couplage 2 |
922.2 \(\pm\) 5.7% |
922.6072 |
0.1 % |
flexion 3 |
1592.0 \(\pm\) 2.9% |
1638.2311 |
3 % |
traction 4 |
2629.2 \(\pm\) 5.7% |
2778.7000 |
5.8 % |
compression 5 |
3126.2 \(\pm\) 4.3% |
3261.6699 |
4.5 % |
Remarques#
Calculs effectués par:
Problème 1:
CALC_MODES
OPTION=”AJUSTE” CALC_FREQ=_F(FREQ=(430., 4500.))
Problème 2:
CALC_MODES
OPTION=”AJUSTE” CALC_FREQ=_F(FREQ=(380., 3300.))
Contenu du fichier résultats :
Problème 1:
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Problème 1:
5 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.
Synthèse des résultats#
Les problème sans excentricité est correctement traité. Celui avec excentricité n’est validé que par non-régression.