v6.01.116 SSNA116 - Essai triaxial avec le modèle de Hoek-Brown modifié en axisymétrique#
Résumé
Ce test permet de valider la loi de comportement élasto-plastique de Hoek-Brown modifiée en mécanique des roches. Il s’agit d’un essai triaxial pour lequel les calculs sont effectués uniquement sur la partie solide du sol en mécanique pure.
Deux niveaux de confinement sont appliqués: \(5\mathit{MPa}\) et \(12\mathrm{MPa}\) . Les paramètres \({\phi }^{\mathrm{end}}\) , \({\phi }^{\mathrm{rup}}\) et \({\phi }^{\mathrm{res}}\) sont pris égaux (ce qui revient à une déformation plastique volumique constante) : on peut dans ce cas calculer une solution analytique au problème et ainsi comparer les résultats obtenus avec Code_Aster à cette solution de référence.
Pour des raisons de symétrie, on ne s’intéresse qu’au huitième d’un échantillon soumis à un essai triaxial. La modélisation est axisymétrique.
Solution de référence#
Calcul de la solution de référence#
On se place ici dans le cas d’un essai triaxial pour lequel les contraintes de confinement sont appliquées dans les directions \(x\) et \(z\) et pour lequel la direction de déformation imposée est la direction \(y\) . On suppose de plus que le paramètre \(\eta\) est indépendant du paramètre d’écrouissage \(\gamma\) , c’est‑à‑dire \({\phi }^{\mathit{end}}={\phi }^{\mathit{rup}}={\phi }^{\mathit{res}}\) : il est alors possible de calculer une solution analytique au problème. Le critère de plasticité et d’écoulement s’écrivent:
On considère une situation de chargement croissante pour laquelle les équations précédentes peuvent s’écrire de façon non incrémentale:
Les relations d’élasticité donnent:
c’est-à-dire:
avec \({\sigma}_{3}^{0}\) et \({\sigma}_{1}^{0}\) les valeurs de \({\sigma}_{1}\) et \({\sigma}_{3}\) au début du chargement. Il reste donc à calculer \({\sigma}_{1}\) en fonction de \(\gamma\) en utilisant le critère de plasticité pour obtenir \(\gamma\) , \({\sigma}_{1}\) et \({\varepsilon}_{3}\) .
1ercas: \(\gamma \le {\gamma}^{\mathit{rup}}\)
En notant
et
où
,
,
et
sont donnés dans la documentation de référence de la loi de comportement, \(\gamma\) est solution du polynôme de degré 2:
,
avec \(\gamma\) dans l’intervalle \([0,{\gamma}^{\mathit{rup}}]\) .
2èmecas: \({\gamma}^{\mathit{rup}}\le \gamma \le {\gamma}^{\mathit{res}}\)
En reprenant les notations de la documentation de référence de la loi de Hoek-Brown modifiée pour a, d, c et
, \(\gamma\) est solution du polynôme de degré 2 :
3èmecas: \({\gamma}^{\mathit{res}}\le \gamma\)
Dans ce cas, \({\sigma}_{1}\) est constant:
et
.
Résultats de référence#
Contraintes \({\sigma}_{xx}({\sigma}_{3})\) , \({\sigma}_{yy}({\sigma}_{1})\) et \({\sigma}_{zz}({\sigma}_{3})\) au point \(D\) .
Déplacements \({\varepsilon}_{xx}({\varepsilon}_{3})\) et \({\varepsilon}_{yy}({\varepsilon}_{1})\) au point \(D\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation \(\mathrm{2D}\) axisymétrique
D
y
x
z
Découpage: \(\mathrm{1m}\) en hauteur, \(\mathrm{1m}\) en largeur
Chargement de la phase 1 : \({\sigma}_{xx}^{0}={\sigma}_{yy}^{0}={\sigma}_{zz}^{0}=-5\mathit{MPa}\) (pression de confinement)
Conditions aux limites:
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4 et 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Localisation |
Numéro d’ordre |
Contrainte \((\mathrm{MPa})\) |
Solution de référence |
Point \(D\) |
12 |
\({\sigma}_{xx}\) |
-5 |
70 |
\({\sigma}_{xx}\) |
-5 |
|
12 |
\({\sigma}_{zz}\) |
-5 |
|
70 |
\({\sigma}_{zz}\) |
-5 |
|
12 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-18.50 |
|
16 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-22.5675778 |
|
32 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-30.8797526 |
|
41 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-34.9342281 |
|
42 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-32.9136722 |
|
46 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-26.8215156 |
|
52 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-22.7560224 |
|
70 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-20.721512 |
Localisation |
Numéro d’ordre |
Déformation |
Solution de référence |
Point \(D\) |
12 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
0.9 E-3 |
16 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
1.24644 E-3 |
|
32 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
3.48682 E-3 |
|
41 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
4.81373 E-3 |
|
42 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
5.22653 E-3 |
|
46 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
6.66403 E-3 |
|
52 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
8.27551 E-3 |
|
70 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
12.01865 E-3 |
|
12 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-0.003 |
|
70 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-0.0175 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation \(\mathrm{2D}\) axisymétrique
D
y
x
z
Découpage: \(\mathrm{1m}\) en hauteur, \(\mathrm{1m}\) en largeur
Chargement de la phase 1:
(pression de confinement)
Conditions aux limites:
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4 et 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Localisation |
Numéro d’ordre |
Contrainte \((\mathit{MPa})\) |
Solution de référence |
Point \(D\) |
16 |
\({\sigma}_{xx}\) |
-12 |
80 |
\({\sigma}_{xx}\) |
-12 |
|
16 |
\({\sigma}_{zz}\) |
-12 |
|
80 |
\({\sigma}_{zz}\) |
-12 |
|
16 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-30 |
|
20 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-33.4287301 |
|
36 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-43.5095082 |
|
49 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-50.4230084 |
|
52 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-48.4775526 |
|
56 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-46.4935733 |
|
60 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-45.0479008 |
|
70 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-43.1174944 |
|
80 |
\({\sigma}_{yy}\) |
-42.8023313 |
Localisation |
Numéro d’ordre |
Déformation |
Solution de référence |
Point \(D\) |
16 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
1.2 E-3 |
20 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
1.61504 E-3 |
|
36 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
3.66549 E-3 |
|
49 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
5.46863 E-3 |
|
52 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
6.265 E-3 |
|
56 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
7.26131 E-3 |
|
60 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
8.19982 E-3 |
|
70 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
10.36527 E-3 |
|
80 |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
12.35726E-3 |
|
16 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-0.004 |
|
80 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-0.02 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus permettent de valider le modèle de Hoek-Brown modifié intégré dans Code_Aster dans le cas particulier d’une déformation plastique volumique constante.