v6.01.129 SSNA129 - Tubes élastoplastiques soumis à des pressions interne/externe axisymétriques

Résumé :

Ce cas-test permet de réaliser un comparatif d’éléments finis de plaques et de coques (cinématiques, méthodes d’intégration dans l’épaisseur) et de tuyaux pour modéliser des tubes cylindriques homogénes élastoplastiques soumis en statique à des trajets de chargements de pression axisymétriques représentatifs, produisant une solution indépendante de la direction axiale du tube. On traite trois géométries de tubes :

• \(\mathit{h}/\mathit{R} = \mathrm{0.05}= \mathrm{1/20}\),

• \(\mathit{h}/\mathit{R} = \mathrm{0.10}= \mathrm{1/10}\),

• \(\mathit{h}/\mathit{R} = \mathrm{0.20}= \mathrm{1/5}\)

Les trajets de chargements de pression axisymétriques sont :

• pressions interne/externe asynchrones alternées jusqu’à décharge compléte du tube élastoplastique à écrouissage isotrope,

• pression interne monotone croissante jusqu’à la limite de ruine, avec pilotage en déplacement radial du tube élastoplastique sans écrouissage.

Les solutions de référence sont obtenues par une modélisation en éléments finis massifs axisymétriques sur un maillage trés raffiné dans l’épaisseur : voir modélisation A. Ces solutions sont aussi confrontées à des résultats analytiques partiels.

Les éléments finis de plaques et de coques testés sont :

• modélisation B : les plaques DKT [r3.07.03],

• modélisation C : les coques volumiques COQUE_3D [r3.07.04].

• modélisation D : les coques solides COQUE_SOLIDE [r3.07.10],

• modélisation E : les tuyaux TUYAU_3M [r3.08.06], avec leur capacité de traiter le gonflement (radial).

On compare respectivement :

• le déplacement radial au cours du temps,

• le déplacement axial au cours du temps,

• les contraintes circonférentielles et radiales dans l’épaisseur à certains instants,

• les déformations plastiques cumulées dans l’épaisseur à certains instants.

Solution de référence

Les solutions de référence pour les trois géométries de tubes sont obtenues par une modélisation élastoplastique à écrouissage isotrope et critère de Von Mises avec Code_Aster en éléments finis massifs axisymétriques sur un maillage quadratique trés raffiné : 100 mailles dans l’épaisseur, cf. Modélisation A. On pourra comparer également les solutions avec les résultats obtenus dans [bib1] et [bib2] avec un maillage réalisé avec 10 éléments finis axisymétriques quadratiques et un calcul élastoplastique à écrouissage isotrope et critére de Von Mises avec Alibaba.

L’équation d’équilibre statique radial du tube sous pressions interne et externe indépendantes de \(z\), cf. é 3.3.1 de [bib3], conduit à l’expression de la contrainte circonférentielle moyenne dans l’épaisseur, indépendamment du comportement du matériau :

\(\overline{\sigma_{\theta\theta}}=\frac{N_{\theta\theta}}{h}=\frac{1}{h}\int_{R_i}^{R_e}\sigma_{\theta\theta}\left(r\right)dr=\frac{R_i+R_e}{2h}\left(p_i-p_e\right)- \frac{p_i+p_e}{2}\)

Pour les trajets 1 et 2, on décrit le matériau élastoplastique avec écrouissage isotrope avec la courbe de traction comportant un plateau plastique parfait, voir la section v6.01.129-Probleme_de_reference.

Toutes les courbes qui représentent la dépendance des champs dans l’épaisseur sont tracées avec une abscisse adimensionnelle entre 0, pour le rayon intérieur, et 1 pour le rayon extérieur.

• Pour le trajet 1 (pressions interne et externe cycliques)

On trace le déplacement radial au cours du temps de la modélisation en éléments finis axisymétriques en paroi interne, en paroi externe, et sur le feuillet moyen.

Fig. 571 Déplacement radial

On trace le déplacement axial au cours du temps de la modélisation en éléments finis axisymétriques sur le feuillet moyen.

Fig. 572 Déplacement axial

On trace les contraintes circonférentielles dans la paroi à l’instant 1 et à l’instant 4, interpolées aux noeuds du maillage à partir des valeurs aux points de Gauss.

Fig. 573 Contraintes circonférentielles à l’instant 1

Fig. 574 Contraintes circonférentielles à l’instant 4

On trace les déformations plastiques cumulées dans la paroi à l’instant 1 et à l’instant 5, interpolées aux noeuds du maillage à partir des valeurs aux points de Gauss.

Fig. 575 Déformation plastique à l’instant 1

Fig. 576 Déformation plastique à l’instant 4

• Pour le trajet 2 (pression interne monotone jusqu’à la ruine)

On rappelle l’expression (obtenue par R.Hill, cf. eq 8.7.9 de [bib3]) de la pression de ruine en écoulement plastique radial pur d’un tube bouché sous pression interne avec critère de Von Mises :

\(p_{ruine}= \frac{2 \sigma_{y} \sqrt{3} }{3} ln \left( \frac{{R}_{e}}{{R}_{i}} \right)\)

Avec la prise en compte de l’écrouissage, on trouve aussi l’expression approchée de la pression de ruine d’un tube bouché qui fait intervenir la moyenne entre la limite élastique (prise conventionnellement à 0,2% de déformation plastique) et la limite d’écoulement plastique :

\(p_{ruine}^{éc}= \frac{ \left( \sigma _{y}+\sigma _{u}\right) \sqrt{3} } {3} ln \left( \frac{{R}_{e}}{{R}_{i}} \right)\)

Avec les données fournies en v6.01.129-Probleme_de_reference, on obtient les valeurs numériques à l’aide de la simulation numérique en éléments finis 2D axisymétriques pour un tube non bouché :

Tableau 120 Tableau 1-1: pression de ruine pour les trois tubes.

Tube \(h/R\)	\(p_{ruine}^{éc}\) (\(\mathit{MPa}\))	Pression adimensionnelle
0.05	33.20	33.20
0.10	66.45	33.23
0.20	133.24	33.31

On trace le déplacement radial en fonction de la pression interne au cours du temps de la modélisation en éléments axisymétriques sur le feuillet moyen. On a forcé l’uniformité dans l’épaisseur

Fig. 577 Déplacement radial

On trace les contraintes radiales dans la paroi à l’instant 3 et à l’instant 5, interpolées aux noeuds du maillage à partir des valeurs aux points de Gauss.

Fig. 578 Contraintes radiales à l’instant 3

Fig. 579 Contraintes radiales à l’instant 5

On trace les contraintes circonférentielles dans la paroi à l’instant 3 et à l’instant 5, interpolées aux noeuds du maillage à partir des valeurs aux points de Gauss.

Fig. 580 Contraintes circonférentielles à l’instant 3

Fig. 581 Contraintes circonférentielles à l’instant 5

On trace les déformations plastiques cumulées dans la paroi à l’instant 3 et à l’instant 5, interpolées aux noeuds du maillage à partir des valeurs aux points de Gauss.

Fig. 582 Déformation plastique à l’instant 3

Fig. 583 Déformation plastique à l’instant 5

Modélisation A

La modélisation A constitue le calcul de référence, reposant sur une modélisation élastoplastique (modéle d’écrouissage isotrope avec courbe de traction bi-linéaire) en éléments finis massifs axisymétriques. Les grandeurs calculées ne dépendent que de la direction radiale. Les trois tubes (avec leurs trois ratios épaisseur/rayon différents) sont calculés ensemble.

Caractéristiques du maillage

Le maillage quadratique est trés raffiné : 100 mailles QUAD8 dans l’épaisseur, mais une maille selon l’axe du tube. Il y a 503 noeuds.

Caractéristiques de la modélisation statique non linéaire et Conditions de chargement

Les éléments finis massifs sont axisymétriques. La longueur des tubes modélisés est de \(10 \mathit{mm}\). La face inférieure est affectée d’un blocage total selon la direction axiale ; la face supérieure est affectée d’une liaison uniforme selon la direction axiale pour simuler une cinématique identique à celle d’un tube de trés grande longueur. Le pas de temps choisi est de \(0.5\), fixé pour toutes les étapes de calcul non linéaire ; cependant on autorise une découpe en cas d’échec de convergence, le critére RESI_GLOB_RELA étant fixé à \(10^{-6}\). La méthode de Newton utilise l’option MATRICE='TANGENTE'. (Pour le tracé des courbes, on utilise un calcul réalisé avec un pas de temps maximal de \(0.1\).)

Les pressions sont respectivement appliquées sur les bords intérieur et extérieur. Pour le calcul de la pression limite (trajet 2), on utilise un pilotage du chargement par le déplacement radial d’un noeud de la paroi externe.

Grandeurs testées et résultats

A titre d’information, on indique les valeurs calculées. Ces valeurs sont utilisées comme valeurs de référence pour les autres modélisations. Les tests correspondent à des tests de non-regressions, hormis pour les contraintes tangentielles, où l’on compare à la valeur moyenne indiquée dans ce tableau (La valeur moyenne n’est pas nécéssairement la valeur calculée au niveau du feuillet moyen, mais elle donne un ordre de grandeur).

Trajet 1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DX en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	0,011902
Instant t = 1.	0,176855
Instant t = 2.	0,176007
Instant t = 3.	0,150506
Instant t = 4.	0,105688
Instant t = 5.	0,130341

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DX en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	0,011668
Instant t = 1.	0,165026
Instant t = 2.	0,163329
Instant t = 3.	0,136599
Instant t = 4.	0,071341
Instant t = 5.	0,096374

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DX en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	0,011158
Instant t = 1.	0,141588
Instant t = 2.	0,138094
Instant t = 3.	0,108989
Instant t = 4.	0,003604
Instant t = 5.	0,029314

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DY en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	-0,00034568
Instant t = 1.	-0,00805735
Instant t = 2.	-0,00798468
Instant t = 3.	-0,00714781
Instant t = 4.	-0,00542527
Instant t = 5.	-0,00618936

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DY en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	-0,00032818
Instant t = 1.	-0,00720990
Instant t = 2.	-0,00706445
Instant t = 3.	-0,00611717
Instant t = 4.	-0,00332040
Instant t = 5.	-0,00412222

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DY en surface moyenne	valeur (m)
Instant t = 0.5	-0,00029454
Instant t = 1.	-0,00564851
Instant t = 2.	-0,00535760
Instant t = 3.	-0,00418669
Instant t = 4.	-0,00009860
Instant t = 5.	-0,00010608

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante SIZZ en surface moyenne	valeur(MPa)	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	195	0,1
Instant t = 1.	390	0,1
Instant t = 2.	370	0,1
Instant t = 3.	-60	0,5
Instant t = 4.	-410	0,1
Instant t = 5.	0,0	0,2 (ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante SIZZ en surface moyenne	valeur(MPa)	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	190	0,5
Instant t = 1.	380	0,1
Instant t = 2.	340	0,1
Instant t = 3.	-120	0,6
Instant t = 4.	-420	0,1
Instant t = 5.	0,0	0,8 (ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante SIZZ en surface moyenne	valeur(MPa)	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	180	0,6
Instant t = 1.	360	0,5
Instant t = 2.	280	0,5
Instant t = 3.	-240	1,2
Instant t = 4.	-440	0,5
Instant t = 5.	0,0	3 (ABSOLU)

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 0.5	0,0
Instant t = 1.	0,015307
Instant t = 2.	0,015307
Instant t = 3.	0,015307
Instant t = 4.	0,017576
Instant t = 5.	0,017576

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 0.5	0,0
Instant t = 1.	0,014177
Instant t = 2.	0,014177
Instant t = 3.	0,014177
Instant t = 4.	0,018703
Instant t = 5.	0,018703

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\) interpolée aux noeuds du maillage

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 0.5	0,0
Instant t = 1.	0,011940
Instant t = 2.	0,011940
Instant t = 3.	0,011940
Instant t = 4.	0,020925
Instant t = 5.	0,020925

Trajet 2

• Pression atteinte pour le tube \(h/R = 1/20\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	valeur
Instant t = 0.5	4,201
Instant t = 1.	8,402
Instant t = 2.	16,594
Instant t = 3.	16,718
Instant t = 4.	16,722
Instant t = 5.	16,726

• Pression atteinte pour le tube \(h/R = 1/10\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	valeur
Instant t = 0.5	4,285
Instant t = 1.	8,570
Instant t = 2.	16,689
Instant t = 3.	16,924
Instant t = 4.	16,928
Instant t = 5.	16,932

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	valeur
Instant t = 0.5	4,480
Instant t = 1.	8,961
Instant t = 2.	16,879
Instant t = 3.	17,334
Instant t = 4.	17,339
Instant t = 5.	17,343

• Contrainte circonférentielle en en surface moyenne du tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIZZ en en surface moyenne	valeur(MPa)
Instant t = 3.	322,26
Instant t = 5.	321.94

• Contrainte circonférentielle en en surface moyenne du tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIZZ en en surface moyenne	valeur(MPa)
Instant t = 3.	312,97
Instant t = 5.	312,19

• Contrainte circonférentielle en en surface moyenne du tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIZZ en en surface moyenne	valeur(MPa)
Instant t = 3.	290,33
Instant t = 5.	288,79

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne du tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 3.	1,129E-3
Instant t = 5.	3,210E-3

• Déformation plastique cumulée en en surface moyenne du tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 3.	1,281E-3
Instant t = 5.	3,457E-3

• Déformation plastique cumulée en en surface moyenne du tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	valeur
Instant t = 3.	1,664E-3
Instant t = 5.	4,073E-3

Modélisation B

La modélisation B est réalisée avec des éléments finis de plaques de la famille DKT sur une demi-circonférence du tube.

Caractéristiques du maillage

Il y a 36 mailles quadrangles sur l’intervalle \(0,\pi\), dans le demi-plan \(Ox>0\), mais une maille selon l’axe du tube \(Oz\). Le maillage est symétrique par rapport à l’axe \(Oy = 0\), de sorte d’avoir un noeud exactement sur cet axe pour pouvoir comparer avec les déplacements du maillage axisymétrique, cf. Modélisation A. On effectue la commande MODI_MAILLAGE (ORIE_NORM_COQUE) pour assurer la bonne orientation des normales à la coque. Il y a 74 noeuds.

Caractéristiques de la modélisation et Conditions de chargement

Il y a 5 couches dans l’épaisseur, chacune ayant 3 sous-points pour le calcul des champs de contraintes et des variables internes.

Le bord inférieur est affecté d’un blocage total selon la direction axiale \(Oz\); le bord supérieur est affecté d’une liaison uniforme sur la translation selon la direction axiale pour simuler une cinématique identique à celle d’un tube de trés grande longueur. Les valeurs des pressions appliquées sont corrigées pour respecter la métrique exacte des parois interne et externe, de maniére à ce qu’elles soient identiques à celles appliquées dans la modélisation A. Le mot-clé facteur utilisé dans AFFE_CHAR_MECA est FORCE_COQUE=_F(PRES=).

Caractéristiques de la modélisation statique non linéaire

Le pas de temps choisi est de \(0.5\), fixé pour toutes les étapes de calcul non linéaire ; cependant on autorise une découpe en cas d’échec de convergence, le critére RESI_GLOB_RELA étant fixé à \(10^{-6}\). La précision exigée pour le respect de la condition de contraintes planes est : RESI_CPLAN_RELA=1e-06. La méthode de Newton utilise l’otion MATRICE='TANGENTE'. Pour le calcul de la pression limite, on utilise un pilotage du chargement par le déplacement radial d’un noeud de la paroi externe. (Pour le tracé des courbes, on utilise un calcul réalisé avec un pas de temps maximal de \(0.1\).)

Post-traitement

Le post-traitement du déplacement radial se fait à tout instant en un noeud sur l’axe \(Oy=0\). Le post-traitement des contraintes et variables internes se fait sur une maille et un point d’intégration avec sa famille de sous-points, proche de l’axe \(Ox\).

Trajet 1

Fig. 584 Déplacement radial

Fig. 585 Déplacement axial

On constate que les champs de contraintes et de variables internes (déformations plastiques cumulées ) sont constants dans l’épaisseur du tube, à tous les instants.

Fig. 586 Contraintes circonférentielles à l’instant 1

Fig. 587 Contraintes circonférentielles à l’instant 4

Les contraintes circonférentielles dans la paroi sont quasiment identiques à la moyenne des contraintes circonférentielles de référence.

Fig. 588 Déformation plastique à l’instant 1

Fig. 589 Déformation plastique à l’instant 4

Les déformations plastiques cumulées dans la paroi sont soit plus faibles, soit plus fortes que celles de la solution de référence, suivant l’intensité du chargement. On peut affecter cette observation à la non prise en compte des contraintes de pincement dans le critère de plasticité avec la modélisation DKT.

Trajet 2

Fig. 590 Déplacement radial

On constate que les champs de contraintes et de variables internes (déformations plastiques cumulées ) sont constants dans l’épaisseur du tube, à tous les instants.

Fig. 591 Contraintes circonférentielles à l’instant 3

Fig. 592 Contraintes circonférentielles à l’instant 5

Fig. 593 Déformation plastique à l’instant 3

Fig. 594 Déformation plastique à l’instant 5

Grandeurs testées et résultats

Les grandeurs testées sont confrontées à un critére de non-régression et aussi aux valeurs de référence produites par la modélisation A, cf. Modélisation A.

Trajet 1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	35
Instant t = 5.	30

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	15
Instant t = 2.	16
Instant t = 3.	20
Instant t = 4.	100
Instant t = 5.	80

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	40
Instant t = 2.	40
Instant t = 3.	50
Instant t = 4.	4000
Instant t = 5.	500

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	4
Instant t = 2.	4
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	30
Instant t = 5.	30

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	6
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	85
Instant t = 5.	70

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	12
Instant t = 1.	30
Instant t = 2.	30
Instant t = 3.	30
Instant t = 4.	600
Instant t = 5.	5300

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	0.3
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	0.2(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	1.0
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	0.8(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.5
Instant t = 1.	0.5
Instant t = 2.	0.5
Instant t = 3.	2.0
Instant t = 4.	0.5
Instant t = 5.	3.0(ABSOLU)

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	6
Instant t = 5.	6

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	20
Instant t = 2.	20
Instant t = 3.	20
Instant t = 4.	20
Instant t = 5.	20

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	45
Instant t = 2.	45
Instant t = 3.	45
Instant t = 4.	25
Instant t = 5.	25

Trajet 2 monotone pression interne jusqu’à la ruine

• Pression atteinte pour le tube \(h/R = 1/20\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	3
Instant t = 3.	2
Instant t = 4.	2
Instant t = 5.	2

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	2
Instant t = 2.	5
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	3
Instant t = 5.	3

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	3
Instant t = 2.	9
Instant t = 3.	7
Instant t = 4.	7
Instant t = 5.	7

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	3
Instant t = 5.	3

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	6
Instant t = 5.	6

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	15
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	15
Instant t = 5.	8

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	25
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	45
Instant t = 5.	27

Modélisation C

La modélisation C est réalisée avec des éléments finis de coques de la famille COQUE_3D sur une demi-circonférence du tube.

Caractéristiques du maillage

Il y a 36 mailles quadrangles quadratiques sur l’intervalle \(0,\pi\), dans le demi-plan \(Ox>0\). Les mailles sont construites sur les mailles linéaires utilisées pour les éléments de la famille DKT, voir la section Modélisation B, mais on les a transformées en QUAD_9 avec la commande CREA_MAILLAGE (MODI_MAILLE=_F(OPTION="QUAD8_9"). Puis on effectue la commande MODI_MAILLAGE (ORIE_NORM_COQUE) pour assurer la bonne orientation des normales à la coque. Il y a 432 noeuds.

Caractéristiques de la modélisation et conditions de chargement

Il y a 10 couches dans l’épaisseur, chacune ayant 3 sous-points pour le calcul des champs de contraintes et de variables internes.

Le bord inférieur est affecté d’un blocage total selon la direction axiale \(Oz\); le bord supérieur est affecté d’une liaison uniforme sur la translation selon la direction axiale pour simuler une cinématique identique à celle d’un tube de trés grande longueur. Les valeurs des pressions appliquées sont corrigées pour respecter la métrique exacte des parois interne et externe, de maniére à ce qu’elles soient identiques é celles appliquées dans la modélisation A. Le mot-clé facteur utilisé dans AFFE_CHAR_MECA est FORCE_COQUE=_F(PRES=).

Caractéristiques de la modélisation statique non linéaire

Le pas de temps choisi est de \(0.5\), fixé pour toutes les étapes de calcul non linéaire ; cependant on autorise une découpe en cas d’échec de convergence, le critére RESI_GLOB_RELA étant fixé é \(10^{-6}\). La précision exigée pour le respect de la condition de contraintes planes est : RESI_CPLAN_RELA=1e-06. La méthode de Newton utilise l’otion MATRICE='TANGENTE'. (Pour le tracé des courbes, on utilise un calcul réalisé avec un pas de temps maximal de \(0.1\).)

Post-traitement

Le post-traitement du déplacement radial se fait à tout instant en un noeud sur l’axe \(Oy=0\). Le post-traitement des contraintes et variables internes se fait sur une maille et un point d’intégration avec sa famille de sous-points, proche de l’axe \(Ox\).

Trajet 1

Fig. 595 Déplacement radial

Fig. 596 Déplacement axial

Fig. 597 Contraintes circonférentielles à l’instant 1

Fig. 598 Contraintes circonférentielles à l’instant 4

Fig. 599 Déformation plastique à l’instant 1

Fig. 600 Déformation plastique à l’instant 4

Trajet 2

Fig. 601 Déplacement radial

Fig. 602 Contraintes circonférentielles à l’instant 3

Fig. 603 Contraintes circonférentielles à l’instant 5

Fig. 604 Déformation plastique à l’instant 3

Fig. 605 Déformation plastique à l’instant 5

Grandeurs testées et résultats

Les grandeurs testées sont confrontées à un critére de non-régression et aussi à leurs valeurs de référence produites par la modélisation A, cf. Modélisation A.

Trajet 1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	35
Instant t = 5.	30

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	15
Instant t = 2.	16
Instant t = 3.	20
Instant t = 4.	100
Instant t = 5.	80

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	40
Instant t = 2.	40
Instant t = 3.	50
Instant t = 4.	4000
Instant t = 5.	500

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	4
Instant t = 2.	4
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	30
Instant t = 5.	30

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	6
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	85
Instant t = 5.	70

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	12
Instant t = 1.	30
Instant t = 2.	30
Instant t = 3.	30
Instant t = 4.	600
Instant t = 5.	5300

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	0.3
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	0.2(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	1.0
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	0.8(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.5
Instant t = 1.	0.5
Instant t = 2.	0.5
Instant t = 3.	2.0
Instant t = 4.	0.5
Instant t = 5.	3.0(ABSOLU)

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	6
Instant t = 5.	6

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	20
Instant t = 2.	20
Instant t = 3.	20
Instant t = 4.	20
Instant t = 5.	20

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	45
Instant t = 2.	45
Instant t = 3.	45
Instant t = 4.	25
Instant t = 5.	25

Trajet 2 monotone pression interne jusqu’à la ruine

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	3
Instant t = 3.	5
Instant t = 4.	6
Instant t = 5.	7

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	2
Instant t = 2.	5
Instant t = 3.	7
Instant t = 4.	7
Instant t = 5.	10

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	3
Instant t = 2.	9
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	12
Instant t = 5.	12

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	7
Instant t = 5.	8

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	10
Instant t = 5.	12

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	20
Instant t = 5.	10

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	30
Instant t = 5.	20

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	30
Instant t = 5.	20

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	45
Instant t = 5.	30

Modélisation D

La modélisation D est réalisée avec des éléments finis de coques de la famille COQUE_SOLIDE sur une demi-circonférence du tube.

Caractéristiques du maillage

Il y a 36 mailles quadrangles quadrangles linéaires sur l’intervalle \(0,\pi\), dans le demi-plan \(Ox>0\), mais une maille selon l’axe du tube \(Oz\). Les mailles sont construites sur les mailles quadratiques utilisées pour la modélisation de référence, voir la section Modélisation A, mais on les a transformées en HEXA8. On effectue la commande MODI_MAILLAGE (ORIE_PEAU) pour assurer la bonne orientation des normales à la coque.

Il y a 5 sous-points dans l’épaisseur pour le calcul des champs de contraintes et de variables internes.

Conditions de chargement

La face inférieure est affectée d’un blocage total selon la direction axiale \(Oz\); la face supérieure est affectée d’une liaison uniforme selon la direction axiale pour simuler une cinématique identique à celle d’un tube de trés grande longueur.

Les pressions appliquées sont nativement dans ce modéle de coque corrigées pour respecter la métrique exacte des parois interne et externe, de maniére à ce qu’elles soient identiques é celles appliquées dans la modélisation A. Le mot-clé facteur utilisé dans AFFE_CHAR_MECA est FORCE_COQUE=_F(PRES=).

Caractéristiques de la modélisation statique non linéaire

Le pas de temps choisi est de \(0.5\), fixé pour toutes les étapes de calcul non linéaire ; cependant on autorise une découpe en cas d’échec de convergence, le critére RESI_GLOB_RELA étant fixé é \(10^{-6}\). La méthode de Newton utilise l’otion MATRICE='TANGENTE'. Pour le calcul de la pression limite, on utilise un pilotage du chargement par le déplacement radial d’un néud de la paroi externe. (Pour le tracé des courbes, on utilise un calcul réalisé avec un pas de temps maximal de \(0.1\).)

Post-traitement

Le post-traitement du déplacement radial se fait à tout instant en un noeud sur l’axe \(Oy=0\). Le post-traitement des contraintes et variables internes se fait sur une maille et un point d’intégration avec sa famille de sous-points, proche de l’axe \(Ox\).

Trajet 1

Fig. 606 Déplacement radial

Fig. 607 Déplacement axial

Fig. 608 Contraintes circonférentielles à l’instant 1

Fig. 609 Contraintes circonférentielles à l’instant 4

Fig. 610 Déformation plastique à l’instant 1

Fig. 611 Déformation plastique à l’instant 4

Trajet 2

Fig. 612 Déplacement radial

Fig. 613 Contraintes circonférentielles à l’instant 3

Fig. 614 Contraintes circonférentielles à l’instant 5

Fig. 615 Déformation plastique à l’instant 3

Fig. 616 Déformation plastique à l’instant 5

Grandeurs testées et résultats

Les grandeurs testées sont confrontées à un critére de non-régression et aussi à leurs valeurs de référence produites par la modélisation A, cf. Modélisation A.

Trajet 1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	2
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	2
Instant t = 4.	2
Instant t = 5.	1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	3
Instant t = 2.	3
Instant t = 3.	5
Instant t = 4.	2
Instant t = 5.	2

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DX en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	6
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	12
Instant t = 4.	100
Instant t = 5.	20

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	1
Instant t = 4.	3
Instant t = 5.	3

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	1
Instant t = 4.	3
Instant t = 5.	2

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	3
Instant t = 2.	4
Instant t = 3.	4
Instant t = 4.	1
Instant t = 5.	20

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	1.0
Instant t = 3.	4.0
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	2.0(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.5
Instant t = 1.	1.0
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	1.0
Instant t = 4.	0.1
Instant t = 5.	0.6(ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2.0
Instant t = 1.	4.0
Instant t = 2.	3.0
Instant t = 3.	1.0
Instant t = 4.	1.0
Instant t = 5.	3.0(ABSOLU)

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	0.5
Instant t = 2.	0.5
Instant t = 3.	0.5
Instant t = 4.	2.0
Instant t = 5.	2.0

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	0.5
Instant t = 2.	0.5
Instant t = 3.	0.5
Instant t = 4.	2.0
Instant t = 5.	2.0

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	5.0
Instant t = 2.	5.0
Instant t = 3.	5.0
Instant t = 4.	5.0
Instant t = 5.	5.0

Trajet 2 monotone pression interne jusqu’à la ruine

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	5
Instant t = 4.	6
Instant t = 5.	7

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	2
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	5
Instant t = 4.	5
Instant t = 5.	6

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	5
Instant t = 1.	5
Instant t = 2.	2
Instant t = 3.	5
Instant t = 4.	4
Instant t = 5.	5

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	5
Instant t = 5.	8

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	8
Instant t = 5.	10

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SIYY en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	15
Instant t = 5.	16

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	20
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	35
Instant t = 5.	20

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	50
Instant t = 5.	35

Modélisation E

La modélisation E est réalisée avec des éléments finis de tuyaux sur l’axe du tube.

Caractéristiques du maillage

Il y a une maille SEG3 selon l’axe du tube \(Oz\).

Caractéristiques de la modélisation

L’élément fini est TUYAU_3M, avec 3 modes de coques sur la circonférence (Fourier). Dans cette modélisation, cf. [r3.08.06], la cinématique représente les déformations axiales, circonférentielles, les déformations de distorsion dans le plan tangent et de distorsion transverse dans le plan de la section, mais pas la déformation radiale ni la distorsion transverse orthogonale au plan de la section. La relation de comportement produit les contraintes axiales, circonférentielles, les cisaillements dans le plan tangent et transverses dans le plan de la section. On choisit l’option MODI_METRIQUE = OUI afin d’exprimer les gradients dans l’épaisseur avec la métrique locale ( et non pas la métrique moyenne comme dans les éléments de coqurs ordinaires). Il y a 16 secteurs sur la circonférence, chacun ayant 3 sous-points pour le calcul des champs de contraintes et des variables internes. Il y a 5 couches dans l’épaisseur, chacune ayant 3 sous-points pour le calcul des champs de contraintes et des variables internes. Cela fait donc \(4 \times 2 + 3 = 11\) sous-points dans l’épaisseur et \(15 \times 2 + 3 = 33\) sous-points sur la circonférence, d’où \(363\) sous-points au total.

Conditions de chargement

Le bord inférieur est affecté d’un blocage total de tous les 6 degrés de liberté de poutre ; le bord supérieur est affecté d’un blocage total des 5 degrés de liberté de poutre autres que celui de translation selon la direction axiale \(Oz\). On bloque également sur les bords inférieur et supérieur les degrés de liberté des modes de Fourier « out-of-plane » : UO2, UO3, VO2, VO3, WO2, WO3.

On simule ainsi une cinématique identique à celle d’un tube de très grande longueur.

Les valeurs des pressions appliquées sont corrigées pour respecter la métrique exacte des parois interne et externe, de maniére à ce qu’elles soient identiques à celles appliquées dans la modélisation A. Le mot-clé facteur utilisé dans AFFE_CHAR_MECA est FORCE_TUYAU=_F(PRES=). Comme cette modélisation n’accepte que des pressions exercées sur la surface interne du tuyau, l’application de la pression externe est simulée par une pression interne négative, de sorte que son effet sur l’effort normal circonférentiel soit identique : \(p_i^{éq}=-p_e \times {R_e}/{R_i}\).

Caractéristiques de la modélisation statique non linéaire

Le pas de temps choisi est de \(0.5\), fixé pour toutes les étapes de calcul non linéaire ; cependant on autorise une découpe en cas d’échec de convergence, le critére RESI_GLOB_RELA étant fixé é :math: 10^{-6}. La précision exigée pour le respect de la condition de contraintes planes est : RESI_CPLAN_RELA=1e-06. La méthode de Newton utilise l’otion MATRICE='TANGENTE'. Pour le calcul de la pression limite, on utilise un pilotage du chargement par le déplacement radial WO du noeud du bord inférieur. (Pour le tracé des courbes, on utilise un calcul réalisé avec un pas de temps maximal de \(0.1\).)

Post-traitement

Le post-traitement du déplacement radial se fait é tout instant en un noeud sur le plan \(z=0.\). Le post-traitement du déplacement axial se fait é tout instant en un noeud sur le plan \(z=1.\). On produit les efforts généralisés (théorie des poutres) aux noeuds des éléments : N, VY,VZ, MT, MFY, MFZ. Le post-traitement des contraintes et variables internes se fait sur un sous- point d’intégration , proche du plan \(z=0.\).

Trajet 1

Fig. 617 Déplacement radial

Fig. 618 Déplacement axial

Fig. 619 Contraintes circonférentielles à l’instant 1

Fig. 620 Contraintes circonférentielles à l’instant 4

Fig. 621 Déformation plastique à l’instant 1

Fig. 622 Déformation plastique à l’instant 4

Trajet 2

Fig. 623 Déplacement radial

Fig. 624 Contraintes circonférentielles à l’instant 3

Fig. 625 Contraintes circonférentielles à l’instant 5

Fig. 626 Déformation plastique à l’instant 3

Fig. 627 Déformation plastique à l’instant 5

Grandeurs testées et résultats

Les grandeurs testées sont confrontées é un critére de non-régression et aussi é leurs valeurs de référence produites par la modélisation A, cf. Modélisation A.

Trajet 1

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement WO en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	8
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	35
Instant t = 5.	30

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement WO en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	15
Instant t = 2.	16
Instant t = 3.	20
Instant t = 4.	100
Instant t = 5.	75

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement WO en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	40
Instant t = 2.	40
Instant t = 3.	50
Instant t = 4.	4000
Instant t = 5.	500

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/20\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	4
Instant t = 2.	4
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	30
Instant t = 5.	35

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/10\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	6
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	85
Instant t = 5.	70

• Déplacement axial uniforme tube \(h/R = 1/5\)

Déplacement DZ en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	12
Instant t = 1.	30
Instant t = 2.	30
Instant t = 3.	30
Instant t = 4.	600
Instant t = 5.	5300

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	0.1
Instant t = 1.	0.2
Instant t = 2.	0.2
Instant t = 3.	0.3
Instant t = 4.	0.2
Instant t = 5.	0.2 (ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	1
Instant t = 3.	1
Instant t = 4.	1
Instant t = 5.	0.6 (ABSOLU)

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	0.5
Instant t = 2.	0.5
Instant t = 3.	2
Instant t = 4.	0.5
Instant t = 5.	3 (ABSOLU)

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	10
Instant t = 2.	10
Instant t = 3.	10
Instant t = 4.	8
Instant t = 5.	8

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	18
Instant t = 2.	18
Instant t = 3.	18
Instant t = 4.	15
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 0.5
Instant t = 1.	45
Instant t = 2.	45
Instant t = 3.	45
Instant t = 4.	25
Instant t = 5.	25

Trajet 2 monotone pression interne jusqu’à la ruine

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	1
Instant t = 1.	1
Instant t = 2.	3
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	3
Instant t = 5.	3

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	2
Instant t = 1.	2
Instant t = 2.	5
Instant t = 3.	3
Instant t = 4.	3
Instant t = 5.	3

• Déplacement radial en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\)

Coefficient facteur de la pression appliquée	Tolérance (%)
Instant t = 0.5	3
Instant t = 1.	3
Instant t = 2.	9
Instant t = 3.	6
Instant t = 4.	6
Instant t = 5.	6

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	5
Instant t = 5.	3

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	6
Instant t = 5.	6

• Contrainte circonférentielle en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante SITT en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	15
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/20\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	12
Instant t = 5.	7

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/10\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	23
Instant t = 5.	15

• Déformation plastique cumulée en surface moyenne tube \(h/R = 1/5\). En particulier : au néud du bord supérieur du tube, secteur 1, couche 1.

Composante V1 en surface moyenne	Tolérance (%)
Instant t = 3.	41
Instant t = 5.	28

• Efforts généralisés (théorie des poutres) aux noeuds des éléments : N, VY,VZ, MT, MFY, MFZ. En particulier : au noeud du bord inférieur du tube \(h/R = 1/20\).

Composante Instant t = 2.5	valeur
N	-2.37
VY
VZ
MT
MFY
MFZ

• Forces nodales (degrés de liberté de poutres et des 3 modes de coque) aux noeuds des éléments. En particulier : aux noeuds du tube \(h/R = 1/20\).

Composante Instant t = 2.5	valeur
DZ bord supérieur
WO bord supérieur	172.89
DZ milieu
WO milieu	691.58

Synthèse des résultats

En conclusion de cette évaluation comparative de modélisations de coques et tuyaux élastoplastiques, de divers ratios épaisseur sur rayon (de coque mince à coque épaisse), on peut faire le résumé suivant :

• pour un trajet de chargement complexe en pressions interne et externe :

  • pour le déplacement : la modélisation COQUE_SOLIDE grâce au pincement donne des valeurs quasiment identiques au calcul 2D axisymétrique ; la modélisation DKT avec modèle de comportement exprimé en contraintes planes s’écarte sensiblement du calcul 2D axisymétrique dans les cas de charge plastiques. En introduisant les pressions interne et externe avec une valeur corrigée permettant de représenter correctement la vraie aire des parois interne et externe (correction de métrique selon l’épaisseur), on corrige notablement les résultats, mais cela ne suffit pas pour se rapprocher suffisamment du calcul de référence ; la modélisation COQUE_3D produit des résultats très semblables à la modélisation DKT, car ces éléments fins en membrane, en situation homogène, doivent donner les mêmes résultats que DKT avec des mailles planes ; la modélisation TUYAU_3M (la modélisation TUYAU_6M donnerait le même résultat) fournit des résultats très proches de la modélisation DKT.

  • pour les contraintes : Les contraintes radiales et les contraintes circonférentielles résiduelles sont trés bien évaluées par la modélisation COQUE_SOLIDE grâce au pincement en référence au calcul 2D axisymétrique ; la modélisation DKT avec modèle de comportement exprimé en contraintes planes s’écarte sensiblement du calcul 2D axisymétrique même après usage des pressions interne et externe avec une valeur corrigée. Alors que dans la modélisation DKT et COQUE_3D produisent des contraintes circonférentielles constantes dans l’épaisseur, la modélisation TUYAU_3M produit des contraintes variables dans l’épaisseur, mais qui ne recoupent pas les valeurs de la modélisation de référence.

  • pour les variables internes : la modélisation COQUE_SOLIDE grâce au pincement évalue très bien la variable d’écrouissage, alors que les modélisations en contraintes planes (DKT, COQUE_3D, TUYAU_3M) sont très décevantes.

• pour un trajet de chargement monotone jusqu’à la ruine sous pression interne :

  • on observe la capacité de la modélisation COQUE_SOLIDE à reproduire correctement l’évolution de la plastification dans l’épaisseur et de fournir la charge limite avec une grande précision.

  • la modélisation DKT avec modèle de comportement exprimé en contraintes planes s’écarte sensiblement du calcul 2D axisymétrique, même en ayant corrigé la pression interne avec la vraie aire de la paroi interne. On constate, comme prévisible, que cette modélisation sans pincement ne laisse aucune marge entre premiére plastification et ruine de la structure.

  • L’évolution du déplacement radial au cours du chargement corrobore ces observations.

  • Cependant en terme de charge limite de ruine plastique, les modélisations COQUE_SOLIDE , COQUE_3D , DKT, TUYAU_3M, fournissent des valeurs conservatives à 10% près.

Ainsi, pour ce type de problémes :

• l’hypothése des contraintes planes apparaissant dans l’écriture de la loi de comportement est trop restrictive et l’enrichissement en contraintes de pincement est décisif ;

• la correction de métrique selon l’épaisseur est aussi nécessaire.

Moyennant quoi, une modélisation en coques COQUE_SOLIDE [r3.07.04] permet de reproduire des résultats tout à fait satisfaisants, en référence au calcul avec des éléments finis massifs, cf. Modélisation A. Les autres modélisations de coques sont trop « pauvres ».

Description des versions du document

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
17	F.Voldoire, V.Le Corvec EDF-R&D/ERMES	Texte initial. Création du cas-test.

Bibliographie

[bib1]

Voldoire, F. (1992). An elastic-plastic enriched shell model; formulation and numerical assessment. Collection de notes internes de la Direction des études et Recherches, ISSN 1161-059X, 1161-0611, Paris.

[bib2]

Voldoire, F. (1992). Formulation et évaluation numérique d’un modèle de coque élastoplastique axisymétrique enrichie. Rapport interne EDF/DER, HI-73/7518.

[bib3] (1,2)

Voldoire, F. et Bamberger Y. (2008). Mécanique des structures : initiation, approfondissements, applications. Presses des Ponts Publishers, ISBN : 978-2-85978-437-9.