v3.02.318 SSLP318 - Propagation d’une fissure X-FEM non débouchante sollicitée en mode I#
Résumé:
Le but de ce test est de vérifier que l’opérateur PROPA_FISS traite correctement les cas de multi-fissuration.
Il s’agit d’une plaque \(\mathrm{2D}\) contenant une seule fissure composée de deux fonds de fissure. Plusieurs propagations sont calculées par l’opérateur PROPA_FISS. On vérifie que les facteurs d’intensité des contraintes de la fissure propagée sont corrects pour une propagation en mode \(I\) .
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Trois propagations de la fissure sont calculées. Les deux fonds de la fissure avancent toujours de la même distance et leurs facteurs d’intensité des contraintes sont toujours égaux entre eux.
On peut calculer les facteurs d’intensité des contraintes en utilisant les équations suivantes [bib1]:
\({K}_{I}=-P\cdot \sqrt{\pi \cdot a\cdot {(\cos(\frac{\pi a}{L}))}^{-1}}\)
\({K}_{\mathrm{II}}=0\)
Grandeurs et résultats de référence#
Pour les trois propagations calculées dans les tests, la demi-longueur de la fissure est la suivante:
Propagation |
a [ \(\mathrm{mm}\) ] |
1 |
180.0 |
2 |
210.0 |
3 |
240.0 |
Tableau 2.1
La valeur du \({K}_{I}\) attendue est donc la suivante pour chaque fond propagé:
Propagation |
\({K}_{I}\) [ \(\mathrm{Pa}\sqrt{\mathrm{mm}}\) ] |
1 |
2.2997E+07 |
2 |
2.5878E+07 |
3 |
2.8894E+07 |
Tableau 2.2
La valeur du \({K}_{\mathrm{II}}\) attendue est toujours égale à zéro.
Bibliographie#
[1] D.Broek, «Elementary engineering fracture mechanics», Martinus Nijhoff Publishers, The Hague, The Netherlands, 1982
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La méthode UPWIND est utilisée par PROPA_FISS pour résoudre les équations de propagation de la fissure.
Aucune grille auxiliaire n’est utilisée. Cela est possible parce que le maillage de la structure est très régulier.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage composé de 1440 éléments QUAD4 (voir ).
Figure 3.2-a : maillage de la structure
Le maillage est très grossier pour réduire le temps de calcul. Il est plus raffiné dans la zone de propagation de la fissure. Dans cette zone la dimension des éléments est de \(25\times 25\mathrm{mm}\) . Le plus grand élément utilisé a une dimension égale à \(25\times 100\mathrm{mm}\) .
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) pour les deux fonds de la fissure après chaque propagation. Pour vérifier si ces valeurs sont correctes, on utilise une tolérance relative égale à 5% pour les valeurs de \({K}_{I}\) . Par contre, pour vérifier si la valeur de \({K}_{\mathit{II}}\) est nulle, on utilise une tolérance absolue (valeur de seuil) liée à la valeur de \({K}_{I}\) : on considère que \({K}_{\mathit{II}}\) est nulle si sa valeur est inférieure à 1% de la valeur de \({K}_{I}\) . En effet, dans ce cas on peut négliger la valeur de \({K}_{\mathit{II}}\) .
On teste la valeur maximale de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) entre les deux fonds de la fissure.
Propagation |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
Tolérance [%] |
1 |
2.2997E+07 |
5.0 |
2 |
2.5878E+07 |
5.0 |
3 |
2.8894E+07 |
5.0 |
Propagation |
Max \({K}_{\mathit{II}}\) [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{\mathit{II}}\) seuil [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
1 |
7.4881E+03 |
2.2997E+07 |
2.2997E+05 |
2 |
4.0283E+03 |
2.5878E+07 |
2.5878E+05 |
3 |
2.0639E+04 |
2.8894E+07 |
2.8894E+05 |
Remarques#
Toutes les valeurs testées sont dans les tolérances utilisées. Cela signifie que la méthode UPWIND calcule correctement à la fois la position des deux fonds de la fissure et les level sets.
L’erreur obtenue sur les valeurs de \({K}_{I}\) est presque nulle et les valeurs de \({K}_{\mathrm{II}}\) sont toujours de l’ordre de 0.1% des valeurs de \({K}_{I}\) . Les résultats obtenus sont donc très satisfaisants.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La méthode SIMPLEXE est utilisée par PROPA_FISS pour résoudre les équations de propagation de la fissure. Aucune grille auxiliaire n’est utilisée.
Caractéristiques du maillage#
On utilise le même maillage que celui de la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) pour les deux fonds de la fissure après chaque propagation. Pour vérifier si ces valeurs sont correctes, on utilise une tolérance relative égale à 5% pour les valeurs de \({K}_{I}\) . Par contre, pour vérifier si la valeur de \({K}_{\mathit{II}}\) est nulle, on utilise une tolérance absolue (valeur de seuil) liée à la valeur de \({K}_{I}\) : on considère que \({K}_{\mathit{II}}\) est nulle si sa valeur est inférieure à 1% de la valeur de \({K}_{I}\) . En effet, dans ce cas on peut négliger la valeur de \({K}_{\mathit{II}}\) .
On teste la valeur maximale de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) entre les deux fonds de la fissure.
Propagation |
Max \({K}_{I}\) [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
Tolérance [%] |
1 |
2.2914E+07 |
2.2997E+07 |
5.0 |
2 |
2.5803E+07 |
2.5878E+07 |
5.0 |
3 |
2.8809E+07 |
2.8894E+07 |
5.0 |
Propagation |
Max \({K}_{\mathit{II}}\) [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{\mathit{II}}\) seuil [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
1 |
7.4881E+03 |
2.2997E+07 |
2.2997E+05 |
2 |
4.028E+03 |
2.5878E+07 |
2.5878E+05 |
3 |
2.0639E+04 |
2.8894E+07 |
2.8894E+05 |
Remarques#
Toutes les valeurs testées sont dans les tolérances utilisées. Cela signifie que la méthode SIMPLEXE calcule correctement à la fois la position des deux fonds de fissure et les level sets.
L’erreur obtenue sur les valeurs de \({K}_{I}\) est presque nulle et les valeurs de \({K}_{\mathrm{II}}\) sont toujours de l’ordre de 0.1% des valeurs de \({K}_{I}\) . Les résultats obtenus sont donc très satisfaisants.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La méthode GEOMETRIQUE est utilisée par PROPA_FISS pour résoudre les équations de propagation de la fissure. Aucune grille auxiliaire n’est utilisée.
Caractéristiques du maillage#
On utilise le même maillage que celui de la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) pour les deux fonds de la fissure après chaque propagation. Pour vérifier si ces valeurs sont correctes, on utilise une tolérance relative égale à 5% pour les valeurs de \({K}_{I}\) . Par contre, pour vérifier si la valeur de \({K}_{\mathrm{II}}\) est nulle, on utilise une tolérance absolue (valeur de seuil) liée à la valeur de \({K}_{I}\) : on considère que \({K}_{\mathrm{II}}\) est nulle si sa valeur est inférieure à 1% de la valeur de \({K}_{I}\) . En effet, dans ce cas on peut négliger la valeur de \({K}_{\mathrm{II}}\) .
On teste la valeur maximale de \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) entre les deux fonds de la fissure.
Propagation |
Max \({K}_{I}\) [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathit{Pa}\sqrt{\mathit{mm}}\) ] |
Tolérance [%] |
1 |
2.2914E+07 |
2.2997E+07 |
5.0 |
2 |
2.5803E+07 |
2.5878E+07 |
5.0 |
3 |
2.8809E+07 |
2.8894E+07 |
5.0 |
Propagation |
Max \({K}_{\mathrm{II}}\) [ \(\mathrm{Pa}\sqrt{\mathrm{mm}}\) ] |
\({K}_{I}\) référence [ \(\mathrm{Pa}\sqrt{\mathrm{mm}}\) ] |
\({K}_{\mathrm{II}}\) seuil [ \(\mathrm{Pa}\sqrt{\mathrm{mm}}\) ] |
1 |
7.4881E+03 |
2.2997E+07 |
2.2997E+05 |
2 |
4.1930E+03 |
2.5878E+07 |
2.5878E+05 |
3 |
5.1550E+03 |
2.8894E+07 |
2.8894E+05 |
Remarques#
Toutes les valeurs testées sont dans les tolérances utilisées. Cela signifie que la méthode GEOMETRIQUE calcule correctement à la fois la position des deux fonds de fissure et les level sets.
L’erreur obtenue sur les valeurs de \({K}_{I}\) est presque nulle et les valeurs de \({K}_{\mathrm{II}}\) sont toujours de l’ordre de 0.1% des valeurs de \({K}_{I}\) . Les résultats obtenus sont donc très satisfaisants.
Synthèse des résultats#
Toutes les méthodes utilisées (UPWIND,SIMPLEXE, GEOMETRIQUE) ont permis de bien calculer la position d’une fissure formée par deux fonds et propageant en mode \(I\) . Les facteurs d’intensité des contraints ont été calculés correctement et les méthodes utilisées calculent correctement les level sets à chaque propagation.
Les résultats obtenus permettent de valider l’implémentation de la multi-fissuration (cas d’une seule fissure avec plusieurs fonds) dans l’opérateur PROPA_FISS.