v2.03.502 SDLS502 - Plaque carrée « solide » simplement supportée#
Résumé:
Ce test représente un calcul en analyse modale dynamique d’une plaque carrée épaisse simplement supportée. Ce test permet de valider:
les modélisations éléments finis DST, DKT, COQUE_3D avec des mailles QUAD4 et TRIA3, QUAD8 et TRIA6, et 3D avec des mailles HEXA20,
la prise en compte de la rigidité en cisaillement transverse.
Les fréquences et les modes obtenus sont comparés à une solution de référence, proposée par NAFEMS, obtenue avec un calcul éléments finis de type volumique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
la solution de référence proposée par NAFEMS [bib1] a été obtenue à partir un calcul éléments finis \(\mathrm{3D}\) avec des éléments briques à 20 nœuds et avec un maillage \(4\times 4\) (plan \(xy\) ) et 1 élément suivant l’épaisseur.
Résultats de référence#
7 premières fréquences non nulles et les modes propres associés, les trois premiers modes sont ceux de corps rigides:
|
: |
\(44.762\mathrm{hz}\) |
|
: |
\(110.52\mathrm{hz}\) |
|
: |
\(169.08\mathrm{hz}\) |
|
: |
\(193.93\mathrm{hz}\) |
|
: |
\(206.64\mathrm{hz}\) |
|
|
mode 4 hors plan |
mode 5&6 hors plan |
|
|
mode 7 hors plan |
mode 8 dans le plan |
|
|
mode 9&10 dans le plan |
Incertitudes sur la solution#
\(\text{< 2\%}\) pour un maillage identique à celui du [§2.1], c’est-à-dire avec peu d’éléments.
Références bibliographiques#
NAFEMS: The standard NAFEMS Benchmarks, TNSB, Rev. 3, 5 octobre 1990.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 200 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
44.989 |
0.507 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
107.608 107.880 |
–2.634 –2.388 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
165.454 |
–2.144 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
196.089 |
1.114 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
211.658 212.000 |
2.428 2.594 |
Remarques#
Dans Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion entre les modes 8 et 9 de référence: ces modes sont les modes 6 et 7 de Code_Aster .
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (Hz) |
1 |
44,98 |
2 |
107.61 |
3 |
107.88 |
4 |
165.45 |
5 |
196.09 |
6 |
202.80 |
7 |
203.54 |
8 |
211.66 |
9 |
212.00 |
10 |
222.53 |
11 |
254.74 |
12 |
255.62 |
13 |
264.73 |
14 |
289.85 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 100 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
44.64 |
–0.273 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
108.04 108.26 |
–2.247 –2.041 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
162.86 |
–3.681 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
195.70 |
0.912 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
208.89 208.89 |
1.088 |
Remarques#
Dans Code_Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion entre les modes 8 et 9 de référence: ces modes sont les modes 6 et 7 de Code_Aster .
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) |
1 |
44.64 |
2 |
108.04 |
3 |
108.26 |
4 |
162.86 |
5 |
195.70 |
6 |
203.97 |
7 |
206.08 |
8 |
208.89 |
9 |
208.89 |
10 |
220.92 |
11 |
248.12 |
12 |
250.10 |
13 |
252.49 |
14 |
289.79 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 200 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
47.358 |
5.799 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
118.029 118.059 |
6.795 6.822 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
187.504 |
10.897 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
196.089 |
1.114 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
211.658 212.000 |
2.428 2.594 |
Remarques#
Dans Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par le Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion après le mode 11 de référence (mode 8 du Code_Aster ), de la même forme que ceux apparus dans la modélisation DST entre les modes 8 et 9 de référence (modes 6 et 7 du Code_Aster ).
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (Hz) |
1 |
47.358 |
2 |
118.03 |
3 |
118.06 |
4 |
187.50 |
5 |
196.09 |
6 |
211.66 |
7 |
212.00 |
8 |
222.53 |
9 |
235.41 |
10 |
235.56 |
11 |
264.73 |
12 |
289.85 |
13 |
302.84 |
14 |
303.15 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 100 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
47.182 |
5.408 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
117.463 |
6.283 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
184.746 |
9.266 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
195.699 |
0.912 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
208.887 |
1.088 |
Remarques#
Dans Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion après le mode 11 de référence (mode 8 de Code_Aster ), de la même forme que ceux apparus dans la modélisation DST entre les modes 8 et 9 de référence (modes 6 et 7 de Code_Aster ).
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (Hz) |
1 |
47.183 |
2 |
117.46 |
3 |
117.46 |
4 |
184.75 |
5 |
195.70 |
6 |
208.89 |
7 |
208.89 |
8 |
220.92 |
9 |
234.74 |
10 |
234.74 |
11 |
252.49 |
12 |
289.79 |
13 |
297.27 |
14 |
297.27 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 200 TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
43.867 |
2.00 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
106.058 106.066 |
–4.037 –4.029 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
160.010 |
–5.305 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
193.600 |
–0.170 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
206.209 206.211 |
0.208 0.207 |
Remarques#
Dans Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion entre les modes 8 et 9 de référence: ce sont les modes 6 et 7 de Code_Aster .
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) |
1 |
43,867 |
2 |
106.06 |
3 |
106.07 |
4 |
160.11 |
5 |
186,72 |
6 |
193.60 |
7 |
199.76 |
8 |
200.23 |
9 |
206.21 |
10 |
206.21 |
11 |
219.28 |
12 |
245.91 |
13 |
245.94 |
14 |
249.27 |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Pour valider la modélisation dans un repère différent du repère global, la plaque est tournée de \(15,5°\) . Ceci ne doit pas changer les fréquences propres obtenues.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 122
Nombre de mailles et types: 100 QUAD8
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
43.870 |
–1.993 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
106.041 |
–4.052 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
160.055 |
–5.337 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
193.588 |
–0.176 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
206.192 |
–0.216 |
Remarques#
Dans Code_ Aster, les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion entre les modes 8 et 9 de référence: ce sont les modes 6 et 7 de Code_Aster .
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) |
1 |
43.87 |
2 |
106.04 |
3 |
106.04 |
4 |
160.06 |
5 |
193.59 |
6 |
199.64 |
7 |
200.13 |
8 |
206.19 |
9 |
206.19 |
10 |
219.26 |
11 |
245.68 |
12 |
245.68 |
13 |
249.20 |
14 |
287.99 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1266
Nombre de mailles et types: 200 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (mode 4 hors plan) |
44.762 |
43.862 |
–2.009 |
|
Fréquence (modes 5 & 6 hors plan) |
110.52 |
105.953 |
–4.132 |
|
Fréquence (mode 7hors plan) |
169.08 |
159.749 |
–5.518 |
|
Fréquence (Mode 8 dans le plan) |
193.93 |
193.590 |
–0.175 |
|
Fréquence (mode 9 & 10 dans le plan) |
206.64 |
199.410 199.903 |
–3.498 –3.260 |
Remarques#
Dans Code_Aster , les modes calculés sont ceux de corps rigide: le quatrième mode de référence est le premier mode calculé par Code_Aster .
Apparition de deux modes de flexion entre les modes 8 et 9 de référence: ce sont les modes 6 et 7 du Code_Aster .
Dans le tableau ci-dessous nous avons reporté les 14 premières fréquences propres trouvées.
Mode n° |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) |
1 |
43.86 |
2 |
105.95 |
3 |
105.95 |
4 |
159.75 |
5 |
193.59 |
6 |
199.41 |
7 |
199.90 |
8 |
206.16 |
9 |
206.16 |
10 |
219.27 |
11 |
245.07 |
12 |
245.07 |
13 |
249.13 |
14 |
287.75 |
Synthèse des résultats#
Compte tenu de la nature de la solution numérique (éléments finis volumiques), les résultats obtenus sont satisfaisants pour les :
modélisation A et B (DST) l’écart maximum est de moins de \(\text{4\%}\) pour les 5 premiers modes,
modélisation E et F (COQUE_3D), l’écart maximum est d’environ \(\text{5\%}\) pour les 5 premiers modes,
modélisation G (3D), l’écart maximum est d’environ \(\text{5\%}\) pour les 5 premiers modes,
les modes de référence 5 et 6 hors plan présentent des symétrie différentes de celles rencontrées dans les modélisations E, F et G, mais elles sont équivalentes car il s’agit de recombinaisons modales.
Les modélisations C et D (DKT) sont moins satisfaisantes avec des écarts relatifs atteignant \(\text{10\%}\) sur le mode 7 hors plan, ceci est dû à la non prise en compte du cisaillement transverse pour cette plaque relativement épaisse.
De plus on observe l’apparition de modes de flexion et membrane pour toutes ces modélisations, y compris la modélisation 3D volumique G. Lorsque l’on raffine suffisamment les maillages, cette tendance se confirme et les écarts relatifs régressent. Le calcul 3D a par ailleurs montré qu’en deçà d’un maillage \(6\times 6\) dans le plan (\(\mathrm{XY}\) ), les modes de flexion et membrane n’étaient pas détectés.