v2.02.100 SDLL100 - Réponse dynamique transitoire d’une poutre en traction simple#
Résumé:
Ce problème-test correspond à une analyse transitoire directe d’un système linéaire amorti ou non, constitué d’une poutre en traction simple, soumis à un chargement de type Heaviside appliqué à partir de l’instant initial.
Le problème discrétisé avec un unique élément de poutre possède une solution de référence analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Sans amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:
\({x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}(1-\cos{\omega}_{0}t)\)
\(m=\frac{1}{3}\rho \mathrm{SI}\) , \({\omega}_{0}^{2}=\frac{3E}{\rho {I}^{2}}\) , \({T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}\)
où \(S\) est l’aire de la section \((\pi {R}^{2})\) .
Avec amortissement: la solution analytique du problème à un élément est:
\({x}_{B}(t)=\frac{{F}_{x}}{m{\omega}_{0}^{2}}\left[1-\exp(-\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2}.t).(\frac{\mu +\lambda {\omega}_{0}^{2}}{2{\omega}_{1}}\sin({\omega}_{1}t)+\cos({\omega}_{1}t))\right]\)
\(\lambda ,\mu\) coefficient de l’amortissement proportionnel \(C=\lambda K+\mu M\)
\({\omega}_{1}=\frac{\sqrt{(4-2\lambda \mu ){\omega}_{0}^{2}-{\mu}^{2}-{\lambda}^{2}{\omega}_{0}^{4}}}{2}\)
Résultats de référence#
Déplacement \({x}_{B}\) à \(t=\frac{i{T}_{0}}{10}\) \(i=1,\mathrm{...},10\)
avec: \({T}_{0}=\frac{2\pi }{{\omega}_{0}}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Remarque:
La solution de référence correspond à la solution obtenue avec la discrétisation à un élément et en gardant une matrice masse pleine. Cela permet de valider l’algorithme mais ce n’est pas la solution du problème physique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
POU_D_T
Découpage: |
\(\mathrm{N01}\) |
\(\mathrm{N02}\) |
1 maille SEG2 |
Conditions limites: DDL_IMPO au nœud \(\mathrm{N01}\) :
DX:0., DY:0., DZ:0., DRX:0, DRY:0, DRZ:0
Pas de temps: |
\({10}^{-5}\mathrm{s.}\) |
Intégration NEWMARK |
\(\alpha =0.25\) , \(\delta =0.5\) |
Intégration WILSON |
\(\theta =1.4\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2
Nombre de mailles et types: 1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Sans amortissement:
Instant en sec. |
Référence |
Aster NEWMARK |
% différence |
Aster WILSON |
% différence |
2.E–3 |
2.4638E–04 |
2.4519E–04 |
0.5 |
2.4424E–04 |
0.86 |
4.E–3 |
8.9141E–04 |
8.8948E–04 |
1.93 |
8.8794E–04 |
0.38 |
6.E–3 |
1.6887E–03 |
1.6868E–03 |
0.11 |
1.6852E–03 |
0.20 |
8.E–3 |
2.3337E–03 |
2.3325E–03 |
0.05 |
2.3316E–03 |
0.09 |
1.E–2 |
2.5801E–03 |
2.5801E–03 |
0.03 |
2.5801E–03 |
0 |
1.2E–2 |
2.3337E–03 |
2.3349E–03 |
0.05 |
2.3359E–03 |
0.09 |
1.4E–2 |
1.6887E–3 |
1.6906E–03 |
0.43 |
1.6922E–03 |
0.21 |
1.6E–2 |
8.9141E–04 |
8.9334E–04 |
0.21 |
8.9489E–04 |
0.4 |
1.8E–2 |
2.4638E–04 |
2.4758E–04 |
0.48 |
2.4854E–04 |
0.87 |
2.E–2 |
0.0000 |
3.1989E–09 |
9.3188E–09 |
Avec amortissement:
Instant en sec. |
Référence |
Aster NEWMARK |
% différence |
Aster WILSON |
% différence |
2.E–3 |
2.3775E–04 |
2.3662E0–4 |
0.47 |
2.3572E–04 |
0.85 |
4.E–3 |
8.3189E–04 |
8.3015E–04 |
0.21 |
8.2877E–04 |
0.37 |
6.E–3 |
1.5307E–03 |
1.5290E–03 |
0.11 |
1.5277E–03 |
0.2 |
8.E–3 |
2.0704E–03 |
2.0694E–03 |
0.04 |
2.0686E–03 |
0.09 |
1.E–2 |
2.2721E–03 |
2.2721E–03 |
2.2720E–03 |
0.004 |
|
1.2E–2 |
2.0976E–03 |
2.0984E–03 |
0.04 |
2.0991E–03 |
0.07 |
1.4E–2 |
1.6488E–03 |
1.6501E–03 |
0.08 |
1.6511E–03 |
0.14 |
1.6E–2 |
1.1164E–03 |
1.1176E–03 |
0.11 |
1.1186E–03 |
0.2 |
1.8E–2 |
7.0165E–04 |
7.0241E–04 |
0.11 |
7.0302E–04 |
0.19 |
2.E–2 |
5.4263E–04 |
5.4266E–04 |
0.005 |
5.4269E–04 |
0.01 |
Remarques#
Après les deux premiers pas de temps, la solution avec amortissement est obtenue avec une erreur inférieure à \(\text{0.2\%}\) .
Synthèse des résultats#
Les deux algorithmes donnent une solution avec une erreur inférieure à \(\text{0.2\%}\) de la solution de référence après les deux premiers pas de temps.
Ce problème nécessite un pas de temps d’intégration de \({10}^{-5}s\) .