v2.02.106 SDLL106 - Poutre soumise à une excitation aléatoire répartie#
Résumé:
Une poutre bi-encastrée est soumise sur toute sa longueur à un effort réparti. Le profil de répartition de la force est identique à toutes les fréquences.
Le mouvement aléatoire de cette poutre est évalué par une approche stochastique : on détermine la densité spectrale de puissance du déplacement en différents points de la poutre.
On teste les deux possibilités:
fonction spatiale des efforts appliqués avec interspectre unité (méthode 1),
interspectre construit directement pour les ddl excités (méthode 2).
Ce test est une illustration de la réponse d’une structure soumise à une excitation Eolienne.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le calcul direct définit un vecteur assemblé de répartition spatiale de l’effort et applique la densité spectrale d’effort \({G}_{\mathrm{FF}}(\omega )\) sur cette répartition (méthode 1).
Le calcul décomposé définit l’excitation comme une matrice interspectrale de dimension 3 (égale au nombre de nœuds excités) et applique, en effort imposé aux nœuds, la matrice interspectrale suivante (méthode 2) :
\(\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right]{G}_{\mathrm{FF}}(\omega )\)
Les deux résultats doivent être identiques sans aucune approximation.
Résultats de référence#
Densité spectrale de puissance de déplacement du nœud \(\mathrm{P3}\) aux fréquences : \(4.,6.,8.,10.\) et \(12\mathrm{Hz}\) .
Références bibliographiques#
DUVAL « Réponse dynamique sous excitation aléatoire dans le Code_Aster : principes théoriques et exemples d’utilisation » - Note HP-61/92.148
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément discret en translation de type DIS_T
Éléments de poutre : POU_D_T
La densité spectrale excitatrice est un bruit blanc de niveau 1.
Les 2 premiers modes propres ont été pris en compte dans le calcul.
L’amortissement est introduit sous forme d’amortissement modal dans l’opérateur de réponse dynamique aléatoire. Pour tous les cas de calcul, il est pris égal à \(\text{5\%}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types : 8 SEG2
Remarques#
Les densités spectrales sont exprimées dans leur unité physique. Pour une force ce sera en \({N}^{2}/\mathrm{Hz}\) .
Grandeurs testées et résultats#
Densité spectrale de déplacement au point AM10:
Fréquence |
Méthode 1 |
Méthode 2 |
% différence |
\(4\mathrm{Hz}\) |
4.0298E–02 |
4.0298E–02 |
0% |
\(6\mathrm{Hz}\) |
9.2971E–02 |
9.2971E–02 |
0% |
\(8\mathrm{Hz}\) |
9.5164E–01 |
9.5164E–01 |
0% |
\(10\mathrm{Hz}\) |
1.7617E–01 |
1.7617E–01 |
0% |
\(12\mathrm{Hz}\) |
2.6695E–02 |
2.6695E–02 |
0% |
Synthèse des résultats#
La méthode 1 (répartition spatiale des efforts) et la méthode indirecte (par décomposition sur les trois nœuds excités) fournissent le même résultat.
Cette vérification assure une bonne cohérence des deux méthodes et la qualité de leur programmation.