u4.82.10 Opérateur CALC_G_XFEM#

Syntaxe#

Détail de la syntaxe

table_container = CALC_G_XFEM(
    ◇ CHAM_THETA = co,
    ◆ THETA = _F(
         ◆ FISSURE = fiss_xfem,
         ◇ NB_POINT_FOND = int,
         ◇ NUME_FOND = int (défaut: 1),
         ◇ & R_INF = float,
           & R_SUP = float,
         ◇ & R_INF_FO = formule / nappe / fonction,
           & R_SUP_FO = formule / nappe / fonction,
         ◇ DIRECTION = float,
      ),
    ◆ RESULTAT = evol_noli / dyna_trans / evol_elas / mode_meca,
    ◇ / TOUT_ORDRE = "OUI" (ou non renseigné),
      / NUME_ORDRE = int,
      / LIST_ORDRE = listis,
      / INST = float,
      / LIST_INST = listr8,
      / TOUT_MODE = "OUI" (ou non renseigné),
      / NUME_MODE = int,
      / LIST_MODE = listis,
      / FREQ = float,
      / LIST_FREQ = listr8,
    # Si: (exists("INST"))or(exists("LIST_INST"))or(exists("FREQ"))or(exists("LIST_FREQ"))
        ◇ CRITERE = / "RELATIF" (par défaut),
                    / "ABSOLU",
        # Si: (equal_to("CRITERE", 'RELATIF'))
            ◇ PRECISION = float (défaut: 1e-06),
        # Si: (equal_to("CRITERE", 'ABSOLU'))
            ◆ PRECISION = float,
    ◇ EXCIT = _F(
         ◇ CHARGE = char_meca / char_cine_meca,
         ◇ FONC_MULT = formule / nappe / fonction,
         ◇ TYPE_CHARGE = "FIXE_CSTE",
      ),
    ◇ COMPORTEMENT = _F(
         ◆ RELATION = / "ELAS",
                      / "ELAS_VMIS_LINE",
                      / "ELAS_VMIS_TRAC",
                      / "ELAS_VMIS_PUIS",
         ◇ DEFORMATION = / "PETIT" (par défaut),
                         / "PETIT_REAC",
         ◇ / TOUT = "OUI" (ou non renseigné),
           / | GROUP_MA = grma,
      ),
    ◇ ETAT_INIT = _F(
         ◆ SIGM = cham_elem / cham_no,
      ),
    ⟐ LISSAGE = _F(
         ◇ LISSAGE_THETA = / "LEGENDRE" (par défaut),
                           / "LAGRANGE",
         ◇ LISSAGE_G = / "LEGENDRE" (par défaut),
                       / "LAGRANGE",
                       / "LAGRANGE_NO_NO",
         # Si: (equal_to("LISSAGE_THETA", 'LEGENDRE')) or (equal_to("LISSAGE_G", 'LEGENDRE'))
             ◇ DEGRE = / 0,
                       / 1,
                       / 2,
                       / 3,
                       / 4,
                       / 5 (par défaut),
                       / 6,
                       / 7,
      ),
    ◇ OPTION = / "CALC_G" (par défaut),
               / "CALC_K_G",
    # Si: (exists("COMPORTEMENT") and (equal_to("OPTION", 'CALC_G')))
        ◇ CALCUL_CONTRAINTE = / "OUI" (par défaut),
                              / "NON",
    ◇ TITRE = text,
    ◇ INFO = / 1 (par défaut),
             / 2,
)


◆ : obligatoire
◇ : optionnel
⟐ : présent par défaut
& : ensemble
/ : un seul parmi
| : plusieurs choix possibles

Opérandes#

Opérande RESULTAT#

/    RESULTAT    =    resu

Nom d’un concept résultat de type evol_elas, evol_noli,dyna_trans oumode_meca. Cet opérande permet de récupérer le champ de déplacement (et de vitesse et d’accélération pour un calcul en dynamique).

Le modèle et le champ de matériau, nécessaires au calcul, sont également extrait de la structure de données résultat. Les options de calcul possibles pour chaque type de modélisation sont rappelées dans le tableau ci-dessous.

	Calcul de \(G\)	Calcul de \(K\)
D_PLAN / C_PLAN	CALC_G	CALC_K_G
AXIS	CALC_G	CALC_K_G
3D	CALC_G	CALC_K_G

Tableau 3.1: Disponibilité, par modélisation, des options de calcul.

Remarques sur les propriétés matériaux:

Les caractéristiques du matériau, récupérées dans la structure de données resu, sont les suivantes:

module d’Young E,
coefficient de Poisson NU,
coefficient de dilatation thermique ALPHA (pour un problème thermo-mécanique),
limite d’élasticité SY (pour un problème élastique non linéaire),
pente de la courbe de traction D_SIGM_EPSI (pour un problème élastique non linéaire avec écrouissage isotrope linéaire).

Pour le calcul de restitution d’énergie, ces caractéristiques peuvent dépendre de la géométrie (option ‘CALC_G’) et de la température (option ‘CALC_G’). Elles doivent être indépendantes de la température pour le calcul des facteurs d’intensité de contraintes.

Les caractéristiques SY et D_SIGM_EPSI ne sont traitées que pour un problème élastique non linéaire avec écrouissage de Von Mises. Le calcul des coefficients d’intensité de contraintes est traité uniquement en élasticité linéaire.

Remarque:

Pour le calcul des facteurs d’intensité de contraintes (option “CALC_K_G” ), les caractéristiques doivent être définies sur tous les matériaux, y compris sur les éléments de bord, du fait de la méthode de calcul [R7.02.05]. Pour s’assurer de ce fait, il est conseillé de faire un AFFE = _F (TOUT = “OUI”)dans la commande AFFE_MATERIAU [U4.43.03], quitte à utiliser la règle de surcharge ensuite.

Les facteurs d’intensité des contraintes obtenus avec l’option CALC_K_Gsont calculés en évaluant la forme bilinéaire de Gavec une solution singulière purement mécanique (solution asymptotique de Westergaard). Si on résout un problème thermo-mécanique, on ne prend alors pas en compte la singularité due au champ thermique.

Un indicateur de l’erreur due à cette approximation peut être obtenu en évaluant la différence entre Get G_IRWIN. En pratique, on évalue en tout point du fond de fissure la quantité \(\frac{∣G-{G}_{\mathit{irwin}}∣}{∣G∣}\) , et on en fait ensuite la moyenne arithmétique. Si cette moyenne excède les 50%, on estime alors que l’on sort du périmètre de validité de l’approche, et un message d’alarme est émis.

Problème du bi-matériau:

1ercas : On a un bi-matériau mais la pointe de fissure est dans un seul matériau, cf. Figure 3.1-a. Si on est assuré que la couronne, définie entre les rayons inférieur R_INF et supérieur R_SUP, a comme support des éléments du même matériau, le calcul est possible quelle que soit l’option choisie. Sinon seule l’option “CALC_G’est possible.

Figure 3.1-a: Bi-matériau: 1er cas

2ndcas : On a un bi-matériau où la pointe de fissure est à l’interface, cf. Figure 3.1-b. À ce jour, seule l’option de calcul du taux de restitution d’énergie (option “CALC_G”) est disponible. Le calcul de coefficients d’intensité de contraintes n’est pas possible dans ce cas.

Figure 3.1-b: Bi-matériau: 2ndcas

Calcul de facteurs d’intensité des contraintes équivalents d’un modèle avec forces cohésives: Pour les études de propagation de fissures en présence de forces cohésives, on peut être amené à calculer des facteurs d’intensité des contraintes équivalents, selon une procédure bien spécifique d’intégrales surfaciques sur la zone cohésive, détaillée dans la documentation de référence [R7.02.19]. Quelques aménagements de syntaxe sont alors nécessaires:

les mots-clés R_INF/R_SUPne doivent pas être renseignés, car il n’est pas nécessaire de définir un tore pour le champ \(\theta\) ;
le mot-clé COMPORTEMENTne doit pas être renseigné, toutes les informations sont extraites du résultat;
seuls les lissages LAGRANGEet LAGRANGE_NO_NOsont disponibles;
seule l’option CALC_K_Gest disponible.

Une syntaxe type est proposée à la fin de cette documentation.

Opérandes TOUT_ORDRE / NUME_ORDRE / LIST_ORDRE / INST / LIST_INST / TOUT_MODE / NUME_MODE / LIST_MODE / FREQ / LIST_FREQ /PRECISION / CRITERE#

Ces opérandes sont utilisés avec l’opérande RESULTAT.

Les opérandes TOUT_ORDRE, NUME_ORDRE, LIST_ORDRE, INST, LIST_INST sont associés aux résultats de type evol_elas, evol_noli ou dyna_trans. Voir [U4.71.00].

Les opérandes TOUT_MODE, NUME_MODE, LIST_MODE, FREQ, LIST_FREQ sont associés aux résultats de type mode_meca.

Mot clé EXCIT et opérandes CHARGE/FONC_MULT#

◊    EXCIT = _F(    ♦    CHARGE    =    charge

◊ FONC_MULT = fmult )

Le mot clé EXCIT permet de récupérer une liste de chargements charge, issus des commandes AFFE_CHAR_MECA ou AFFE_CHAR_MECA_F [U4.44.01], et les éventuels coefficients multiplicateurs associés fmult.

Le mot clé EXCITest facultatif et ne doit pas être renseigné dans le cas général.

Si le mot clé EXCITest absent de la commande, le chargement pris en compte est celui extrait de resu. Si le chargement est fourni via EXCIT, alors c’est ce chargement qui sera utilisé dans CALC_G_XFEM. Si le chargement fourni dans EXCITest différent de celui présent dans resu(cohérence du nom et du nombre de charges, des couples charge-fonction), une alarme est émise et le calcul se poursuit avec les chargements indiqués par l’utilisateur. Attention, cet usage n’est valide que lorsque le résultat est créé via l’opérateur CREA_RESU.En effet,CREA_RESU permet de définir un résultat avec ou sans application de charges. Dans ce dernier cas, EXCITdonne la possibilité de définir le chargement directement dans CALC_G_XFEM.

Les chargements supportés actuellement par les différentes modélisations et pouvant avoir un sens en mécanique de la rupture sont les suivantes:

Effort volumique: ROTATION, FORCE_INTERNE, PESANTEUR.
Effort surfacique sur les lèvres de la fissure: FORCE_CONTOUR (2D), FORCE_FACE (3D), PRES_REP.
Dilatation thermique: la température est transmise via AFFE_MATERIAU/AFFE_VARC
En cas de problème thermo-mécanique, la température est transmise via les propriétés matériaux (AFFE_MATERIAU / AFFE_VARC / EVOL). La dilatation thermique est donc automatiquement prise en compte dans le calcul avec CALC_G.

Remarque:

Les chargements non supportés par une option sont **ignorés. A ce jour, les chargements suivants pouvant avoir un sens en mécanique de la rupture ne sont pas traités:*

FORCE_NODALE
FORCE_ARETE
DDL_IMPO sur les lèvres de la fissure
FACE_IMPO
PRE_EPSI

Il est important de noter que les seuls chargements pris en compte dans un calcul de mécanique de la rupture avec la méthode \(\theta\) sont ceux supportés par les éléments à l’intérieur de la couronne, où le champ de vecteurs thêta est non nul (entre R_INF et R_SUP [R7.02.01 §3.3]). Les seuls types de charge susceptibles d’influencer le calcul de \(G\) sont donc les chargements volumiques (pesanteur, rotation), un champ de température non uniforme ou des efforts appliqués sur les lèvres de la fissure.

Attention:

Si plusieurs chargements de même nature (par exemple force volumique) apparaissent dans le calcul, ils sont combinés entre eux pour le post-traitement. Il n’est cependant pas possible à ce jour de faire cette combinaison si des chargements de type FORMULE sont présents : le calcul se termine alors en erreur.
On applique aussi une règle d’exclusion lors de la présence simultanée d’un champ de pré-déformations (via “PRE_EPSI” ) et d’un champ de contraintes initiales.
Il n’est pas possible à ce jour d’associer une charge définie à partir d’une FORMULEet un coefficient multiplicateur ( FONC_MULT ). Dans ce cas, le calcul se termine en erreur.
Les charges cinématiques ( AFFE_CHAR_CINE et AFFE_CHAR_CINE_F ), ne peuvent pas être prises en compte dans le calcul.
Pour l’option CALC_K_G , si un chargement est imposé sur les lèvres de la fissure ( PRES_REP ou FORCE_CONTOUR ), alors il faut **obligatoirementorienter correctement les mailles de celles-ci (en utilisant* ORIE_PEAU_2D ou ORIE_PEAU_3D ) préalablement au calcul de K (cas fissure maillée uniquement).
Si on fait un calcul en grandes transformations (mot clé DEFORMATION = “GROT_GDEP” ou “PETIT_REAC”) les chargements supportés à proximité du front de fissure (plus exactement dans le tore d’intégration) doivent être des charges mortes, typiquement une force imposée et pas une pression [R7.02.03§2.4]; ces charges doivent avoir été déclarées comme non suiveuses dans STAT_NON_LINE . Néanmoins, des charges suiveuses peuvent être définies loin de la fissure, car elles n’interviennent alors pas dans le calcul de G.
On note que le calcul de CALC_G_XFEM avec la modélisation AXISn’est pas disponible pour les résultats des calculs thermo -mécaniques en grande déformation et grande rotation.

Mot clé THETA#

Le champ thêta est calculé dans CALC_G_XFEM à partir des mots clés R_INF/R_INF_FO, R_SUP/R_SUP_FO et FISSURE.

Les différents cas sont décrits dans le tableau ci-dessous selon l’option de calcul, la modélisation (2D ou 3D) et le type de fissure (fissure maillée ou non).

	CALC_G	CALC_K_G
2D	◊ R_INF, R_SUP… ♦ FISSURE	◊ R_INF, R_SUP… ♦ FISSURE
3D	◊ R_INF, R_SUP… ♦ FISSURE	◊ R_INF, R_SUP… ♦ FISSURE

Conseils sur le choix des couronnes (dans CALC_G_XFEM) :

Éviter d’utiliser un champ thêta défini avec un rayon inférieur R_INF nul. Les champs de déplacements sont singuliers en fond de fissure et introduisent des résultats imprécis en post‑traitement de mécanique de la rupture.
Il est conseillé d’utiliser successivement la commande CALC_G_XFEM avec au moins trois champs thêta de couronnes différentes pour s’assurer de la stabilité des résultats. En cas de variation importante (supérieure à 5-10%) il faut s’interroger sur la bonne prise en compte de toute la modélisation.
Pour l’option CALC_K_Gen 2D-axisymétrique, le rayon des couronnes doit être petit devant le rayon du fond de fissure pour avoir la meilleure précision possible. Il est interdit d’avoir des couronnes de rayon plus grand que le rayon du fond de fissure.

Opérande FISSURE#

♦    FISSURE    =    fiss,

Cet opérande permet de renseigne les informations relatives à la fissure définies par la commande DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08].

Ce mot-clé est obligatoire.

Dans les quelques cas où on réalise une étude de propagation avec des éléments cohésifs, cette fissure est de type COHESIF (mot-clé TYPE_DISCONTINUITE dans DEFI_FISS_XFEM), et l’opérateur effectue alors automatiquement un calcul de facteurs d’intensité des contraintes équivalents par une méthode spécifique d’intégrales surfaciques sur la zone cohésive, détaillée dans [R7.02.19], §6.3.

Opérandes R_INF, R_INF_FO, R_SUP, R_SUP_FO#

Ces opérandes permettent de calculer le champ thêta lorsque celui-ci n’a pas été préalablement déterminé. Ils correspondent respectivement aux rayons inférieur et supérieur des couronnes (scalaire ou fonction, en 3D, de l’abscisse curviligne).

Les deux rayons peuvent être introduits soit par des valeurs réelles constantes qui sont arguments des mots clés simples R_INFet R_SUP; soit par des fonctions de l’abscisse curviligne sur le fond de fissure orienté, qui sont arguments des mots clés simples R_INF_FOet R_SUP_FO.

Quelques conseils sont donnés ci-dessous.

En 3D, lorsque les rayons ne sont pas fonction de l’abscisse curviligne, les opérandes R_INF et R_SUP sont facultatifs. S’ils ne sont pas indiqués, ils sont automatiquement calculés à partir du maximum h des tailles de mailles connectées aux nœuds du fond de fissure. Ces tailles de mailles en chaque nœud du fond sont calculées dans la commande DEFI_FISS_XFEM et sont présentes dans le concept ou fiss_xfem [D4.10.01]. Il a été choisi de poser R_SUP = 4h et R_INF = 2h. Si on choisit la valeur automatiquement calculée pour R_SUP et R_INF, il convient toutefois de s’assurer que ces valeurs (affichées dans le fichier .mess) sont cohérentes avec les dimensions de la structure.

Dans le cas d’un défaut initialement ouvert et dont le fond n’est pas plan, il n’est à l’heure actuelle pas possible de calculer le taux de restitution d’énergie.

Opérande NUME_FOND#

◊    NUME_FOND        =    n,

Ce mot clé est facultatif.

Il peut arriver, pour certaines structures, que le fond de fissure soit discontinu. Dans le cas d’une fissure définie par DEFI_FISS_XFEM le fond de fissure est alors découpé en plusieurs parties.

L’opérande NUME_FOND permet d’indiquer sur laquelle de ces sous-parties du fond de fissure on souhaite réaliser le calcul. Par défaut, le calcul se fait sur le premier fond de fissure.

Opérande NB_POINT_FOND#

◊    NB_POINT_FOND    =    nbnofo,

Ce mot clé est facultatif.

Par défaut, le calcul se fait sur tous les points du fond de fissure, c’est-à-dire tous les points d’intersection entre le fond de fissure et les arêtes du maillage, pour une fissure non maillée. Les points du fond de fissure peuvent être très irrégulièrement espacés, ce qui peut conduire à des oscillations gênantes sur les paramètres \(G(s)\) ou \(K(s)\) calculés.

L’opérande NB_POINT_FOND permet de fixer a priori le nombre de points de post-traitement, afin d’améliorer la régularité des résultats. Les \(\mathit{nbnofo}\) points sont équi-répartis le long du fond de fissure. Quelques conseils sont donnés dans le § 3.7 .

Ce mot-clé n’est utilisable que pour un lissage de LAGRANGE-LAGRANGE.

Mot clé COMPORTEMENT#

◊    COMPORTEMENT = _F(

Ce mot clé facteur permet de redéfinir le comportement du matériau. Mais l’utilisation de ce mot clé ne doit pas être systématique : en effet, par défaut, la loi de comportement utilisée dans CALC_G_XFEM est identique à celle utilisée pour le calcul mécanique (via MECA_STATIQUE ou STAT_NON_LINE). Le fait de renseigner le mot clef comportement crée une Alarme, mais le calcul continue, il appartient à l’utilisateur de vérifier que les comportements lors de la résolution mécanique et du calcul de G sont identiques.

Le calcul du taux de restitution d’énergie \(G\) n’a de sens qu’en élasticité linéaire ou non linéaire.

Enfin, la seule variable de commande (voir [U4.43.03]: opérateur AFFE_MATERIAU, mot-clé AFFE_VARC) autorisée pour le calcul du taux de restitution d’énergie est la température “TEMP”.

Remarques:

Rien n’interdit d’affecter un comportement différent lors du calcul des déplacements (par exemple élastoplastique) puis de réaliser ce post-traitement avec une autre relation (par exemple élastique non-linéaire). Une vérification de cohérence est effectuée sur les comportements utilisés pour le calcul et pour le post-traitement, et un message d’alarme est émis s’il y a une différence; l’utilisateur est responsable de l’interprétation des résultats obtenus [R7.02.03].
Par exemple, si le chargement est parfaitement radial monotone, les calculs en élasticité non linéaire et en élastoplasticité conduisent aux mêmes résultats.

Pour plus de précisions, se reporter à [U2.05.01].

Opérande RELATION pour les lois de comportement élastiques#

RELATION =

Les relations de comportement élastiques possibles (“ELAS”, “ELAS_VMIS_LINE”, “ELAS_VMIS_TRAC”, “ELAS_VMIS_PUIS”) sont détaillées dans [U4.51.11].

/ “ELAS”

Relation de comportement élastique linéaire c’est-à-dire que la relation entre les déformations et les contraintes considérées est linéaire [R7.02.01 §1.1].

Il est possible de définir un état non nul de contraintes initiales (voir mot clé ETAT_INIT), ce qui conduit à considérer le comportement élastique comme incrémental.

/ “ELAS_VMIS_LINE”

Relation de comportement élastique non linéaire, de Von Mises à écrouissage isotrope linéaire. Les données matériaux nécessaires du champ matériau sont fournies dans l’opérateur DEFI_MATERIAU (cf. [R7.02.03 §1.1] et [R5.03.20]).

/ “ELAS_VMIS_TRAC”

Relation de comportement élastique non linéaire, de Von Mises à écrouissage isotrope non linéaire. Les données matériaux nécessaires du champ matériau sont fournies dans l’opérateur DEFI_MATERIAU (cf. [R7.02.03 §1.1] et [R5.03.20]).

/ “ELAS_VMIS_PUIS”

Relation de comportement élastique non linéaire, de Von Mises à écrouissage isotrope non linéaire défini par une loi puissance. Les données matériaux nécessaires du champ matériau sont fournies dans l’opérateur DEFI_MATERIAU (cf. [R7.02.03 §1.1] et [R5.03.20]).

Opérande ETAT_INIT#

◊    ETAT_INIT=_F(SIGM = siefelga)

Dans le cas d’une relation de comportement élastique incrémentale, il est possible de définir un état de contraintes initiales non nul.

L’utilisation de ce mot clé nécessite au préalable la définition d’un état initial dans l’opérateur STAT_NON_LINElors de la résolution du calcul à post-traiter par CALC_G_XFEM.

STAT_NON_LINE permet cette définition de deux manières (voir u4.51.03) :

avec un état initial de type résultat, renseigné sous le mot-clé EVOL_NOLI du mot clé facteur ETAT_INIT
avec un état initial de type champs, renseigné sous les mots-clés SIGM/DEPL/VARI/STRX/COHE du mot clé facteur ETAT_INIT

À ce jour, le post traitement avec CALC_G_XFEMdes calculs utilisant les mots-clés EVOL_NOLI/DEPL/VARI/STRX/COHEn’est pas possible. Seul le post traitement avec CALC_G_XFEMdes calculs utilisant le mots-clé SIGMest possible.

Le champ de contrainte initiale fourni peut être de type SIEF_ELGA uniquement (possibilité de les créer à partir de CREA_CHAMP en particulier).

Dans tous les cas, ce champ de contrainte initiale doit être auto-équilibré , en absence de fissure, avec les seules conditions aux limites. L’utilisateur doit vérifier que son champ de contraintes initiales est licite en l’appliquant dans le mot clé ETAT_INIT de l’opérateur STAT_NON_LINE, avec un comportement élastique linéaire (RELATION = “ELAS”), avec les seules conditions aux limites; le résultat mécanique doit être le même champ de contrainte sans déformations supplémentaires (voir ).

Figure 3.1: Vérification de la validité du champ de contrainte initiale.

Compte tenu de la difficulté de validation de la formulation implantée, il n’est actuellement pas licite de cumuler une pré-déformation ( via le mot clé PRE_EPSI de l’opérateur AFFE_CHAR_MECA) et une contrainte initiale.

Opérande DEFORMATION#

Ce mot-clé permet de définir les hypothèses utilisées pour le calcul des déformations. Pour plus de précisions sur les formalismes de déformations, voir le paragraphe DEFORMATIONde [U4.51,11].

Pour commencer, les grandeurs calculées par CALC_G_XFEMsont définies uniquement en petites déformations. Il n’est donc pas possible d’utiliser pourCALC_G_XFEMun autre formalisme que PETIT, GROT_GDEP ou PETIT_REAC. Si tel est le cas, le calcul s’arrête en erreur.

Ensuite, il faut en théorie une cohérence entre les formalismes de déformations utilisés pour le calcul mécanique lui-même et le post-traitement dont il est question ici. Cela signifierait donc que les calculs mécaniques eux-mêmes doivent être réalisés avec les formalismesPETIT, GROT_GDEP ou PETIT_REAC uniquement. Toutefois, nous laissons la possibilité de réaliser le post-traitement en petites déformations (PETIT) à partir du résultat d’un calcul mécanique réalisé avec un autre formalisme (par exemple GDEF_LOG). Dans ce cas, une alarme est émise, et charge à l’utilisateur de décider si le résultat fourni a un sens ou non. Pour réaliser un calcul plus fiable du taux de restitution d’énergie en grandes déformations, on conseille d’utiliser la méthode d’équivalence en ouverture présentée succinctement dans U2.05.01.

◊    DEFORMATION =

/ “PETIT” : les déformations utilisées dans la relation de comportement sont les relations linéarisées. Cela signifie que l’on reste en Hypothèse de Petites Perturbations: petits déplacements, petites rotations et petites déformations. Dans ce cas, les calculs des grandeurs sont licites et validés. Cette option est la seule possible pour les fissures non maillées.

/ “GROT_GDEP” : Permet de traiter les grandes rotations et les grands déplacements, mais en restant en petites déformations

/ “PETIT_REAC” : disponible uniquement en comportement incrémental, c’est une approximation des grandes déformations pour laquelle les incréments de déformations sont calculés dans la géométrie actuelle (réactualisée). Elle n’est valable que pour de petits incréments et pour des rotations faibles [U4.51.11].

Opérandes TOUT / GROUP_MA#

◊ / TOUT = “OUI” , / GROUP_MA = lgrma ,

Spécifie les mailles ou les nœuds sur lesquels la relation de comportement est utilisée.

Relation de comportement disponible pour chaque option#

		“CALC_G”	“CALC_K_G”
COMPORTEMENT	“ELAS”	“PETIT” “GROT_GDEP”	“PETIT”
	“ELAS_VMIS_LINE” “ELAS_VMIS_TRAC” “ELAS_VMIS_PUIS”	“PETIT” “GROT_GDEP”	non disp.

Tableau 3.6.4-a: Disponibilité, par option, des relations de comportement.

Opérande OPTION#

♦    OPTION    =    /    'CALC_G'    ,

/ “CALC_K_G”,

OPTION = “CALC_G” [R7.02.01] et [R7.02.03]#

Elle permet le calcul du taux de restitution de l’énergie \(G\) par la méthode thêta en 2D ou en 3D local pour un problème thermo-élastique linéaire ou non linéaire.

En 2D, pour la modélisation AXIS, il faut diviser le résultat obtenu par le rayon en fond de fissure, cf. § 4.2 .

OPTION = “CALC_K_G” [R7.02.05]#

Cette option calcule en 2D et en 3D le taux de restitution \(G\) et les coefficients d’intensité de contraintes \({K}_{1}\) , \({K}_{2}\) et \({K}_{3}\) en thermo-élasticité linéaire plane par la méthode des champs singuliers (utilisation de la forme bilinéaire de \(G\) , [R7.02.05]).

Remarques:

Pour cette option, seuls les calculs élastiques linéaires sans état initial ou élastique linéaire avec contrainte initiale sont disponibles.
Pour cette option en 2D, si INFO vaut 2, on génère le calcul et l’impression (dans le fichier MESSAGE) de l’angle de propagation de la fissure. Cet angle, calculé selon 3 critères ( \(\mathrm{K1}\) ou \(G\) maximal, \(\mathrm{K2}\) minimal) d’après les formules d’AMESTOY, BUI et DANG-VAN [R7.02.05 §2.5], est donné à 10 degrés près.

Mot clé LISSAGE#

Le domaine d’application de ce mot clé se limite au cas 3D local.

Opérande LISSAGE_THETA#

◊     LISSAGE_THETA=    /    'LEGENDRE'            [DEFAUT]

/ “LAGRANGE”

La trace du champ thêta sur le fond de fissure peut être discrétisée soit suivant la base des \(N\) premiers polynômes de Legendre (“LEGENDRE”), soit suivant les fonctions de forme associées à la discrétisation du fond de fissure (“LAGRANGE”) [R7.02.01].

LISSAGE_THETA=”LEGENDRE”: \(\theta (s)\) est discrétisé sur une base de polynômes de Legendre \({\gamma}_{j}(s)\) de degré \(j\) (\(0<j<{\mathit{Deg}}_{max}\) ) où \({\mathit{Deg}}_{max}\) est le degré maximal donné sous le mot clé DEGRE (entre 0 et 7).

LISSAGE_THETA=”LAGRANGE”: \(\theta (s)\) est discrétisé sur les fonctions de forme du nœud \(k\) du fond de fissure : \({\phi }_{k}(s)\) .

Opérande LISSAGE_G#

LISSAGE_G = / “LEGENDRE” , [DEFAUT] / “LAGRANGE” , / “LAGRANGE_NO_NO”

\(G(s)\) peut être discrétisé soit suivant les polynômes de Legendre (“LEGENDRE”), soit suivant les fonctions de forme des nœuds du fond de fissure (“LAGRANGE”). La méthode “LAGRANGE_NO_NO” est issue de la méthode LAGRANGE-LAGRANGE mais elle est simplifiée [R7.02.01].

Si le lissage de thêta par polynômes de Legendre a été retenu au mot clé précédent, alors le lissage de \(G\) doit lui aussi être de type Legendre.

Les options disponibles dans Aster sont résumées dans le tableau suivant:

		Théta
		Polynômes de LEGENDRE	Fonctions de forme
\(G(s)\)	Polynômes de LEGENDRE	LISSAGE_THETA= “LEGENDRE” LISSAGE_G= “LEGENDRE”
\(G(s)\)	Fonctions de forme		LISSAGE_THETA= “LAGRANGE” LISSAGE_G= “LAGRANGE” ou “LAGRANGE_NO_NO”

Opérande DEGRE#

◊    DEGRE    =    n

\(n\) est le degré maximal des polynômes de Legendre utilisés pour la décomposition du champ \(\theta\) en fond de fissure [§3.12] (lorsque LISSAGE_THETA =”LEGENDRE”).

Par défaut \(n\) est affectée à 5. La valeur de \(n\) doit être comprise entre 0 et 7.

Si on retient les discrétisations LISSAGE_THETA =”LAGRANGE” et LISSAGE_G = “LEGENDRE”, on doit avoir \(n<\mathrm{NNO}\) , où \(\mathrm{NNO}\) est le nombre de nœuds en fond de fissure [R7.02.01 §2.3].

Conseils sur le lissage:

il est difficile de donner une préférence à l’une ou l’autre méthode de lissage. En principe les deux donnent des résultats numériques équivalents. Néanmoins le lissage de type “LAGRANGE” est peu plus coûteux en temps CPU que le lissage de type “LEGENDRE” ;
le lissage de type “LEGENDRE’est sensible au degré maximal des polynômes choisis. Le degré maximal doit être défini en fonction du nombre de nœuds en fond de fissure NNO. Si \(n\) est trop grand au regard de \(\mathit{NNO}\) les résultats sont médiocres [U2.05.01 §2.4];
des oscillations peuvent apparaître avec le lissage de type “LAGRANGE”, en particulier si le maillage comporte des éléments quadratiques ou si la fissure n’est pas maillée. Si le maillage est rayonnant en fond de fissure (fissure maillée), il est alors recommandé de définir des couronnes R_INFet R_SUPcoïncidant avec les frontières des éléments. Un lissage de type “LAGRANGE_NO_NO’permet de limiter ces oscillations;
pour les fissures maillées et non maillées, lorsque l’on utilise un lissage de type “LAGRANGE” il est recommandé d’utiliser l’opérande NB_POINT_FOND pour garantir une équi-répartition des points de calculs en fond de fissure. Le choix d’un rapport de l’ordre de 5 entre le nombre de points total en fond de fissure (à chercher dans les informations imprimées dans le fichier message par la commande DEFI_FISS_XFEM ) et le nombre de points de calcul semble approprié pour limiter les oscillations;
l’utilisation d’au moins deux types de lissage avec plusieurs couronnes d’intégration et la comparaison des résultats est **indispensableafin de vérifier la validité du modèle.*

Opérande CHAM_THETA#

◊    CHAM_THETA    =         /CO('cham_theta') [evol_noli]

Concept de type evol_noli qui contient le champ thêta calculé dans l’opérateur (voir la documentation de référence pour savoir comment est calculé de champ). Ce concept contient un cham_no (champs aux nœuds) en 2D et plusieurs en 3D (en fonction des options utilisées pour le lissage). Dans le cas 3D, il y a un cham_no par instant dans la structure de données résultats de type evol_noli. Ce temps n’a pas de sens physique, il permet seulement de «ranger» les différents cham_no dans la structure de donnée evol_noli.

Opérande TITRE#

◊    TITRE    =    titre

[U4.03.01].

Opérande INFO#

◊    INFO =     /1,                                 [DEFAUT]

/2,

Niveau de messages dans le fichier “MESSAGE”.

Table produite#

La commande CALC_G_XFEM génère un concept de type table.

Cette table est définie comme suit pour les options CALC_G et CALC_K_G:

Dans tous les cas	Dépend du calcul réalisé		En 2D et 3D local uniquement			En 3D local
NUME_FOND	NUME_CAS	NOM_CAS		COOR_X	COOR_Y	COOR_Z	NUM_PT	ABSC_CURV
	NUME_MODE
	NUME_ORDR	INST

Tableau 3.11-1: Tableau obtenu avec CALC_G (1)

Dans tous les cas	CALC_K_G			CALC_K_G en 3D local
G	K1	K2	G_IRWIN	K3

Tableau 3.11-2: Tableau obtenu avec CALC_G (2)

\({G}_{\mathrm{IRWIN}}\) , est le taux de restitution de l’énergie obtenu à partir des facteurs d’intensité des contraintes \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) (et \({K}_{3}\) ) avec les formules suivantes:

\({G}_{\mathrm{IRWIN}}=\frac{1}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) en contraintes planes

\({G}_{\mathrm{IRWIN}}=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) en déformations planes et axi-symétrique

\({G}_{\mathrm{IRWIN}}=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})+\frac{{K}_{\mathrm{III}}^{2}}{2\mu }\) en 3D

avec \(E\) module de Young et \(\nu\) coefficient de Poisson et \(\mu =\frac{E}{2(1+\nu )}\) . La comparaison entre \(G\) et \({G}_{\mathrm{IRWIN}}\) permet de s’assurer de la cohérence des résultats : un écart trop important doit conduire à vérifier les paramètres du calcul (raffinement du maillage, choix des couronnes pour thêta, lissage en 3D…).

La commande IMPR_TABLE [U4.91.03] permet d’imprimer les résultats au format voulu.

Normalisation du taux de restitution G#

2D contraintes planes et déformations planes#

En dimension 2 (contraintes planes et déformations planes), le fond de fissure est réduit à un point et la valeur \(G(\theta )\) issue de la commande CALC_G_XFEM est indépendante du choix du champ \(\theta\) :

\(G=G(\theta )\forall \theta \in \Theta\)

Axisymétrie#

En axisymétrique il faut normaliser la valeur \(G(\theta )\) obtenue avec Aster pour l’option CALC_G:

\(G=\frac{1}{R}G(\theta )\)

où \(R\) est la distance du fond de fissure à l’axe de symétrie [R7.02.01 §2.4.4].

Pour l’option CALC_K_G, les valeurs de \(G\) et de \(K\) fournies dans le tableau résultat sont directement les valeurs locales, il ne faut donc pas les normaliser.

Symétrie du modèle#

Si on ne modélise que la moitié du solide par rapport à la fissure:

soit préciser le mot clé SYME=”OUI” dans les commandes concernées;
soit ne pas oublier de multiplier par 2, les valeurs du taux de restitution d’énergie \(G\) ou \(G(s)\) et par 4 celles de \({G}_{\mathrm{Irwin}}\) . De plus les valeurs des facteurs d’intensité des contraintes correspondantes au mode de symétrie doivent aussi être multipliées par 2.

Exemples#

Exemple d’utilisation en 3D#

Prenons le cas d’une fissure non maillée, et d’un calcul de facteurs d’intensité des contraintes équivalents en présence de forces cohésives.

La fissure a été définie par:

fiss=DEFI_FISS_XFEM(MODELE=MO,

TYPE_DISCONTINUITE = “COHESIF”,

DEFI_FISS=_F(FONC_LN = fonc1,

FONC_LT = fonc2,

GROUP_MA_BORD = group_ma,),

);

Après le calcul mécanique ayant donné un résultat res, le post-traitement pour obtenir les facteurs d’intensité des contraintes équivalents se fait par:

table_k=CALC_G(OPTION=”CALC_K_G”,

RESULTAT = res,

INST = inst_fin,

THETA =_F(FISSURE = fiss,

NB_POINT_FOND = nb_pts,),

LISSAGE = F(LISSAGE_THETA = “LAGRANGE”,

LISSAGE_G = “LAGRANGE_NO_NO”),

)