v5.06.107 SDNS107 – Réponse transitoire d’une dalle en béton armé : modèle avec GRILLE_EXCENTRE#
Résumé:
Ce test valide en dynamique linéaire transitoire la modélisation de plaque carrée en béton armé utilisant pour le béton un modèle de plaque DKT et pour les armatures les éléments de grille-membrane GRILLE_EXCENTRE. On vérifie les fréquences des modes propres, les réponses temporelles en déplacement, les réactions, et l’énergie cinétique, pour un chargement sinusoïdal.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Il est possible de calculer les fréquences propres du premier et du second modes de vibration de flexion de la plaque car elle fonctionne comme une poutre-console.
La fréquence \({f}_{1}\) du premier mode propre s’écrit:
\({f}_{1}=\frac{3,5156}{2\pi {L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\rho}}\)
avec \(L\) la longueur de la console (1 m ici), \(\mathrm{EI}\) l e produit de l’inertie de flexion par le module de Young pour la structure complète et \(\rho\) la masse de la structure par unité de longueur.
De la même manière, la fréquence \({f}_{2}\) du second mode propre s’écrit:
\({f}_{2}=\frac{22,0336}{2\pi {L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\rho}}\)
Pour calculer \({f}_{1}\) et \({f}_{2}\) , on décompose les parties liées au béton et aux armatures:
\((\mathrm{EI})={(\mathrm{EI})}_{\mathrm{beton}}+{(\mathrm{EI})}_{\mathrm{acier}}\)
où
\({(\mathrm{EI})}_{\mathrm{acier}}=2{E}_{\mathrm{acier}}({\mathrm{sL}}_{2}){e}_{\mathrm{exc}}^{2}\)
avec \({E}_{\mathrm{acier}}\) le module d’Young de l’acier, \(s\) la section des armatures par mètre linéaire et \({e}_{\mathrm{exc}}\) l’excentrement des nappes d’armatures par rapport au feuillet moyen, et:
\({(\mathrm{EI})}_{\mathrm{beton}}={E}_{\mathrm{beton}}{L}_{2}\frac{{e}^{3}}{12}\)
où \({E}_{\mathrm{beton}}\) est le module d’Young du béton.
Pour la masse par unité de longueur, on décompose la masse du béton et la masse de l’acier.
En utilisant les équations précédentes, il devient alors possible de calculer la fréquence des modes propres considérés. Les résultats sont:
Fréquence |
Référence |
Premier mode de flexion |
\(54,67\mathrm{Hz}\) |
Second mode de flexion |
\(342,64\mathrm{Hz}\) |
Le centre de gravité est situé au centre de la console. Ses coordonnées sont donc: \((0.5,0.05,0)\) . L’inertie suivant l’axe y de la structure complète est:
\({I}_{yy}(G)={\int}_{V}({(x-{x}_{G})}^{2}+{(z-{z}_{G})}^{2})\rho \mathrm{dv}\)
avec \(({x}_{G},{y}_{G},{z}_{G})\) les coordonnées du centre de gravité, \(V\) le volume de la structure et \(\rho\) sa masse volumique. En décomposant les éléments liés au béton et ceux liés à l’acier, il est possible de calculer l’inertie analytiquement:
\({I}_{yy}(G)=8,611{m}^{4}\)
Grandeurs et résultats de référence#
Les résultats de référence sont récapitulés dans le tableau qui suit.
Grandeurs |
Référence |
Premier mode de flexion |
\(54,67\mathrm{Hz}\) |
Second mode de flexion |
\(342,64\mathrm{Hz}\) |
Inertie suivant l’axe \(y\) |
\(8,611{m}^{4}\) |
Moment suivant \(z\) à \(t=0,1s\) |
\(-0.000779N/m\) |
Déplacement suivant \(z\) à \(t=0,09s\) |
\(-9480.0m\) |
Déplacement suivant \(z\) à \(t=0,1s\) |
\(3720.0m\) |
Energie cinétique totale à \(t=0,1s\) |
\(9.895889J\) |
Incertitudes sur la solution#
Solutions analytiques pour les modes propres.
Comparaisons avec EUROPLEXUS pour les réponses temporelles en déplacement, les réactions, et l’énergie cinétique, pour un chargement sinusoïdal
Références bibliographiques#
HUGHES T.J.R., COHEN M., HAROUN, M.: « Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates », Nuclear Engineering and Design, vol. 46, p. 203-222 (1978).
[R3.07.03] – éléments de plaque DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4g.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
x
y
B0X
B1X
B0Y
B1Y
Figure 3.1-a : Maillage de la modélisation A
Modélisation: DKTG
Conditions aux limites:
Encastrement en \(\mathrm{B0X}\) ,
\(\mathrm{DY}=0.0\) sur l’ensemble de la poutre.
Intégration temporelle:
Schéma: NEWMARK, formulation: DEPLACEMENT,
Pas de temps: \(1.{10}^{-3}s\) avec subdivision possible jusqu’à \(1.{10}^{-5}s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1536, Nombre de mailles: éléments TRI3: 2860, éléments SEG2: 210.
Les mailles sont dupliquées deux fois pour affecter les deux grilles d’armatures.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) Premier mode |
54.67 |
54.582 |
0.160 |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) Troisième mode |
342.64 |
338.609 |
1.176 |
Position centre de gravité \(G\) (\(m\) ) |
0.05 |
0.05 |
|
Inertie \({I}_{yy}\) ( \(G\) ) |
8.611 |
8.6038 |
0.083 |
Pour l’analyse transitoire, on teste en différents instants (test de non-régression):
la moyenne des déplacements verticaux des points de \(\mathrm{B1X}\) ,
la résultante des forces nodales s’appliquant sur \(\mathrm{B1X}\) ,
la réaction nodale verticale sur \(A\) .
On teste également l’énergie cinétique totale (par comparaison avec les résultats fournis par une boucle Python).
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Moyenne des déplacements verticaux sur \(\mathrm{B1X}\) (au numéro d’ordre 100) |
– 7.79 10-4 |
– 7.7917 10-4 |
0.022 |
Résultante verticale des forces appliquées sur \(\mathrm{B1X}\) (au numéro d’ordre 90) |
– 9.48 10+3 |
– 9.4833 10+3 |
0.035 |
Réaction nodale verticale sur \(A\) (au numéro d’ordre 100) |
3.72 10+3 |
3.7139 10+3 |
–0.161 |
Énergie cinétique totale (au numéro d’ordre 100) |
9.89588 |
9.902 |
0.062 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
x
y
B0X
B1X
B0Y
B1Y
Figure 4.1-a : Maillage de la modélisation B
Les caractéristiques de la modélisation B sont identiques à ceux de la modélisation A, seule la nature des éléments changent (QUAD4 au lieu de TRIA3).
Intégration temporelle:
Schéma: NEWMARK, formulation: DEPLACEMENT,
Pas de temps: \(1.{10}^{-3}s\) avec subdivision possible jusqu’à \(1.{10}^{-5}s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 606, Nombre de mailles: éléments QUA4: 500, éléments SEG2: 210. Les mailles sont dupliquées deux fois pour affecter les deux grilles d’armatures.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) Premier mode |
54.67 |
54.579 |
0.166 |
Fréquence (\(\mathrm{Hz}\) ) Troisième mode |
342.64 |
338.511 |
1.205 |
Pour l’analyse transitoire, on teste en différents instants (valeurs comparées à la modélisation B):
la moyenne des déplacements verticaux des points de \(\mathrm{B1X}\)
la résultante des forces nodales s’appliquant sur \(\mathrm{B1X}\)
la réaction nodale verticale sur \(A\)
On teste également l’énergie cinétique totale (par comparaison avec les résultats fournis par une boucle Python).
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Moyenne des déplacements verticaux sur \(\mathrm{B1X}\) (au numéro d’ordre 100) |
– 7.79 10-4 |
– 7.8112 10-4 |
0.272 |
Résultante verticale des forces appliquées sur \(\mathrm{B1X}\) (au numéro d’ordre 90) |
– 9.48 10+3 |
– 9.4813 10+3 |
0.014 |
Réaction nodale verticale sur \(A\) (au numéro d’ordre 100) |
3.72 10+3 |
3.7413 10+3 |
0.574 |
Énergie cinétique totale (au numéro d’ordre 100) |
9.89588 |
9.9020 |
0.06 |
Synthèse des résultats#
On trouve un léger écart entre les solutions obtenues par les deux codes de calcul. Il est considéré comme raisonnable et les résultats sont jugés satisfaisants. Même si dans ce test on a voulu approcher la modélisation Code_Aster le plus possible de celle du code Europlexus, on est conscient, notamment, de la différence au niveau du calcul de la matrice de masse. La matrice de masse implémentée dans Europlexus suit la méthode proposée dans [1], qui est mieux adaptée pour un logiciel de calcul de dynamique rapide explicite. Code_Aster utilise une approche plus standard, expliquée dans [2]. La différence concerne notamment le calcul des inerties (composantes de la matrice de masse correspondant aux degrés de liberté de rotation), lesquelles sont peu importantes dans le cas de la dynamique lente. En revanche, en dynamique rapide, ce sont elles qui influencent le plus le pas de temps critique. Par exemple, en les négligeant la matrice de masse devient singulière et l’intégration explicite devient inconditionnellement instable.
Les différentes simulations proposées valident l’utilisation de la modélisation GRILLE_EXCENTRE pour des calculs modaux, de dynamique explicite et de dynamique implicite.
Les valeurs obtenues sont en accord avec les solutions analytiques, quand celles – ci sont disponibles.