v2.02.127 SDLL127 - Ligne d’arbres avec rotor à section circulaire variable#
Résumé :
Ce test permet de valider le calcul des modes en rotation d’un système d’arbres au repos ou tournant avec un rotor à section variable.
Dans ce test, on a un modèle de rotor à section circulaire variable reposant sur deux paliers disques dont les matrices de raideur et d’amortissement sont symétriques. Cet exemple est tiré du dossier de validation du code CADYRO 2.0 [bib1], logiciel éléments finis destiné à prévoir le comportement dynamique de rotors.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La référence est donnée par le code CADYRO [bib1] pour des éléments de poutre à section variable.
Par ailleurs, les valeurs issues de la modélisation utilisant des éléments de poutre à section variable (Modélisation A) sont encadrées par celles obtenues par celles obtenues à partir de:
la modélisation B, approchant la solution exacte par valeurs inférieures. Cela revient à affecter à chaque élément la section circulaire constante de diamètre égal au diamètre du rotor étudié au droit du nœud initial de l’élément.
la modélisation C, approchant la solution exacte par valeurs supérieures. Celle-ci consiste à affecter à chaque élément la section circulaire constante de diamètre égal au diamètre du rotor étudié au droit du nœud final de l’élément.
Les modélisations B et C sont alors équivalentes (dans le sens de la limite) à la modélisation A lorsque le nombre d’éléments utilisés par celles-ci tend vers l’infini. Dans le cas présent, 2000 éléments de poutre à section circulaire constante sont utilisés.
Grandeurs et résultats de référence#
La grandeur de référence est la fréquence des modes à l’arrêt et pour une vitesse de rotation de 4000 \(\mathrm{tr}/\mathrm{mn}\) . Le nombre de modes calculés est 12.
Numéro de fréquence |
Vitesse de rotation ( \(\mathit{tr}/\mathit{mn}\) ) |
Calcul Cadyro avec arbre à section variable \(F\) ( \(\mathit{Hz}\) ) |
1 |
0 |
332.14 |
4000 |
331.51 |
|
2 |
0 |
332.14 |
4000 |
334.10 |
|
3 |
0 |
1193.81 |
4000 |
1196.30 |
|
4 |
0 |
1193.81 |
4000 |
1202.05 |
|
5 |
0 |
1607.19 |
4000 |
1607.19 |
|
6 |
0 |
2291.51 |
4000 |
2304.73 |
|
7 |
0 |
2291.51 |
4000 |
2312.08 |
|
8 |
0 |
2512.22 |
4000 |
2512.22 |
|
9 |
0 |
3160.39 |
4000 |
3160.39 |
|
10 |
0 |
3520.23 |
4000 |
3516.43 |
|
11 |
0 |
3520.23 |
4000 |
3524.02 |
|
12 |
0 |
4724.14 |
4000 |
4724.14 |
Références bibliographiques#
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
L’arbre est modélisé avec des éléments poutre POU_D_T à section variable. De plus, des éléments discrets de type DIS_TR sont utilisés pour la modélisation des paliers.
Caractéristiques du maillage#
Nombre et type d’éléments:
100 SEG2
2 POI1
Nombre de nœuds: 101
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs des 12 premières fréquences à l’arrêt et pour la vitesse de rotation \(4000\mathrm{tr}/\min\) , sont présentées dans le tableau ci-dessous
Numéro de fréquence |
Vitesse de rotation ( \(\mathit{tr}/\mathit{mn}\) ) |
Calcul Cadyro avec arbre à section variable \(F\) ( \(\mathit{Hz}\) ) |
Tolérance (%) |
1 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
331.51 |
1.0 |
|
2 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
334.10 |
1.0 |
|
3 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1196.30 |
1.0 |
|
4 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1202.05 |
1.0 |
|
5 |
0 |
1607.19 |
1.0 |
4000 |
1607.19 |
1.0 |
|
6 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2304.73 |
2.0 |
|
7 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2312.08 |
2.0 |
|
8 |
0 |
2512.22 |
1.0 |
4000 |
2512.22 |
1.0 |
|
9 |
0 |
3160.39 |
1.0 |
4000 |
3160.39 |
1.0 |
|
10 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3516.43 |
2.0 |
|
11 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3524.02 |
2.0 |
|
12 |
0 |
4724.14 |
2.0 |
4000 |
4724.14 |
2.0 |
De plus, on vérifie également le calcul de la masse des éléments avec variation homothétique de la section.
Le calcul de la masse est exact uniquement quand le rapport \({R}_{1}/{R}_{2}={\mathit{Ep}}_{1}/{\mathit{Ep}}_{2}\) . Dans le cas contraire, il faut un maillage suffisamment fin pour atténuer l’erreur commise. Voir r3.08.01.
L’erreur est la plus importante sur le dernier élément (M100). La masse de cet élément est de 0.99549 kg.
La masse totale du rotor est de 63.7115kg.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
L’arbre est modélisé avec des éléments poutre POU_D_T régulièrement répartis à section circulaire constante de diamètre égal au diamètre du rotor étudié au droit du nœud initial de l’élément. De plus, des éléments discrets de type DIS_TR sont utilisés pour la modélisation des paliers.
Caractéristiques du maillage#
Nombre et type d’éléments:
2000 SEG2
2 POI1
Nombre de nœuds : 2001
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs des 12 premières fréquences à l’arrêt et pour la vitesse de rotation \(4000\mathrm{tr}/\min\) sont présentées dans le tableau ci-dessous:
Numéro de fréquence |
Vitesse de rotation ( \(\mathrm{tr}/\mathrm{mn}\) ) |
Calcul Cadyro avec arbre à section variable \(F\) ( \(\mathrm{Hz}\) ) |
Tolérance (%) |
1 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
331.51 |
1.0 |
|
2 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
334.10 |
1.0 |
|
3 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1196.30 |
1.0 |
|
4 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1202.05 |
1.0 |
|
5 |
0 |
1607.19 |
1.0 |
4000 |
1607.19 |
1.0 |
|
6 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2304.73 |
2.0 |
|
7 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2312.08 |
2.0 |
|
8 |
0 |
2512.22 |
1.0 |
4000 |
2512.22 |
1.0 |
|
9 |
0 |
3160.39 |
1.0 |
4000 |
3160.39 |
1.0 |
|
10 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3516.43 |
2.0 |
|
11 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3524.02 |
2.0 |
|
12 |
0 |
4724.14 |
2.0 |
4000 |
4724.14 |
2.0 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
L’arbre est modélisé avec des éléments poutre POU_D_T régulièrement répartis à section circulaire constante de diamètre égal au diamètre du rotor étudié au droit du nœud final de l’élément. De plus, des éléments discrets de type DIS_TR sont utilisés pour la modélisation des paliers
Caractéristiques du maillage#
Nombre et type d’éléments:
2000 SEG2
2 POI1
Nombre de nœuds : 2001
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs des 12 premières fréquences à l’arrêt et pour la vitesse de rotation \(4000\mathrm{tr}/\min\) sont présentées dans le tableau ci-dessous
Numéro de fréquence |
Vitesse de rotation ( \(\mathrm{tr}/\mathrm{mn}\) ) |
Calcul Cadyro avec arbre à section variable \(F\) ( \(\mathrm{Hz}\) ) |
Tolérance (%) |
1 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
331.51 |
1.0 |
|
2 |
0 |
332.14 |
1.0 |
4000 |
334.10 |
1.0 |
|
3 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1196.30 |
1.0 |
|
4 |
0 |
1193.81 |
1.0 |
4000 |
1202.05 |
1.0 |
|
5 |
0 |
1607.19 |
1.0 |
4000 |
1607.19 |
1.0 |
|
6 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2304.73 |
2.0 |
|
7 |
0 |
2291.51 |
1.0 |
4000 |
2312.08 |
2.0 |
|
8 |
0 |
2512.22 |
1.0 |
4000 |
2512.22 |
1.0 |
|
9 |
0 |
3160.39 |
1.0 |
4000 |
3160.39 |
1.0 |
|
10 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3516.43 |
2.0 |
|
11 |
0 |
3520.23 |
2.0 |
4000 |
3524.02 |
2.0 |
|
12 |
0 |
4724.14 |
2.0 |
4000 |
4724.14 |
2.0 |
Synthèse des résultats#
Ce cas-test permet de valider numériquement la prise en compte des lignes d’arbres à section circulaire variable. Les résultats obtenus sont en bon accord avec les valeurs de référence, issues de CADYRO et de deux modélisations très fines approchant la solution exacte par valeurs inférieures et supérieures.
Le calcul de la masse des éléments dont la section varie de manière homothétique est vérifié à moins de \({10}^{-2}\text{%}\) .