v4.04.106 TPLV106 - Thermique non linéaire stationnaire en repère mobile#
Résumé:
Ce test élémentaire permet de traiter un exemple tridimensionnel réductible à un problème à une variable d’espace en thermique non linéaire stationnaire en repère mobile (problème de convection-diffusion).
Il permet également de vérifier la prise en compte d’un changement de phase solide/liquide par Code_Aster .
La solution de référence est analytique et les écarts avec les résultats obtenus par Code_Aster sont inférieurs à 1%. Le problème est modélisé dans le cas plan.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le résultat de référence est du type semi-analytique. L’équation 1D à résoudre est la suivante:
\(\lbrace \begin{array}{}V\beta {(T)}_{,x}-K{T}_{,xx}=0\\ \text{avec}{T}_{(x=0)}={T}_{0}\text{et}{T}_{(x=L)}={T}_{L}\end{array}\) éq 2.1-1
en intégrant l’équation [éq 2.1-1] on obtient:
\(\frac{V}{K}\beta (T)-\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}}=A\) éq 2.1-2
où \(A\) est une constante dépendant des conditions aux limites, du rapport \(\frac{V}{K}\) et de la fonction enthalpie \(\beta (T)\) .
Cette constante sera déterminée analytiquement.
L’équation [éq 2.1-2] conduit à:
\(x={\int}_{{T}_{0}}^{T(x)}\frac{\mathrm{dT}}{A+\frac{V}{K}\beta (T)}\) éq 2.1-3
qui doit vérifier:
\(L={\int}_{{T}_{0}}^{{T}_{L}}\frac{\mathrm{dT}}{A+\frac{V}{K}\beta (T)}\) éq 2.1-4
Connaissant \({T}_{0,}{T}_{L},L,V,t\) et \(\beta (T)\) , l’équation [éq 2.1-4] doit donner la valeur de la constante d’intégration \(A\) .
Cependant, il est difficile (voire impossible) de déterminer analytiquement cette constante, d’où le recours à une résolution numérique de l’équation [éq 2.1-4] pour déterminer \(A\) .
Avec les données du problème \(({T}_{0,}{T}_{L},{T}_{1,}{T}_{2,}{C}_{S}={C}_{l},{C}_{\mathrm{Sl}}...)\) , nous avons obtenu la solution (physique) de \(A\) qui prend la valeur \(A=-294.9117\) .
A partir de cette constante, la solution analytique du problème [éq 2.1-1] est analytique.
Résultats de référence#
Abscisse |
Température |
0.6 |
387.98514 |
0.7 |
451.51001 |
0.725 |
469.72232 |
0.750 |
488.97505 |
0.775 |
509.32766 |
0.80 |
530.84296 |
0.825 |
553.58738 |
0.85 |
577.63114 |
0.9 |
683.71269 |
0.9125 |
719.51615 |
0.925 |
756.32221 |
0.9375 |
794.16795 |
0.95 |
833.07971 |
0.9625 |
873.08751 |
0.9750 |
914.22222 |
0.9875 |
956.51557 |
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 2D
Caractéristiques du maillage#
80 QUAD8
Valeurs testées#
Identification Température |
Référence |
\(\mathrm{N80}(X=0.9875)\) |
956.515 |
\(\mathrm{N79}(X=0.9750)\) |
914.222 |
\(\mathrm{N78}(X=0.9625)\) |
873.087 |
\(\mathrm{N77}(X=0.9500)\) |
833.079 |
\(\mathrm{N76}(X=0.9375)\) |
794.167 |
\(\mathrm{N75}(X=0.9250)\) |
756.322 |
\(\mathrm{N74}(X=0.9125)\) |
719.516 |
\(\mathrm{N73}(X=0.9000)\) |
683.712 |
\(\mathrm{N69}(X=0.8500)\) |
577.631 |
\(\mathrm{N67}(X=0.8250)\) |
553.587 |
\(\mathrm{N65}(X=0.8000)\) |
530.842 |
\(\mathrm{N63}(X=0.7750)\) |
509.327 |
\(\mathrm{N61}(X=0.7500)\) |
488.975 |
\(\mathrm{N59}(X=0.7250)\) |
469.722 |
\(\mathrm{N57}(X=0.7000)\) |
451.510 |
\(\mathrm{N44}(X=0.6000)\) |
387.985 |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont très satisfaisants avec des écarts à la solution de référence inférieurs à 1%.