v3.03.010 SSLS10 – Tore sous pression interne uniforme#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul des déplacements, et des contraintes dans tore soumis a une pression interne uniforme.
Modélisations :
Modélisation \(A\) : DKT avec des mailles QUAD4/TRIA3
Modélisation \(B\) : DST avec des mailles QUAD4/TRIA3
Modélisation \(C\) : Q4G avec des mailles QUAD4/TRIA3
Modélisation \(D\) : COQUE_3D avec des mailles QUAD9/TRIA7
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence est une solution numérique [bib1].
Si \(a-b\le r<a+b\)
Déplacement : \({\delta}_{r}=\frac{\mathit{pb}}{\mathrm{2Eh}}(r-\nu (r+a))\)
Contraintes : \({\sigma}_{11}=\frac{\mathit{pb}}{\mathrm{2h}}\times \frac{r+a}{r}\) \({\sigma}_{22}=\frac{\mathit{pb}}{\mathrm{2h}}\)
Ces formules ne sont applicables qu’aux tores minces, tels que \(\frac{b}{h}>10\) et de rayon de courbure tel que \(r\times \pi <100\sqrt{\frac{{I}_{x}}{A}}\) avec \({I}_{x}\) =moment d’inertie et \(A\) = aire de la section géométrique du tore
Grandeurs et résultats de référence#
Déplacements
Point |
\(\mathit{DX}(m)\) |
\(r=a-b\) |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}\) |
\(r=a+b\) |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}\) |
Contraintes
Point |
Contraintes (Pa) |
\(\forall r\) |
\({\sigma}_{22}=2,5\times {10}^{5}\) |
\(r=a-b\) |
\({\sigma}_{11}=7.5\times {10}^{5}\) |
\(r=a+b\) |
\({\sigma}_{11}=4.17\times {10}^{5}\) |
Incertitudes sur la solution#
Solution analytique
Références bibliographiques#
Guide VPCS - Édition 1990.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 7260 nœuds et 10800 mailles dont :
7200 mailles de type TRIA3,
3600 mailles de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(3.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(2.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
Contraintes
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DST.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 7260 nœuds et 10800 mailles dont :
7200 mailles de type TRIA3,
3600 mailles de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(3.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(2.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
Contraintes
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation Q4G.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 7260 nœuds et 10800 mailles dont :
7200 mailles de type TRIA3,
3600 mailles de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(3.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(2.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
Contraintes
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.0\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(12.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(4.0\) |
|
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation COQUE_3D.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 7260 nœuds et 36120 mailles dont :
7200 mailles de type TRIA7,
3600 mailles de type QUAD9.
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(3.0\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.19\times {10}^{-7}m\) |
\(2.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\delta}_{r}=1.79\times {10}^{-6}m\) |
\(1.5\) |
|
Contraintes
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(0.1\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(7.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(16.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(0.1\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(4.17\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(3.5\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance \(\text{(%)}\) |
|
Point |
Grandeur |
|||
\(A\text{_}\mathit{QUAD}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(0.5\) |
\(A\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(46.0\) |
|
\(B\text{_}\mathit{QUAD}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(0.5\) |
|
\(B\text{_}\mathit{TRIA}\) |
“ANALYTIQUE” |
\({\sigma}_{11}=2.5\times {10}^{5}\mathit{Pa}\) |
\(5.0\) |
|
Synthèse des résultats#
Déplacements : quelque soit le type de maille utilisée (TRIA3, QUAD4) , les résultats obtenus pour les 4 modélisations (DKT, DST, Q4G et COQUE_3D) sont satisfaisants. Par rapport à la solution analytique, on observe un écart maximum de 5%.
Contraintes :
Modélisations DKT, DST et Q4G : quelque soit le type de maille utilisée (TRIA3, QUAD4), les résultats obtenus sont correctes. Par rapport à la solution analytique, on observe un écart maximum de 12%. Ces modélisations utilisent des éléments à facette, en raffinant le maillage on devrait obtenir de meilleurs résultats.
Modélisation COQUE_3D : la maille de type QUAD9 donne de très bons résultats, l’écart observé est de 0.1%. Par contre l’écart est important (46%) pour la maille de type TRIA7.