v2.01.022 SDLD22 - Transitoire d’un système masse-ressort à 8 degrés de liberté avec amortisseur visqueux#
Résumé:
La structure mécanique considérée est composée d’un ensemble unidirectionnel linéaire de masses-ressorts avec amortisseurs visqueux et soumise à une excitation transitoire de type créneau.
Deux modélisations sont développées. La première ne retient que le degré de liberté en translation axiale des masses, la deuxième considère la translation axiale et la rotation.
Ce problème permet de tester :
les éléments discrets (masses, ressorts, amortisseurs) en translation-rotation,
la définition d’une force d’excitation ponctuelle transitoire,
le calcul de réponse transitoire par recombinaison modale ainsi que la reprise avec des conditions initiales (modélisation A),
le calcul de réponse transitoire directe avec le schéma à pas de temps adaptatif (modélisations B et C).
Les résultats obtenus (champ de déplacements, vitesses) sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS, pris pour solution de référence.
Solution de référence#
La solution de référence est issue du guide VPCS.
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
L’intégration numérique retenue pour obtenir cette solution repose sur un schéma d’intégration par différences finies, du type méthode \(\beta\) -Newmark améliorée, avec pas de temps de \(\mathrm{0.001s}\) [bib2].
\(\left[\frac{1}{\Delta {t}^{2}}M+\frac{1}{2\Delta t}C+\frac{1}{3}K\right]{u}_{n+2}=\frac{1}{3}({F}_{n+2}+{F}_{n+1}+{F}_{n})+\left[\frac{2}{\Delta {t}^{2}}M-\frac{1}{3}K\right]{u}_{n+1}+\left[\frac{1}{\Delta {t}^{2}}M+\frac{1}{2\Delta t}C-\frac{1}{3}K\right]{u}_{n}\)
Le déplacement du point \(4\) en fonction du temps a l’allure suivante :
Figure 2.1-a : Point 4 : déplacement en fonction du temps
Résultats de référence#
Déplacement selon \(x\) du point \({P}_{4}\) .
Incertitude sur la solution#
Précision du schéma de Newmark.
Références bibliographiques#
Fiche SDLD22/90 de la commission VPCS.
NEWMARK N. M. : « A method of computation for structural dynamics », proceeding ASCE J.Eng. Mech. Div E-3, July 1959, pp 67-94.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation permet la validation de l’intégration par recombinaison modale.
Élément discret de rigidité en translation
Caractéristiques des éléments
DISCRETavec |
masses nodales |
M_T_D_N |
M_T_N |
matrices de rigidité |
K_T_D_L |
K_T_L |
|
matrices d’amortissement |
A_T_D_L |
A_T_L |
Blocage des degrés de liberté en \(Y\) et \(Z\) de tous les nœuds
DDL_IMPO: ( TOUT:’OUI’ DY: 0. , DZ: 0. )
Conditions aux limites aux nœuds extrêmes
( GROUP_NO: AB DX: 0. )
Noms des nœuds:
Point \(A=\mathrm{N1}\) |
\({P}_{1}=\mathrm{N2}\) |
Point \(B=\mathrm{N10}\) |
\({P}_{2}=\mathrm{N3}\) |
\({P}_{8}=\mathrm{N9}\) |
Recombinaison modale avec tous les modes (soit 8),
schéma d’EULER, reprise d’un premier calcul à \(t=0.455s\)
pas de temps utilisé : \(\Delta t=1.E–3s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Temps |
Référence |
0.09 |
4.02 E–5 |
0.18 |
4.22 E–6 |
0.27 |
3.89 E–5 |
0.37 |
5.98 E–6 |
0.46 |
3.73 E–5 |
0.54 |
7.14 E–6 |
0.63 |
3.64 E–5 |
0.72 |
8.07 E–6 |
0.81 |
3.58 E–5 |
0.9 |
8.76 E–6 |
0.99 |
3.52 E–5 |
1.08 |
–3.08 E–5 |
1.18 |
3.02 E–5 |
1.27 |
–2.88 E–5 |
1.36 |
2.80 E–5 |
1.45 |
–2.65 E–5 |
Remarques#
Les minima relatifs (\(t=0.18,0.54,\dots\) ) n’ont pas une très bonne précision pendant la phase d’excitation avec un pas \(\Delta t=0.001\) .
Modélisations B et C#
Caractéristiques de la modélisation#
Les modélisations B et C sont les mêmes excepté le fait que la modélisation B utilise des éléments DIS_TR alors que la modélisation C utilise des éléments 2D_DIS_TR.
Cette modélisation permet, outre une nouvelle utilisation de la recombinaison modale, la validation de l’intégration directe à pas adaptatif.
Élément discret de rigidité en translation et rotation
Caractéristiques des éléments:
DISCRET: |
avec masses nodales |
M_TR_D_N |
M_TR_N |
et matrices de rigidité |
K_TR_D_L |
K_TR_L |
|
et matrices d’amortissement |
A_TR_D_L |
A_TR_L |
Conditions aux limites et directions bloquées :
en tous les nœuds |
DDL_IMPO: |
( TOUT:’OUI’ DY: 0. , DZ: 0. ) ( TOUT:’OUI’ DRX: 0. DRY: 0 DRZ: 0) |
aux nœuds extrémités |
( GROUP_NO: AB DX: 0. ) |
Schémas d’intégration testés dans cette version:
Intégration par recombinaison modale avec le schéma d’Euler.
Intégration par intégration directe avec l’algorithmeADAPT_ORDRE2, pas de temps maximum \({10}^{-3}s\) .
Intégration par recombinaison modale avec le schéma RUNGE_KUTTA_32, avec une tolérance d’erreur relative de \({10}^{-3}s\) et un pas de temps maximum de \({10}^{-3}s\) .
Intégration par recombinaison modale avec le schéma RUNGE_KUTTA_54, avec une tolérance d’erreur relative de \({10}^{-3}s\) et un pas de temps maximum de \({10}^{-3}s\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 10
Nombre de mailles et types : 9 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Transitoire par recombinaison modale avec l’algorithme EULER
Temps |
Référence |
0.09 |
4.02 E–5 |
0.18 |
4.22 E–6 |
0.27 |
3.89 E–5 |
0.37 |
5.98 E–6 |
0.46 |
3.73 E–5 |
0.54 |
7.14 E–6 |
0.63 |
3.64 E–5 |
0.72 |
8.07 E–6 |
0.81 |
3.58 E–5 |
0.9 |
8.76 E–6 |
0.99 |
3.52 E–5 |
1.08 |
–3.08 E–5 |
1.18 |
3.02 E–5 |
1.27 |
–2.88 E–5 |
1.36 |
2.80 E–5 |
1.45 |
–2.65 E–5 |
Transitoire par intégration directe avec l’algorithme ADAPT_ORDRE2
Temps |
Référence |
0.09 |
4.02 E–5 |
0.18 |
4.22 E–6 |
0.27 |
3.89 E–5 |
0.37 |
5.98 E–6 |
0.46 |
3.73 E–5 |
0.54 |
7.14 E–6 |
0.63 |
3.64 E–5 |
0.72 |
8.07 E–6 |
0.81 |
3.58 E–5 |
0.9 |
8.76 E–6 |
0.99 |
3.52 E–5 |
1.08 |
–3.08 E–5 |
1.18 |
3.02 E–5 |
1.27 |
–2.88 E–5 |
1.36 |
2.80 E–5 |
1.45 |
–2.65 E–5 |
Transitoire par recombinaison modale avec l’algorithme RUNGE_KUTTA_32
Temps |
Référence |
0.09 |
4.02 E–5 |
0.18 |
4.22 E–6 |
0.27 |
3.89 E–5 |
0.37 |
5.98 E–6 |
0.46 |
3.73 E–5 |
0.54 |
7.14 E–6 |
0.63 |
3.64 E–5 |
0.72 |
8.07 E–6 |
0.81 |
3.58 E–5 |
0.9 |
8.76 E–6 |
0.99 |
3.52 E–5 |
1.08 |
–3.08 E–5 |
1.18 |
3.02 E–5 |
1.27 |
–2.88 E–5 |
1.36 |
2.80 E–5 |
1.45 |
–2.65 E–5 |
Transitoire par recombinaison modale avec l’algorithme RUNGE_KUTTA_54
Temps |
Référence |
0.09 |
4.02 E–5 |
0.18 |
4.22 E–6 |
0.27 |
3.89 E–5 |
0.37 |
5.98 E–6 |
0.46 |
3.73 E–5 |
0.54 |
7.14 E–6 |
0.63 |
3.64 E–5 |
0.72 |
8.07 E–6 |
0.81 |
3.58 E–5 |
0.9 |
8.76 E–6 |
0.99 |
3.52 E–5 |
1.08 |
–3.08 E–5 |
1.18 |
3.02 E–5 |
1.27 |
–2.88 E–5 |
1.36 |
2.80 E–5 |
1.45 |
–2.65 E–5 |
Remarques#
Les modélisations A et B conduisent aux mêmes résultats.
Les minimums relatifs (\(t=0.18,0.54,\dots\) ) n’ont pas une très bonne précision pendant la phase d’excitation avec un pas \(\Delta t=0.001\) .
Synthèse des résultats#
Ce test est à compléter en utilisant:
un pas de temps \(\Delta t=1.E-4\) ,
d’autres schémas d’intégration.