r7.01.49 Élément fini d’interaction sol-pieu (3D_INTERF_POU)

Résumé:

Ce document présente un élément fini d’interaction entre matrice et renforcement. Le mot-clé correspondant pour la modélisation est 3D_INTERF_POU.

Formulation générale d’un élément fini mixte matrice-renforcement

Formulation du problème continu

Sous certaines conditions, un sol renforcé peut être représenté par un milieu homogénéisé. La technique classique consiste à définir un milieu aux propriétés anisotropes. L’approche multi-phasique [bib1] émerge en alternative. Le milieu anisotrope est remplacé par deux phases superposées en interaction. En chaque point du milieu, se superposent une particule de matrice et une particule de renforcement. Chaque particule possède sa cinématique. La méthode se généralise à un nombre quelconque de phases de renforcement, chacune décrivant une direction de renforcement.

Soit le champ de déplacement virtuel \(\dispVirt\) quelconque. Il se compose de la cinématique de la matrice \(\dispVirt_s\) et de celle du renforcement \(\dispVirt_p\). Le travail intérieur \(\work{int}\) du système biphasique comporte trois contributions. Celles de la matrice \(\work{s}\), du renforcement \(\work{p}\) et des forces d’interaction \(\work{f}\) :

(4338)\[\forall \dispVirt \, , \quad \work{int} = \work{s} + \work{p} + \work{f}\]

Du point de vue d’une seule phase, les forces d’interaction peuvent être considérées comme externes. L’application du principe des travaux virtuels sur le système biphasique en mouvement de corps rigide (travail nul) permet de démontrer que le travail des forces d’interface \(\vector{\tau}\) prend la forme :

\[\work{f} = \left( \transpose{\dispVirt_s} - \transpose{\dispVirt_p} \right) \vector{\tau}\]

Discrétisation du problème

Dans l’approche précédente, l’ensemble du milieu renforcé est homogénéisé. Il n’y a plus de description explicite des renforcements.

L’approche proposée ci-après, dérivée de la première, se limite à la représentation d’un (seul) renforcement et de la matrice environnante. Elle décrit explicitement le renforcement.

Profitant des éléments finis déjà existant, le renforcement et la matrice sont représentés distinctement par leur propre élément. Ils sont nommés ci-après éléments « indépendants » et représentent les travaux internes (eq. (4338)) respectivement \(\work{int} = \work{p}\) et \(\work{int} = \work{s}\).

Comme les forces d’interaction peuvent être considérées comme externes du point de vue d’une seule phase, elles peuvent être taitées par un élément fini distinct d’interaction (ou d’interface). Sur cet élément, défini sur le domaine de l’interface \(\domain_f\), le travail intérieur (eq. (4338)) se réduit donc à :

\[\work{int} = \work{f}\]

Son calcul nécessite l’expression du déplacement de chacune des phases à l’interface. Par cohérence, la cinématique de chaque phase y correspond à la cinématique adoptée dans l’élément indépendant correspondant (matrice et renforcement). L’interpolation du déplacement à l’interface se fait à partir des déplacements nodaux et des fonctions de forme de chacune des phases tel que :

\[\begin{split}\begin{align} \disp_{pf} = & \discMatr{\shapeFunc_{pf}} \discVect{U_s} \\ \disp_{sf} = & \discMatr{\shapeFunc_{sf}} \discVect{U_p} \end{align}\end{split}\]

où \(\discMatr{\shapeFunc_{pf}}\) et \(\discMatr{\shapeFunc_{sf}}\) sont les projections des fonctions d’interpolation du renforcement et de la matrice sur l’interface et \(\discVect{U_p}\), \(\discVect{U_s}\) sont respectivement les déplacements aux noeuds des phases.

Le déplacement relatif virtuel à l’interface peut alors se réécrire comme suit (on utilise une approche isoparamétrique):

\[\begin{split}\begin{align} \transpose{\dispVirt_r} & = \transpose{\dispVirt_{sf}} - \transpose{\dispVirt_{pf}} \\ & = \left\langle \begin{matrix} \transpose{\discVect{\delta U_s}} & \transpose{\discVect{\delta U_p}} \end{matrix} \right\rangle \discMatr{ \begin{matrix} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \\ - \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \end{matrix} } \end{align}\end{split}\]

et

\[\begin{split}\begin{align} \disp_r & = \disp_{sf} - \disp_{pf} \\ & = \discMatr{ \begin{matrix} \discMatr{\shapeFunc_{sf}} & - \discMatr{\shapeFunc_{pf}} \end{matrix} } \left\{ \begin{matrix} \discVect{U_s} \\ \discVect{U_p} \end{matrix} \right\} \end{align}\end{split}\]

Il en vient l’écriture du travail de l’interface tel que :

\[\begin{split}\work{f} = \int_{\domain_f}{} \left\langle \begin{matrix} \transpose{\discVect{\delta U_s}} & \transpose{\discVect{\delta U_p}} \end{matrix} \right\rangle \discMatr{ \begin{matrix} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \\ - \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \end{matrix} } \vector{\tau} \; d\domain\end{split}\]

Les forces d’interface sont couplées dans les directions verticale et horizontales. La simplification de l’équation précédente par le déplacement virtuel conduit à l’effort élémentaire provenant de l’interface et s’appliquant sur les deux éléments indépendants (renforcement et matrice):

\[\begin{split}\discVect{p_{f}} = \left\{ \begin{matrix} \discVect{p_{sf}} \\ \discVect{p_{pf}} \end{matrix} \right\} = \int_{\domain_f}{} \discMatr{ \begin{matrix} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \\ - \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \end{matrix} } \vector{\tau} \; d\domain\end{split}\]

L’opérateur tangent associé à l’interface est dérivé de cette expression.

\[\begin{split}\begin{align} \frac{\partial \discVect{p_{f}}}{\partial \discVect{U}} & = \int_{\domain_f}{} \discMatr{ \begin{matrix} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \\ - \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \end{matrix} } \frac{\partial \vector{\tau} }{\partial \discVect{U}} \; d\domain = \int_{\domain_f}{} \discMatr{ \begin{matrix} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{sf}}} \\ - \transpose{\discMatr{\shapeFunc_{pf}}} \end{matrix} } \frac{\partial \vector{\tau} }{\partial \disp_r} \discMatr{ \begin{matrix} \discMatr{\shapeFunc_{sf}} & - \discMatr{\shapeFunc_{pf}} \end{matrix} } \; d\domain \end{align}\end{split}\]

car

\[\frac{\partial \vector{\tau} }{\partial \discVect{U}} = \frac{\partial \vector{\tau} }{\partial \disp_r} \frac{\partial \disp_r}{\partial \discVect{U}}\]

où \(\frac{\partial \vector{\tau} }{\partial \disp_r}\) est l’opérateur tangent renvoyé par la loi d’interface.

Formulation de l’élément 3D_INTERF_POU

Dans le cas de l’élément d’interaction 3D_INTERF_POU, la discrétisation adoptée (et cinématique associée) pour le renforcement est une poutre de Timoshenko à deux noeuds, tandis que la discrétisation adoptée pour la matrice est un élément 3D hexaédrique à huit noeuds (donc aucune hypothèse cinématique supplémentaire par rapport au cas 3D habituel). Les modélisations correspondantes pour les éléments « indépendants » sont respectivement la modélisation POU_D_T et la modélisation 3D.

Une représentation de décomposition du maillage de l’élément est donnée en figure Fig. 321.

Fig. 321 Décomposition du maillage de l’élément 3D_INTERF_POU

Projection des fonctions de forme de la matrice et du renforcement à l’interface

Nous développons ci-après la projection des fonctions de forme de la matrice et du renforcement à l’interface. Ce sont elles qui permettent de calculer le déplacement relatif entre les deux phases. Il s’agit donc d’évaluer les fonctions de forme de la matrice et du renforcement à l’interface :

\[\begin{split}\begin{align} \discMatr{\shapeFunc_f} & = \discMatr{ \left. \shapeFunc_s \right|_{\domain_f} } \\ \discMatr{\shapeFunc_{pf}} & = \discMatr{ \left. \shapeFunc_p \right|_{\domain_f} } \end{align}\end{split}\]

où \(\discMatr{\shapeFunc_s}\) et \(\discMatr{\shapeFunc_p}\) sont les fonctions de forme de la matrice et du renforcement.

Le domaine d’interaction \(\domain_f\) est unidimensionnel et confondu avec la ligne de la poutre \(\domain_p\). Les fonctions de forme du renforcement \(\discMatr{\shapeFunc_p}\) sont donc déjà exprimées dans le repère de l’interface. Le domaine de la matrice \(\discMatr{\shapeFunc_s}\), en revanche est tri-dimensionnel. Il est donc nécessaire de trouver l’équation de l’interface dans ce domaine.

On considère le repère physique \(X \left( x_s, y_s, z_s \right)\) (fig. Fig. 322) de la maille de la matrice de dimensions \(l_x\), \(l_y\) et \(l_z\).

Fig. 322 Repère physique de l’élément 3D_INTERF_POU

Et \(\Xi \left( \xi_s, \eta_s, \chi_s \right)\) son repère dans l’espace paramétrique (fig. Fig. 323) de dimension \(2\), \(2\), \(2\).

Fig. 323 Repère paramétrique de l’élément 3D_INTERF_POU

Soit \(\Gamma_X \left( \gamma_x \right)\) le repère physique de l’interface de dimension \(l_x\) et \(\Gamma_\Xi \left( \gamma_{\Xi} \right)\) son repère paramétrique de dimension \(2\). Soit enfin \(\gamma_X = \inverse{f} \left( x_s, y_s, z_s \right)\) l’équation de l’interface dans le repère physique. Il s’agit de déterminer son inverse \(\left( x_s, y_s, z_s \right) = f \left( \gamma_X \right)\). D’un point de vue pratique, nous travaillons dans l’espace paramétrique \(\Xi \left( \xi_s,\eta_s, \chi_s \right)\) de la maille de la matrice. Nous cherchons donc à exprimer l’inverse de l’équation de l’interface dans ce repère : \(\left( \xi_s, \eta_s, \chi_s \right) = g \left( \gamma_\Xi \right)\).

Finalement cela permet en effet d’obtenir \(\int_{\Gamma_X} \transpose{ \discMatr{\left. \shapeFunc_s^X \right|_{\Gamma_X}} } \, d\Gamma_X\) à partir des fonctions de forme de la matrice exprimées dans son repère paramétrique \(\discMatr{\shapeFunc_s^{\Xi}}\) tel tque :

\[\begin{split}\begin{align} \int_{\Gamma_X} \transpose{ \discMatr{ \left. \shapeFunc_s^X \right|_{\Gamma_X} } } \, d\Gamma_X & = \int_{\Gamma_\Xi} \transpose{ \discMatr{ \left.\shapeFunc_s^\Xi \right|_{\Gamma_\Xi} } } \valeAbs{ \det \left( \discMatr{\jacobTransfor_{\Gamma_X \rightarrow \Gamma_\Xi}} \right) } \, d\Gamma_\Xi \\ & = \int_{\gamma_\Xi = -1}^{\gamma_\Xi=1} \transpose{\discMatr{\shapeFunc_s^\Xi \left( g \left( \gamma_\Xi \right) \right) }} \valeAbs{ \det \left( \discMatr{\jacobTransfor_{\Gamma_X \rightarrow \Gamma_\Xi}} \right) } \, d\gamma_\Xi \end{align}\end{split}\]

Jacobien de la transformation du repère de l’interface

Déterminons les termes de l’équation précédente. Commençons par l’expression du déterminant \(\discMatr{\jacobTransfor_{\Gamma_X \rightarrow \Gamma_\Xi}}\) du changement de variable pour le passage de l’espace parent de l’interface vers son espace paramétrique.

\(l_x\) est la longueur de l’interface dans l’espace parent. Ce repère s’étend sur \([0, l_x]\). L’espace paramétrique s’étend sur \([-1, 1]\). Nous pouvons écrire les conditions limites \(\gamma_X \left( \gamma_\Xi = -1 \right) = 0\) et \(\gamma_X \left( \gamma_\Xi = 1 \right) = l_x\) et trouvons que :

\[\begin{split}\left\{ \begin{align} \gamma_X & = \frac{L_f}{2}(\gamma_\Xi+1) \\ d\gamma_X & = \frac{\partial \gamma_X}{\partial \gamma_\Xi} d\gamma_\Xi = \frac{L_f}{2} d\gamma_\Xi \end{align} \right.\end{split}\]

D’où l’expression du jacobien de la transformation :

\[\discMatr{\jacobTransfor_{\Gamma_X \rightarrow \Gamma_\Xi}} = \frac{\partial \Gamma_X}{\partial \Gamma_\Xi} = \frac{\partial \gamma_X}{\partial \gamma_\Xi} = \frac{l_x}{2}\]

Et nous avons finalement :

\[\valeAbs{ \det \left( \discMatr{\jacobTransfor_{\Gamma_X \rightarrow \Gamma_\Xi}} \right) } = \frac{l_x}{2}\]

Équation de l’interface dans le repère paramétrique

\(g\) est l’équation qui à un point sur l’interface associe un point dans l’espace paramétrique de la matrice \(\Xi \left( \xi_s,\eta_s, \chi_s \right)\).

\[\begin{split}\begin{align} g \; : \; & \Gamma_\Xi \; \longrightarrow \; \Xi \\ & \gamma_\Xi \; \longrightarrow \; \left\{ \begin{matrix} \xi_s \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right\} \end{align}\end{split}\]

Fonctions de forme à l’interface

Dans le cas de l’élément dont la formulation est détaillée ici, les fonctions de forme employées pour l’interpolation des déplacements relatifs sont les mêmes que celles utilisées par les éléments « indépendants » représentant les contributions de la matrice et du renforcement.

Remarque

Il est cependant tout à fait possible de choisir d’autres fonctions de forme supportées par les mailles. Si nous voulions développer un élément quadratique, c’est d’ailleurs en pratique ce qu’il faudrait faire, comme dans le cas des éléments d’interface quadratiques 3D_JOINT par exemple.

Fonctions de forme de la matrice

L’interpolation des déplacements de la matrice s’écrit :

\[\begin{split}\left\{ \begin{align} u & = \sum_{i=1}^{8} \shapeFunc_i U_i \\ v & = \sum_{i=1}^{8} \shapeFunc_i V_i \\ w & = \sum_{i=1}^{8} \shapeFunc_i W_i \\ \end{align} \right.\end{split}\]

où \(\shapeFunc_i\) est la fonction de forme du noeud \(i\) et \(U_i\), \(V_i\), \(W_i\) sont les déplacements nodaux de l’élément.

Le système précédent peut-être réécrit sous forme matricielle tel que :

\[\begin{split}\disp_s = \discMatr{\shapeFunc_s} \discVect{U_s} = \discMatr{ \begin{matrix} \shapeFunc_1 & 0 & 0 & \shapeFunc_2 & 0 & 0 & ... & \shapeFunc_8 & 0 & 0 \\ 0 & \shapeFunc_1 & 0 & 0 & \shapeFunc_2 & 0 & 0 & ... & \shapeFunc_8 & 0 \\ 0 & 0 & \shapeFunc_1 & 0 & 0 & \shapeFunc_2 & 0 & 0 & ... & \shapeFunc_8 \end{matrix} } \left\{ \begin{matrix} u_1 \\ v_1 \\ w_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ w_2 \\ \vdots \\ u_8 \\ v_8 \\ w_8 \end{matrix} \right\}\end{split}\]

L’expression des fonctions de forme de la matrice dans son espace paramétrique \(\Xi \left( \xi_s,\eta_s, \chi_s \right)\) sont données ci-dessous. Elles sont linéaires :

\[\begin{split}\left\{ \begin{align} \shapeFunc_1^\Xi & = (1-\xi_s)(1-\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_2^\Xi & = (1+\xi_s)(1-\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_3^\Xi & = (1+\xi_s)(1+\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_4^\Xi & = (1-\xi_s)(1+\eta_s)(1-\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_5^\Xi & = (1-\xi_s)(1-\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_6^\Xi & = (1+\xi_s)(1-\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_7^\Xi & = (1+\xi_s)(1+\eta_s)(1+\chi_s)/8 \\ \shapeFunc_8^\Xi & = (1-\xi_s)(1+\eta_s)(1+\chi_s)/8 \end{align} \right.\end{split}\]

Fonctions de forme du renforcement

Soit une poutre droite dans un espace à trois dimensions. Le repère principal d’inertie est centré en \(G\), le centre de gravité. L’axe \(x\) est dirigé suivant l’axe de la poutre, \(y\) et \(z\) sont les deux autres axes principaux d’inertie de la section. Les effets de torsion et de flexion sont découplés dans le repère local (translaté du repère principal d’inertie) ayant pour origine le centre de torsion \(C\) (aussi appelé centre de cisaillement). Les déplacements dans le plan de la section (\(v_c\) et \(w_c\)) sont exprimés dans ce repère, tandis que les déplacements axiaux restent exprimés dans le repère principal d’inertie lié au centre de gravité \(G\) [R3.08.04].

Le renforcement adopte une hypothèse cinématique de Timoshenko. Les déplacements généralisés \(\vector{U}_p\) sont posés comme suit :

\[\transpose{\vector{U}_p} \left( x \right) = \left\langle \begin{matrix} u_g & v_c & w_c & \theta_x & \mu_y & \psi_z \end{matrix} \right\rangle\]

où \(u_g\), \(v_c\), \(w_c\) les translations et \(\theta_x\), \(\mu_y\), \(\psi_z\) les rotations.

Le poutre discrétisée est représentée par un segment à deux noeuds portant chacun les six degrés de liberté définis précédemment (fig. Fig. 324) :

\[\transpose{\discVect{U_p}} = \left\langle \begin{matrix} u_{g,1} & v_{c,1} & w_{c,1} & \theta_{x,1} & \mu_{y,1} & \psi_{z,1} & u_{g,2} & v_{c,2} & w_{c,2} & \theta_{x,2} & \mu_{y,2} & \psi_{z,2} \end{matrix} \right\rangle\]

Fig. 324 Degrés de liberté de la poutre

Le champ de déplacements généralisés est ainsi interpolé à partir des fonctions de forme et de déplacements aux noeuds tel que :

\[\begin{split}\vector{U}_p & = \discMatr{\shapeFunc_p} \discVect{U_p} & = \discMatr{ \begin{matrix} \shapeFunc_1^u & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_2^u & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \shapeFunc_1^v & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_2^v & 0 & \shapeFunc_3^v & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_4^v \\ 0 & 0 & \shapeFunc_1^w & 0 & \shapeFunc_2^w & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_3^w & 0 & \shapeFunc_4^w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_1^\theta & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_2^\theta & 0 & 0 \\ 0 & \shapeFunc_1^\mu & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_2^\mu & 0 & \shapeFunc_3^\mu & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_4^\mu \\ 0 & 0 & \shapeFunc_1^\psi & 0 & \shapeFunc_2^\psi & 0 & 0 & 0 & \shapeFunc_3^\psi & 0 & \shapeFunc_4^\psi & 0 \\ \end{matrix} } \left\{ \begin{matrix} u_{g,1} \\ v_{c,1} \\ w_{c,1} \\ \theta_{x,1} \\ \mu_{y,1} \\ \psi_{z,1} \\ u_{g,2} \\ v_{c,2} \\ w_{c,2} \\ \theta_{x,2} \\ \mu_{y,2} \\ \psi_{z,2} \end{matrix} \right\}\end{split}\]

Finalement, l’expression, proposée par [bib2], des fonctions de forme dans l’espace paramétrique pour les noeuds du renforcement sont les suivantes :

\[\begin{split}\left\{ \begin{align} {\shapeFunc_1^u}^\Xi & = 1 - \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \\ {\shapeFunc_2^u}^\Xi & = \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \\ {\shapeFunc_1^v}^\Xi & = \frac{1}{1 +\phi_z} \left[ 2 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^3 - 3 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 -\phi_z \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) + 1 +\phi_z \right] \\ {\shapeFunc_2^v}^\Xi & = \frac{l_x}{1 +\phi_z} \left[ \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^3 - \left( 2 + \frac{\phi_v}{2} \right) \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 + \left( 1 + \frac{\phi_v}{2} \right) \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ {\shapeFunc_3^v}^\Xi & = - \frac{1}{1 +\phi_z} \left[ 2 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^3 - 3 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 -\phi_z \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ {\shapeFunc_4^v}^\Xi & = \frac{l_x}{1 +\phi_z} \left[ \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^3 - \left( 1 - \frac{\phi_v}{2} \right) \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 - \frac{\phi_v}{2} \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ {\shapeFunc_1^\theta}^\Xi & = \frac{1}{4} \left( 1 - \xi \right) ^2 \left( 2 + \xi \right) \\ {\shapeFunc_2^\theta}^\Xi & = \frac{1}{4} \left( 1 + \xi \right) ^2 \left( 2 - \xi \right) \\ {\shapeFunc_1^\mu}^\Xi & = \frac{6}{\left( 1 +\phi_z \right) l_x} \left[ \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 - \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ {\shapeFunc_2^\mu}^\Xi & = \frac{1}{1 +\phi_z} \left[ 3 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 - \left( 4 +\phi_z \right) \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) + 1 +\phi_z \right] \\ {\shapeFunc_3^\mu}^\Xi & = - \frac{6}{\left( 1 +\phi_z \right) l_x} \left[ \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 - \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ {\shapeFunc_4^\mu}^\Xi & = \frac{1}{1 +\phi_z} \left[ 3 \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) ^2 - \left( 2 -\phi_z \right) \left( \frac{1 + \xi}{2} \right) \right] \\ \end{align} \right.\end{split}\]

Les fonctions de forme \(\shapeFunc_i^w\) et \(\shapeFunc_i^\psi\) sont équivalentes (au signe près) respectivement à \(\shapeFunc_i^v\) et \(\shapeFunc_i^\mu\) où \(\phi_z\) est remplacé par \(\phi_y\), où \(\phi_y = \frac{12 E I_y}{k_z S G l_x^2}\) et \(\phi_z = \frac{12 E I_z}{k_y S G l_x^2}\), les rapports entre raideur de flexion et raideur au tranchant de la poutre. Les \(k_i\) sont les coefficients de cisaillement de la section. Ces coefficients sont notamment dépendants des propriétés élastiques du matériau de la poutre et ne sont donc valables que dans ce domaine.

Conclusion

Un modèle élément fini d’interaction entre matrice et renforcement est proposé. Les cinématiques des éléments utilisés conjointement avec l’élément d’interaction pour représenter les comportements propres au renforcement et à la matrice doivent correspondre aux cinématiques adoptées dans l’élément d’interaction. L’élément porte des inconnues correspondant aux degrés de liberté du renforcement (incluant des rotations) et de la matrice.

Bibliographie

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de Buhan, P., & Sudret, B. (2000). Micropolar multiphase model for materials reinforced by linear inclusions. European Journal of Mechanics - A/Solids, 19(4), 669‑687. https://doi.org/10.1016/S0997-7538(00)00181-9

[bib2]

Friedman, Z., & Kosmatka, J. B. (1993). An improved two-node timoshenko beam finite element. Computers & Structures, 47(3), 473‑481. https://doi.org/10.1016/0045-7949(93)90243-7

[bib3]

Lhermitte, T. (2025). Comportement non-linéaire des pieux sous séisme : Développement d’un élément fini biphasique (Numéro 2025ISAL0005) [Theses, INSA de Lyon]. https://theses.hal.science/tel-05263250