v3.01.402 SSLL402 - Anneau dynamométrique#
Résumé:
Ce test permettait à l’origine de vérifier en élasticité linéaire le calcul des efforts intérieurs et des contraintes sur une poutre courbe (POU_C_T), ces éléments ont été supprimés. On utilise maintenant des poutres droites pour traiter le problème.
Une modélisation permet de tester les éléments de poutres droites de Timoshenko (POU_D_T).
La solution de référence est analytique et les résultats obtenus sont de très bonne qualité.
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence : analytique#
Sur le tronçon \((A,B)(0<\theta <\frac{\pi}{2})\) , nous avons:
\(N=\frac{F}{2}\cos\theta\) , \(\mathrm{Vy}=-\frac{F}{2}\sin\theta\) , \({M}_{z}=-\frac{\mathrm{FR}}{2}(1-\cos\theta )+\Gamma\) .
Sur le tronçon \((B,C)(\frac{\pi}{2}<\theta <\pi )\) , nous avons:
\(N=-\frac{F}{2}\cos\theta\) , \(\mathrm{Vy}=\frac{F}{2}\sin\theta\) , \({M}_{z}=-\frac{\mathrm{FR}}{2}(1+\cos\theta )+\Gamma\) .
Par utilisation de la loi de comportement reliant \(M\) à la rotation de la normale et compte tenu que cette dernière est nulle en \(A\) et en \(B\) , nous avons:
\({\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}}Md\theta =0\) ,
d’où: \(\Gamma ={M}_{A}={M}_{C}=\frac{\pi -2}{2\pi }FR\)
Résultats de référence#
Efforts intérieurs pour \(\theta =0°\) et \(90°\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres Aster »
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 800 éléments POU_D_T.
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 800 SEG2.
Grandeus testées et résultats#
Effort intérieur à \(\theta =0°\)#
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
|
\(N\) |
ANALYTIQUE |
5.000E–01 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
\(\mathit{Vy}\) |
ANALYTIQUE |
0.0000 |
2,00E-003 * |
\(\mathit{MFz}\) |
ANALYTIQUE |
3.6338E–01 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
Écart absolu
Effort intérieur à \(\theta =90°\)#
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
|
\(N\) |
ANALYTIQUE |
0.0000 |
2,00E-003 * |
\(\mathit{Vy}\) |
ANALYTIQUE |
–5.0000E–01 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
\(\mathit{MFz}\) |
ANALYTIQUE |
–6.3662E–01 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
*Ecart absolu
Contrainte à \(\theta =0°\)#
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
|
\(\mathit{SIXXMAX}\) |
ANALYTIQUE |
4.6426E+05 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
Contrainte à \(\theta =90°\)#
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
|
\(\mathit{SIXXMIN}\) |
ANALYTIQUE |
–8.1056E+05 |
1,00E-003 \(\text{\%}\) |
Remarques#
La symétrie par rapport à l’axe \((A,C)\) implique la nullité de l’effort tranchant \(T\) en \(A\) et en \(C\) . L’équilibre suivant \(\mathit{Oy}\) du demi-anneau \((A,B,C)\) impose en \(A\) et en \(C\) un effort normal égal à \(\frac{F}{2}\) . La symétrie par rapport à l’axe \((B,D)\) implique que les moments en \(A\) et en \(C\) sont égaux en valeur absolue et de sens contraires.
Synthèse des résultats#
Les résultats sont très proche de la solution analytique (erreur inférieure à 1.0E-05) sauf pour deux valeurs (N à \(\theta =90°\) et Vy à \(\theta =0°\) ) pour lesquelles l’erreur est de 2.0E-03. On remarque que cette erreur diminue lentement lorsqu’on raffine le maillage, mais la précision de 1.0E-05 n’est toujours pas atteintes avec 1000 éléments par quart de cercle.