v6.04.129 SSNV129 - Contact de 2 plaques en appui simple dont une est soumise à pression#
Résumé:
Une plaque rectangulaire est soumise à une force de pression uniforme et est comprimée sur uneplaque identique où elle subit des forces de contact.
Ce test comporte deux modélisations (éléments linéaires QUAD4 avec modélisation DKT - éléments quadratiques QUAD9 avec modélisation COQUE_3D). Les calculs de référence ont été effectués sans contact.
Les résultats de Code_Aster avec contact sont obtenus en non régression et analysés par rapport aux résultats obtenus sans contact.
Synth_se_des_r_sultats
Solution de référence#
Référence Bibliographique#
La solution de référence provient des résultats obtenus dans “Formulas for Stress and Strain” de ROARK’S (6ème édition - McGraw-Hill International Editions), que l’on peut aussi retrouver dans l’aide-mémoire sur la résistance des matériaux de Jean Goulet et Jean-Pierre Boutin, page 192, combiné avec “Formulas for Stress, Strains and Structural Matrices” de W. D. Pilkey, page 969.
Résultats analytiques de référence sans contact#
Les résultats obtenus ont été calculés sur une plaque en appui simple soumise à une pression verticale (pas de contact).
Calcul de la flèche au centre de la plaque:
\(\maxz=-\frac{\alpha p{l}^{4}}{E{e}^{3}}\)
Calcul de la contrainte au centre de la plaque suivant la largeur de la plaque en peau inférieure :
\({\sigma}_{yy}=+\frac{\beta p{l}^{2}}{{e}^{2}}\)
\(p\) désigne la pression appliquée sur la plaque,
\(E\) le module d’Young,
\(L\) , la longueur,
\(l\) , la largeur,
\(e\) , l’épaisseur,
\(\alpha ,\beta\) étant deux coefficients obtenus à partir du rapport \(a/b\) .
\(\lbrace \begin{array}{}\alpha =0.1110\\ \beta =0.6102\end{array}\)
Soit:
\(\lbrace \begin{array}{}\maxz=-0.69375\mathrm{cm}\\ {\sigma}_{yy}=1.5255{10}^{10}N/{\mathrm{cm}}^{2}\end{array}\)
Résultats obtenus sans contact avec Code_Aster#
Modélisation DKT#
Modélisation: DKTpour tester le contact entre deux plaques.
256 éléments finis QUAD4 sont disposés sur la surface de contact initiale. Le maillage n’a qu’une couche d’éléments dans l’épaisseur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 289 nœuds
Nombre de mailles et type: 256 QUAD4
Valeurs de référence Aster#
Identification |
Référence |
Aster (DKT ) |
Erreur |
\(\mathrm{DZ}\) au centre de la plaque |
|
|
0.35 % |
\({\sigma}_{yy}\) au centre de la plaque |
|
|
0.28 % |
Modélisation COQUE_3D#
Modélisation : COQUE_3Dpour tester le contact entre deux plaques.
256 éléments finis QUAD9 sont disposés sur la surface de contact initiale. Le maillage n’a qu’une couche d’éléments dans l’épaisseur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 578 nœuds
Nombre de mailles et type: 256 QUAD9
Valeurs de référence Aster#
Identification |
Référence |
Aster (COQUE_3D) |
Erreur |
\(\mathrm{DZ}\) au centre de la plaque |
|
|
4.97 % |
\({\sigma}_{yy}\) au centre de la plaque |
|
|
7.36 % |
Commentaires#
On constate que les résultats obtenus sans contact sont très satisfaisants pour une modélisation de type DKT. L’erreur obtenue pour une modélisation de type COQUE_3D peut s’expliquer par la prise en compte des effets de cisaillement transverse qui ne doivent pas être négligeables pour cette plaque relativement épaisse puisque le rapport \(l/e\) vaut \(1/10\) .
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: DKTpour tester le contact entre deux plaques.
où \(\text{*}\) désigne le nœud milieu de la plaque.
\(A=\mathrm{DR1}\) ou \(\mathrm{DR21}\) ,
\(B=\mathrm{DR2}\) ou \(\mathrm{DR22}\) ,
\(C=\mathrm{DR3}\) ou \(\mathrm{DR23}\) ,
\(D=\mathrm{DR4}\) ou \(\mathrm{DR24}\) .
Les nœuds sur lesquels on applique les conditions aux limites sont les nœuds nommés centre1 et centre2 situés au centre de chaque plaque.
Le calcul par la méthode des contraintes actives est effectué sans réactualisation géométrique et sur un seul pas de temps.
Caractéristiques du maillage#
Utilisation de mailles QUAD4
Valeurs testées#
Identification du nœud central |
Analytique |
\(\mathrm{DZ}\) |
-3.426875 E-01 |
\({\sigma}_{yy}\) |
+7.6481 E+09 |
Commentaires#
Les résultats obtenus avec contact sont très satisfaisants puisqu’on obtient, avec moins de 1% d’erreur, les résultats obtenus sans contact à un facteur de 2 près. C’est effectivement le résultat attendu puisque ajouter le contact entre deux plaques identiques à celle du paragraphe 2 revient à supposer une plaque soumise à pression avec une rigidité deux fois plus élevée.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: COQUE_3Dpour tester le contact entre deux plaques.
où \(\text{*}\) désigne le nœud milieu de la plaque.
\(A=\mathrm{DR1}\) ou \(\mathrm{DR21}\) ,
\(B=\mathrm{DR2}\) ou \(\mathrm{DR22}\) ,
\(C=\mathrm{DR3}\) ou \(\mathrm{DR23}\) ,
\(D=\mathrm{DR4}\) ou \(\mathrm{DR24}\) .
Les nœuds sur lesquels on applique les conditions aux limites sont les nœuds nommés \(\mathrm{cente1}\) et \(\mathrm{cente2}\) situés au centre de chaque plaque.
Caractéristiques du maillage#
Utilisation de mailles QUAD9
Valeurs testées#
Identification du nœud central |
Analytique |
\(\mathrm{DZ}\) |
-3.426875 E-01 |
\({\sigma}_{yy}\) |
+7.6481 E+09 |
Commentaires#
Les résultats obtenus avec contact sont acceptables puisqu’on obtient une erreur du même ordre de grandeur que ceux sans contact avec une seule plaque 2 fois plus épaisse.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: COQUE_3Dpour tester le contact entre deux plaques.
où \(\text{*}\) désigne le nœud milieu de la plaque.
\(A=\mathrm{DR1}\) ou \(\mathrm{DR21}\) ,
\(B=\mathrm{DR2}\) ou \(\mathrm{DR22}\) ,
\(C=\mathrm{DR3}\) ou \(\mathrm{DR23}\) ,
\(D=\mathrm{DR4}\) ou \(\mathrm{DR24}\) .
Les nœuds sur lesquels on applique les conditions aux limites sont les nœuds nommés cente1 et cente2 situés au centre de chaque plaque.
Le calcul par la méthode des contraintes actives est effectué sans réactualisation géométrique et sur un seul pas de temps.
Caractéristiques du maillage#
Utilisation de mailles TRIA6
Valeurs testées#
Identification du nœud central |
Analytique |
\(\mathrm{DZ}\) |
-3.426875 E-01 |
\({\sigma}_{yy}\) |
7.6481 E+09 |
Commentaires#
Les résultats obtenus avec contact sont acceptables puisqu’on obtient une erreur du même ordre de grandeur que ceux sans contact avec une seule plaque 2 fois plus épaisse.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: DKTpour tester le contact entre deux plaques.
où \(\text{*}\) désigne le nœud milieu de la plaque.
\(A=\mathrm{DR1}\) ou \(\mathrm{DR21}\) ,
\(B=\mathrm{DR2}\) ou \(\mathrm{DR22}\) ,
\(C=\mathrm{DR3}\) ou \(\mathrm{DR23}\) ,
\(D=\mathrm{DR4}\) ou \(\mathrm{DR24}\) .
Les nœuds sur lesquels on applique les conditions aux limites sont les nœuds nommés cente1 et cente2 situés au centre de chaque plaque.
Le calcul par la méthode des contraintes actives est effectué sans réactualisation géométrique et sur un seul pas de temps.
Caractéristiques du maillage#
Utilisation de mailles QUAD4
Valeurs testées#
Identification du nœud central |
Analytique |
\(\mathrm{DZ}\) |
-3.426875 E-01 |
\({\sigma}_{yy}\) |
7.6481 E+09 |
Commentaires#
Les résultats obtenus avec contact sont très satisfaisants puisqu’on obtient, avec moins de 1% d’erreur, les résultats obtenus sans contact à un facteur de 2 près. C’est effectivement le résultat attendu puisque ajouter le contact entre deux plaques identiques à celle du paragraphe 2 revient à supposer une plaque soumise à pression avec une rigidité deux fois plus élevée.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: DKTpour tester le contact entre deux plaques.
où \(\text{*}\) désigne le nœud milieu de la plaque.
\(A=\mathrm{DR1}\) ou \(\mathrm{DR21}\) ,
\(B=\mathrm{DR2}\) ou \(\mathrm{DR22}\) ,
\(C=\mathrm{DR3}\) ou \(\mathrm{DR23}\) ,
\(D=\mathrm{DR4}\) ou \(\mathrm{DR24}\) .
Les nœuds sur lesquels on applique les conditions aux limites sont les nœuds nommés cente1 et cente2 situés au centre de chaque plaque.
Le calcul par la méthode des contraintes actives est effectué sans réactualisation géométrique et sur un seul pas de temps.
Caractéristiques du maillage#
Utilisation de mailles QUAD4
Valeurs testées#
Identification du nœud central |
Analytique |
\(\mathrm{DZ}\) |
-3.426875 E-01 |
\({\sigma}_{yy}\) |
7.6481 E+09 |
Commentaires#
Les résultats obtenus avec contact sont très satisfaisants puisqu’on obtient, avec moins de 1% d’erreur, les résultats obtenus sans contact à un facteur de 2 près. C’est effectivement le résultat attendu puisque ajouter le contact entre deux plaques identiques à celle du paragraphe 2 revient à supposer une plaque soumise à pression avec une rigidité deux fois plus élevée.