r4.01.02 Élasticité anisotrope

Résumé

Ce document traite de la thermoélasticité anisotrope, utilisée pour les modélisations de milieux continus 3D et 2D(C_PLAN, D_PLAN, AXIS), ou les couches des coques composites.

Le milieu thermoélastique peut être anisotrope suivant les 3 directions (on parle d’élasticité orthotrope), ou bien dans isotrope dans deux directions (on parle d’élasticité isotrope transverse), ou bien il peut présenter une symétrie cubique.

Table des matières

Typologie des matrices de Hooke

L’orthotropie

Il s’agit d’une situation où le matériau élastique exhibe deux symétries par rapport à deux plans perpendiculaires (symétrie orthorhombique ). Le tenseur d’élasticité possède a priori 9 coefficients indépendants, conséquence des relations obtenues avec ces deux symétries entre les 21 coefficients.

Le tenseur de dilatation thermiquepossède a priori 3 coefficients indépendants, conséquence des relations obtenues avec ces deux symétries.

Dans les axes d’orthotropie:

\(\left[\mathrm{H}\right]=\left\lbrace \begin{array}{cccccc}{H}_{11}& {H}_{12}& {H}_{13}& 0& 0& 0\\ & {H}_{22}& {H}_{23}& 0& 0& 0\\ & & {H}_{33}& 0& 0& 0\\ \text{SYM}& & & {H}_{44}& 0& 0\\ & & & & {H}_{55}& 0\\ & & & & & {H}_{66}\end{array}\right\rbrace\) \(\left\lbrace \alpha \right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{\alpha}_{11}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ {\alpha}_{22}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ {\alpha}_{33}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right\rbrace\)

Isotropie transverse

L’isotropie transverse (ou de révolution) est une restriction de l’orthotropie dans où l’on a l’isotropie dans l’un des deux plans orthogonaux de symétrie élastique, suite à une invariance par rotation de \(2\pi /3\) autour de l’axe orthogonal au plan d’isotropie transverse par exemple \({x}_{3}=0\) . Le tenseur d’élasticité possède a priori 5 coefficients indépendants.

La matrice \(\left[\mathrm{H}\right]\) aura la même forme que pour l’orthotropie mais avec quatre relations supplémentaires entre les composantes. Ainsi on aura ainsi pour l’isotropie transverse dans le plan \({x}_{3}=0\) :

\({H}_{11}={H}_{22}\) ; \({H}_{13}={H}_{23}\) ; \({H}_{44}={H}_{55}\) et \(2{H}_{44}={H}_{11}-{H}_{12}\) [éq2.2-1]

Le tenseur de dilatation thermiquepossède a priori 2 coefficients indépendants:

\({\alpha}_{11}={\alpha}_{22}\) éq2.2-2]

Isotropie

Le matériau est isotrope si \(\left[\mathrm{H}\right]\) reste invariant dans tout changement de repère. Le tenseur d’élasticité possède a priori 2 coefficients indépendants. Il n’y a qu’un coefficient de dilatation thermique

Matrice de Hooke et matrice de souplesse

Notations

Au lieu d’utiliser les indices 1, 2 et 3 pour repérer les axes du repère cartésien, on va utiliser les indices correspondants \(L\) , \(T\) et \(N\) :

1. • \(L\) pour longitudinal

   • \(T\) pour transversal

   • \(N\) pour normal

Les coefficients qui interviennent sont les suivants:

Mot clé	Notation	signification
E_L	\({E}_{L}\)	Module de Young longitudinal
E_T	\({E}_{T}\)	Module de Young transversal
E_N	\({E}_{N}\)	Module de Young normal
G_LT	\({G}_{\text{LT}}\)	Module de cisaillement dans le plan \((L,T)\)
G_TN	\({G}_{\text{TN}}\)	Module de cisaillement dans le plan \((T,N)\)
G_LN	\({G}_{\text{LN}}\)	Module de cisaillement dans le plan \((L,N)\)
NU_LT	\({\nu}_{\text{LT}}\)	Coefficient de Poisson dans le plan \((L,T)\)
NU_TN	\({\nu}_{\text{TN}}\)	Coefficient de Poisson dans le plan \((T,N)\)
NU_LN	\({\nu}_{\text{LN}}\)	Coefficient de Poisson dans le plan \((L,N)\)
ALPHA_L	\({\alpha}_{L}\)	Coefficientde dilatation thermique moyen longitudinal
ALPHA_T	\({\alpha}_{T}\)	Coefficientde dilatation thermique moyen transversal
ALPHA_N	\({\alpha}_{N}\)	Coefficientde dilatation thermique moyen normal

Remarque très importante:

\({\nu}_{\text{LT}}\) est différent de \({\nu}_{\mathit{TL}}\) :

Si l’on applique une traction suivant l’axe \(L\) :

\({\epsilon}_{\text{LL}}=\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}\) (loi de Hooke suivant une direction).

Cette traction est accompagnée, proportionnellement, d’une contraction \(-{\nu}_{\text{LT}}.\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}\) suivant l’axe \(T\) , et d’une contraction \(-{\nu}_{\text{LN}}.\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}\) suivant l’axe \(N\) .

Le premier indice indique l’axe où s’exerce l’effet du chargement et le second indice indique la direction du chargement.

Ensuite on exerce une traction suivant l’axe \(T\) , puis une traction suivant \(N\) , on obtient:

\(\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}=\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}-{\nu}_{\text{TL}}\frac{{\sigma}_{\text{TT}}}{{E}_{T}}-{\nu}_{\text{NL}}\frac{{\sigma}_{\text{NN}}}{{E}_{N}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}=-{\nu}_{\text{LT}}\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}+\frac{{\sigma}_{\text{TT}}}{{E}_{T}}-{\nu}_{\text{NT}}\frac{{\sigma}_{\text{NN}}}{{E}_{N}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}=-{\nu}_{\text{LN}}\frac{{\sigma}_{\text{LL}}}{{E}_{L}}-{\nu}_{\text{TN}}\frac{{\sigma}_{\text{TT}}}{{E}_{T}}+\frac{{\sigma}_{\text{NN}}}{{E}_{N}}\end{array}\rbrace\) [éq3.1-1]

La matrice de souplesse \({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) étant symétrique; on en déduit:

\(\frac{{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}=\frac{{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{T}}\) ; \(\frac{{\nu}_{\text{LN}}}{{E}_{L}}=\frac{{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}\) ; \(\frac{{\nu}_{\text{TN}}}{{E}_{T}}=\frac{{\nu}_{\text{NT}}}{{E}_{N}}\)

Cas 3D

Orthotropie

Matrice de souplesse

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{T}}& \frac{-{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{-{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}& \frac{1}{{E}_{T}}& \frac{-{\nu}_{\text{NT}}}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{-{\nu}_{\text{LN}}}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{TN}}}{{E}_{T}}& \frac{1}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{1}{{G}_{\text{LT}}}& 0& 0\\ & \text{SYM}& & & \frac{1}{{G}_{\text{LN}}}& 0\\ & & & & & \frac{1}{{G}_{\text{TN}}}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) – Orthotropie

Matrice de Hooke

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\left(1-{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{T}{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{TL}}+{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{TN}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{T}.{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{NL}}+{\nu}_{\text{TL}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{T}.{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{\left({\nu}_{\text{LT}}+{\nu}_{\text{LN}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}{E}_{N}}& \frac{\left(1-{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{NT}}+{\nu}_{\text{NL}}.{\nu}_{\text{LT}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{\left({\nu}_{\text{LN}}+{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TN}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}.{E}_{T}}& \frac{\left({\nu}_{\text{TN}}+{\nu}_{\text{TL}}.{\nu}_{\text{LN}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}.{E}_{T}}& \frac{\left(1-{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TL}}\right)}{\Delta \cdot {E}_{L}.{E}_{T}}& 0& 0& 0\\ & & & \begin{array}{c}{G}_{\text{LT}}\end{array}& 0& 0\\ & \text{SYM}& & & {G}_{\text{LN}}& 0\\ & & & & & {G}_{\text{TN}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Orthotropie

avec: \(\frac{{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{T}}=\frac{{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}\frac{{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}=\frac{{\nu}_{\text{LN}}}{{E}_{L}}\phantom{\rule{2em}{0ex}};\phantom{\rule{2em}{0ex}}\frac{{\nu}_{\text{NT}}}{{E}_{N}}=\frac{{\nu}_{\text{TN}}}{{E}_{T}}\)

avec: \(\frac{1}{\Delta}=\frac{{E}_{L}{E}_{T}{E}_{N}}{1-{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NT}}-{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}-2{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LT}}}\)

Isotropie transverse

L’isotropie transverse est définie ici dans le plan \((L,T)\) , et la direction d’orthotropie est donc \(N\) .On peut attirer l’attention du lecteur sur le fait que cette convention diffère d’une convention usuelle qui désigne par «direction longitudinale» la direction d’orthotropie des matériaux transverses isotropes.

On note que les coefficients de dilatation vérifient: \({\alpha}_{T}={\alpha}_{L}\) .

Matrice de souplesse

La matrice \({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) peut être déduite directement de la matrice \({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) - Orthotropie en utilisant les propriétés de l’isotropie transverse.

Dans le plan \((L,T)\) , cf. [éq2.2-1]:

\(\begin{array}{c}{E}_{L}={E}_{T}\\ {\nu}_{\text{TL}}={\nu}_{\text{LT}}\\ {G}_{\text{LT}}=\frac{{E}_{L}}{2\left(1+{\nu}_{\text{LT}}\right)}\end{array}\)

Dans les plans \((L,N)\) et \((T,N)\) :

\(\begin{array}{c}{\nu}_{\text{NT}}={\nu}_{\text{NL}}\\ {\nu}_{\text{LN}}={\nu}_{\text{TN}}\\ {G}_{\text{TN}}={G}_{\text{LN}}\\ \frac{{\nu}_{\text{NT}}}{{E}_{N}}=\frac{{\nu}_{\text{LN}}}{{E}_{L}}\end{array}\)

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{-{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{L}}& \frac{1}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{NT}}}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{-{\nu}_{\text{LN}}}{{E}_{L}}& \frac{-{\nu}_{\text{TN}}}{{E}_{L}}& \frac{1}{{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{2\left(1+{\nu}_{\text{LT}}\right)}{{E}_{L}}& 0& 0\\ & \text{SYM}& & & \frac{1}{{G}_{\text{LN}}}& 0\\ & & & & & \frac{1}{{G}_{\text{TN}}}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) - Isotropie transverse

Matrice de Hooke

La matrice \(\left[\mathrm{H}\right]\) possède les mêmes symétries que \({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) .

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1-{\nu}_{\text{NL}}.{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{{\nu}_{\text{LT}}+{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{{\nu}_{\text{NL}}+{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{NL}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{{\nu}_{\text{TL}}+{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{1-{\nu}_{\text{NL}}.{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{{\nu}_{\text{LN}}+{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}.{E}_{N}}& 0& 0& 0\\ \frac{{\nu}_{\text{LN}}+{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{LN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}^{2}}& \frac{{\nu}_{\text{TN}}+{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TN}}}{\Delta '\cdot {E}_{L}^{2}}& \frac{1-{\nu}_{\text{LT}}^{2}}{\Delta '\cdot {E}_{L}^{2}}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{{E}_{L}}{2\left(1+{\nu}_{\text{LT}}\right)}& & \\ & & & & {G}_{\text{LN}}& \\ & & & & & {G}_{\text{LN}\phantom{\rule{2em}{0ex}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Isotropie transverse

avec: \(\frac{1}{\Delta '}=\frac{{E}_{L}^{2}.{E}_{N}}{1-2{\nu}_{\text{NL}}\cdot {\nu}_{\text{LN}}-{\nu}_{\text{LT}}^{2}-2{\nu}_{\text{NL}}\cdot {\nu}_{\text{LN}}\cdot {\nu}_{\text{LT}}}\)

Élasticité à symétrie cubique

L’élasticité à symétrie cubique advient lorsque outre les trois plans cartésiens de symétrie, les six plans tournés à 45° sont également de symétrie. On a alors 3 coefficients élastiques indépendants. Cela correspond à une matrice d’élasticité de la forme:

\(\left[\begin{array}{cccccc}\phantom{\rule{2em}{0ex}}{H}_{1111}& {H}_{1122}& {H}_{1122}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ {H}_{1122}& {H}_{1111}& {H}_{1122}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ {H}_{1122}& {H}_{1122}& {H}_{1111}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& {H}_{1212}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& {H}_{1212}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& {H}_{1212}\end{array}\right]\)

Étant donné la symétrie cubique, il reste à déterminer 3 coefficients:

\({E}_{L}={E}_{N}={E}_{T}=E,\phantom{\rule{6em}{0ex}}{G}_{\text{LT}}={G}_{\text{LN}}={G}_{\text{TN}}=G,\phantom{\rule{6em}{0ex}}{\nu}_{\text{LN}}={\nu}_{\text{LT}}={\nu}_{\text{LN}}=\nu\)

On note que les coefficients de dilatation vérifient: \({\alpha}_{T}={\alpha}_{L}={\alpha}_{N}\) .

Pour reproduire l’élasticité à symétrie cubique avec ELAS_ORTH, il suffit de calculer les coefficients de l’orthotropie tels que la matrice d’élasticité obtenue soit de la forme ci-dessus:

\(\begin{array}{c}{H}_{1111}=\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}\\ {H}_{1122}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}\\ {H}_{1212}={G}_{\text{LT}}={G}_{\text{LN}}={G}_{\text{TN}}\end{array}\)

donc, tant que \((1+\nu )(1-2\nu )\ne 0\) (c’est à dire \(\nu\) différent de \(0.5\) ).

\(\frac{{H}_{1122}}{{H}_{1111}}=\frac{\nu}{1-\nu }\) ce qui fournit \(\nu =\frac{1}{1+\frac{{H}_{1111}}{{H}_{1122}}}\) puis \(E={H}_{1111}\frac{(1+\nu )(1-2\nu )}{(1-\nu )}\)

Isotropie

La loi de Hooke prend la forme suivante avec les coefficients de Lamé \(\lambda\) et \(\mu =G\) :

\({\sigma}_{ij}=\lambda {\epsilon}_{kk}{\delta}_{ij}+2\mu {\epsilon}_{ij}\)

Matrice de souplesse en fonction de \(E`et :math:\)nu`

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E}& \frac{-\nu }{E}& \frac{-\nu }{E}& 0& 0& 0\\ & \frac{1}{E}& \frac{-\nu }{E}& 0& 0& 0\\ & & \frac{1}{E}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{1}{G}=\frac{2(1+\nu )}{E}& 0& 0\\ & \text{SYM}& & & \frac{1}{G}=\frac{2\left(1+\nu \right)}{E}& 0\\ & & & & & \frac{1}{G}=\frac{2\left(1+\nu \right)}{E}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) – Isotropie complète

Matrice de Hooke en fonction de \(E`et :math:\)nu`

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ \\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ \\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\frac{E}{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}\left[\begin{array}{cccccc}1-\nu & \nu & \nu & 0& 0& 0\\ & 1-\nu & \nu & 0& 0& 0\\ & & 1-\nu & 0& 0& 0\\ & \text{SYM}& & \frac{1-2\nu }{2}& 0& 0\\ & & & & \frac{1-2\nu }{2}& 0\\ & & & & & \frac{1-2\nu }{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ \\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ \\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Isotropie complète

Matrice de souplesse en fonction des coefficients de Lamé \(\lambda`et :math:\)mu`

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\lambda +\mu }{\mu (3\lambda +2\mu )}& \frac{-\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}& \frac{-\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}& 0& 0& 0\\ & \frac{\lambda +\mu }{\mu (3\lambda +2\mu )}& \frac{-\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}& 0& 0& 0\\ & & \frac{\lambda +\mu }{\mu (3\lambda +2\mu )}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{1}{\mu}& 0& 0\\ & \text{SYM}& & & \frac{1}{\mu}& 0\\ & & & & & \frac{1}{\mu}\phantom{\rule{2em}{0ex}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) – Isotropie complète

Matrice de Hooke en fonction des coefficients de Lamé \(\lambda`et :math:\)mu`

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\\ {\sigma}_{\text{TN}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\lambda +2\mu & \lambda & \lambda & 0& 0& 0\\ & \lambda +2\mu & \lambda & 0& 0& 0\\ & & \lambda +2\mu & 0& 0& 0\\ & \text{SYM}& & \mu & 0& 0\\ & & & & \mu & 0\\ & & & & & \mu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\\ 2{\epsilon}_{\text{TN}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Isotropie complète avec les coefficients de Lamé

Cas 2D orthotrope en déformations planes et axisymétrique

Matrice de souplesse

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ \\ 0\\ {\mathrm{2\epsilon }}_{\text{LT}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{{E}_{L}}& -\frac{{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{T}}& -\frac{{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}& 0\\ -\frac{{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}& \frac{1}{{E}_{T}}& -\frac{{\nu}_{\text{NL}}}{{E}_{N}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{G}_{\text{LT}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ \\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) – Orthotropie plane en déformations planes et axisymétrie

Matrice de Hooke

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\end{array}\right]=\frac{1}{\Delta}\left[\begin{array}{cccc}\frac{\left(1-{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{{E}_{T}{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{TL}}+{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{TN}}\right)}{{E}_{T}.{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{NL}}+{\nu}_{\text{TL}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{{E}_{T}.{E}_{N}}& 0\\ \frac{\left({\nu}_{\text{LT}}+{\nu}_{\text{LN}}{\nu}_{\text{NT}}\right)}{{E}_{L}{E}_{N}}& \frac{\left(1-{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}\right)}{{E}_{L}.{E}_{N}}& \frac{\left({\nu}_{\text{NT}}+{\nu}_{\text{NL}}.{\nu}_{\text{LT}}\right)}{{E}_{L}.{E}_{N}}& 0\\ \frac{\left({\nu}_{\text{LN}}+{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TN}}\right)}{{E}_{L}.{E}_{T}}& \frac{\left({\nu}_{\text{TN}}+{\nu}_{\text{TL}}.{\nu}_{\text{LN}}\right)}{{E}_{L}.{E}_{T}}& \frac{\left(1-{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TL}}\right)}{{E}_{L}.{E}_{T}}& 0\\ 0& 0& 0& {G}_{\text{LT}}\cdot \Delta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ 0\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Orthotropie plane en déformations planes et axisymétrie

avec: \(\frac{1}{\Delta}=\frac{{E}_{L}{E}_{T}{E}_{N}}{1-{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NT}}-{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LN}}-{\nu}_{\text{LT}}{\nu}_{\text{TL}}-2{\nu}_{\text{TN}}{\nu}_{\text{NL}}{\nu}_{\text{LT}}}\)

Cas 2D orthotrope en contraintes planes

Matrice de souplesse

\(\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ \\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{{E}_{L}}& -\frac{{\nu}_{\text{TL}}}{{E}_{T}}& 0& 0\\ -\frac{{\nu}_{\text{LT}}}{{E}_{L}}& \frac{1}{{E}_{T}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{G}_{\text{LT}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ \\ {\sigma}_{\text{NN}}\\ {\sigma}_{\text{LT}}\end{array}\right]\)

\({\left[\mathrm{H}\right]}^{-1}\) – Orthotropie plane en contraintes planes

Matrice de Hooke

En utilisant le système d’équations [éq3.1-1], on obtient:

\(\left[\begin{array}{c}{\sigma}_{\text{LL}}\\ {\sigma}_{\text{TT}}\\ 0\\ {\sigma}_{\text{LT}}\end{array}\right]=\frac{1}{1-{\nu}_{\text{LT}}.{\nu}_{\text{TL}}}\left[\begin{array}{cccc}{E}_{L}& {\nu}_{\text{TL}}{E}_{T}& 0& 0\\ {\nu}_{\text{LT}}{E}_{L}& {E}_{T}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {G}_{\text{LT}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{LL}}\\ {\epsilon}_{\text{TT}}\\ {\epsilon}_{\text{NN}}\\ 2{\epsilon}_{\text{LT}}\end{array}\right]\)

\(\left[\mathrm{H}\right]\) – Orthotropie en contraintes planes

Utilisation dans Code_Aster

Dans Code_Aster , la définition des caractéristiques élastiques orthotropes constantes ou fonctions de la température s’effectuent par la commande DEFI_MATERIAU, mots clés ELAS_ORTH, ELAS_ISTR, ELAS_ISTR_FOou ELAS_ORTH_FOpour les éléments de coque et les éléments massifs isoparamétriques ou les couches constitutives d’un composite (voir la commande DEFI_COMPOSITE).

Pour définir le repère d’orthotropie \((L,T,N)\) lié aux éléments, on peut se reporter aux documentations [U4.42.03] DEFI_COMPOSITE et [U4.42.01] AFFE_CARA_ELEM.

/    ELAS_ORTH = _F    (♦    E_L = ygl    Module de Young longitudinal.

♦ E_T = ygt Module de Young transversal.

◊ E_N = ygn Module de Young normal.

♦ GL_T = gltModule de cisaillement dans le plan \(\text{LT}\).

◊ G_TN = gtnModule de cisaillement dans le plan \(\mathrm{TN}\).

◊ G_LN = glnModule de cisaillement dans le plan \(\text{LN}\).

♦ NU_LT = nult Coefficient de Poisson dans le plan \(\text{LT}\).

◊ NU_TN = nutn Coefficient de Poisson dans le plan \(\mathrm{TN}\).

◊ NU_LN = nuln Coefficient de Poisson dans le plan \(\text{LN}\). ◊ ALPHA_L = diln Coefficient de dilatation thermique moyen longitudinal. ◊ ALPHA_T = dit Coefficient de dilatation thermique moyen transversal. ALPHA_N= dinCoefficientde dilatation thermique moyen normal.

Remarque importante:

L’exposé de cette note de référence est basé sur la convention des livres de J.L.Batoz et D.Gay. La documentation de DEFI_MATERIAU [U4.43.01] décrit ces choix, et le coefficient NU_LT s’interprète de la façon suivante dans Code_ Aster: si l’on exerce une traction selon l’axe \(L\) donnant lieu à une déformation selon cet axe égale à \({\epsilon}_{L}=\frac{{\sigma}_{L}}{\text{ygl}}\) , on a une déformation selon l’axe \(T\) égale à: \({\epsilon}_{T}=-{\nu}_{\text{LT}}\cdot \frac{{\sigma}_{L}}{\text{ygl}}\) .

Bibliographie

1. J.C. MASSON: Matrice de Hooke pour les matériaux orthotropes, Rapport interne Applications en Mécanique, n°79-018, CiSi, 1979.

2. 4. GAY: Matériaux composites, Edition Hermes, 1987.

3. J.L. BATOZ, G. DHATT: Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1, Edition Hermes.

Description des versions du document

Version Code_Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
6.4	A. ASSIRE, EDF-R&D/AMA	Texte initial
8.4	A. ASSIRE, X. DESROCHES, J.M. PROIX, EDF-R&D/AMA	Corrections minimes
15	F.VOLDOIRE, EDF-R&D/ERMES	Corrections(pour une meilleure compréhension)