v7.31.104 WTNV104 – Calcul de fluage propre et de fluage de dessication en modélisation 3D avec le modèle BETON_AGEING#

Résumé:

Ce test permet de valider le modèle BETON_AGEING pour le fluage du béton, en modélisation 3D_THHM. Les résultats sont comparées à des solutions analytiques.

Modélisation A : essai de fluage propre.
Modélisation B : essai de fluage de dessiccation.

Solution de reference#

Essai de fluage propre#

On présente dans cette section la solution d’un essai de fluage propre en compression simple avec le modèle BETON_AGEING sur un échantillon saturé (le tenseur des contraintes effectives est alors égal au tenseur des contraintes totales). L’état de contrainte exercé à tout instant \(t\) est écrit dans la base cartésienne \((\tensTwo{e}_x,\tensTwo{e}_y,\tensTwo{e}_z)\) :

\[\begin{split}\stress = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \stressCmp_{zz}(t) \end{pmatrix} \quad\text{avec}\quad \stressCmp_{zz}(t) = \begin{cases} \stressCmp_0 \quad &\text{si} \quad t>t_i \\ 0 \quad &\text{si} \quad t<t_i \end{cases}\end{split}\]

où \(t_i\) désigne l’instant d’application instantanée de la charge (ce dernier étant strictement supérieur à l’instant \(t_0\) auquel le béton est coulé).

Le tenseur des déformations résultantes est axisymétrique :

\[\begin{split}\strain = \begin{pmatrix} \strainCmp_{xx}(t) & 0 & 0 \\ 0 & \strainCmp_{xx}(t) & 0 \\ 0 & 0 & \strainCmp_{zz}(t) \end{pmatrix}\end{split}\]

Ses composantes, pour tout instant \(t>t_i\), sont données ci-dessous, en fonction des paramètres du modèle de BETON_AGEING (voir [R7.01.35]) :

\[\begin{split}\begin{align} \strainCmp_{xx}(t) &= \underbrace{-\nu\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{xx}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}-\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{2k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,xx}} +\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}-\frac{1}{2k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{pf}_{i,xx}} \\ \strainCmp_{zz}(t) &= \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{E}}_{\text{déf. élastique } \strainCmp^{e}_{zz}} + \underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1-\exp(-\frac{k_{s,r}}{\eta_{s,r}}(t-t_i))}{3k_{s,r}}+\frac{1-\exp(-\frac{k_{d,r}}{\eta_{d,r}}(t-t_i))}{k_{d,r}}\right)}_{\text{déf. de fluage propre réversible } \strainCmp^{fp}_{r,zz}} +\underbrace{\frac{\stressCmp_0}{3}\left(\frac{1}{3k_{s,i}}+\frac{1}{k_{d,i}}\right)\ln\left(\frac{t-t_0}{t_i-t_0}\right)}_{\text{déf. de fluage propre irréversible } \strainCmp^{fp}_{i,zz}} \end{align}\end{split}\]

On notera que ces déformations dépendent linéairement de la contrainte appliquée \(\stressCmp_0\) puisque le modèle BETON_AGEING est en effet viscoélastique linéaire.

Essai de fluage de dessiccation#

On présente désormais l’équation régissant le fluage de dessiccation, dans le cas d’un séchage, c’est-à-dire en augmentant de manière monotone la pression capillaire \(p_c\). Cette évolution est obtenue par (voir [R7.01.35]) :

(4926)#\[\begin{split}\dot{\strain}^{fdess} = -\frac{\dot{h}\stress'}{k^{fd}} \quad \text{avec} \quad \begin{cases} d\stress' &= d\stress + \left(dp_{gz}-S_{lq}(p_c)dp_c\right)\tensTwo{B}\\ h &= \exp\left(-\cfrac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right) \end{cases}\end{split}\]

Dans la situation où les contraintes totales et la pression gaz ne varient pas, et partant d’un échantillon saturé, (4926) devient :

\[\dot{\strain}^{fdess} = -\left(\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}\exp\left(-\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)\int_0^{p_c}S_{lq}(p)dp\right)\frac{\dot{p}_c}{k^{fd}}\tensTwo{B}\]

Cette équation différentielle peut s’intégrer numériquement connaissant la relation saturation en liquide - pression capillaire, et résulte en une déformation isotrope lorsque le tenseur de Biot est isotrope également, c’est-à-dire pour \(\tensTwo{B}=b\tensTwoUnit\).

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

../../../../_images/Object_2644.svg — Fig. 753 Modélisation 3D.#

Tableau 158 Caractéristiques du maillage.#
Nombre de nœuds	20
Nombre de mailles	1 de type HEXA 20 6 de type QUAD 8

Tableau 159 Mailles définies.#
DROITE	NO3, NO5, NO8, N10, NO12, NO15, NO17, NO20
GAUCHE	NO1, NO4, NO6, NO9, NO11, NO13, NO16, NO18
DEVANT	NO6, NO7, NO8, NO11, NO12, NO18, NO19, NO20
DERRIERE	NO1, NO2, NO3, NO9, NO10, NO13, NO14, NO15
BAS	NO13, NO14, NO15, NO16, NO17, NO18, NO19, NO20
HAUT	NO1, NO2, NO3, NO4, NO5, NO6, NO7, NO8

Les conditions aux limites de symétrie sont :

Sur la maille DEVANT : \(DX=0\).
Sur la maille GAUCHE : \(DY=0\).
Sur la maille BAS : \(DZ=0\).

Une pression égale à \(\sigma_{0}=-30\) MPa est imposée sur la maille HAUT, suivant une rampe linéaire sur l’intervalle \([t_i,t_i+1\,\text{s}]\) où \(t_i=28\) jours. En simultanée, la pression capillaire, la pression de gaz et la température ne varient pas. Elles sont imposées à leur valeurs initiales en chaque noeud du maillage comme suit :

\(p_c^{init} = 0\) , \(p_c^{ddl} = 0\),
\(p_g^{init} = 100\) kPa, \(p_g^{ddl} = 0\),
\(T^{init} = 293\) K, \(T^{ddl} = 0\).

Grandeurs testées et résultats#

Les solutions sont calculées au point NO8 à \(t=365\) jours. Elles sont données dans le Tableau 160 en termes de :

déformation totale verticale \(\varepsilon_{zz}\),
déformation totale latérale \(\varepsilon_{xx}\) (\(=\varepsilon_{yy}\)),
déformation de fluage propre réversible verticale \(\varepsilon^{fp}_{r,zz}\),
déformation de fluage propre réversible latérale \(\varepsilon^{fp}_{r,xx}\) (\(=\varepsilon^{fp}_{r,yy}\)),
déformation de fluage propre irréversible verticale \(\varepsilon^{fp}_{i,zz}\),
déformation de fluage propre irréversible latérale \(\varepsilon^{fp}_{i,xx}\) (\(=\varepsilon^{fp}_{i,yy}\)).

Tableau 160 Comparaison des solutions numériques aux solutions analytiques à \(t=365\) jours.#
Grandeur	Solution analytique	Erreur relative
\(\varepsilon_{zz}\) [-]	\(-0.048569\)	\(1.58\times10^{-4}\) %
\(\varepsilon_{xx}\) [-]	\(0.006146\)	\(1.56\times10^{-4}\) %
\(\varepsilon^{fp}_{r,zz}\) [-]	\(-0.013333\)	\(1.30\times10^{-13}\) %
\(\varepsilon^{fp}_{r,xx}\) [-]	\(0.001666\)	\(2.99\times10^{-13}\) %
\(\varepsilon^{fp}_{i,zz}\) [-]	\(-0.034235\)	\(2.24\times10^{-4}\) %
\(\varepsilon^{fp}_{i,xx}\) [-]	\(0.004279\)	\(2.24\times10^{-4}\) %

La Fig. 754 présente l’évolution des grandeurs numériques testés en fonction du temps à titre illustratif.

../../../../_images/reponse_modelisation_A.svg — Fig. 754 Réponse du modèle BETON_AGEING à un essai de fluage propre.#

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

La modélisation et les conditions aux limites en déplacement sont identiques à celles décrites dans la modélisation A. La pression capillaire suit une rampe linéaire entre \(t=t_i=28\) jours et \(t=365\) jours depuis zéro jusque \(100\) MPa en chaque noeud du maillage. En parallèle, la pression de gaz et la température restent à leur valeurs initiales :

\(p_g^{init} = 100\) kPa, \(p_g^{ddl} = 0\),
\(T^{init} = 293\) K, \(T^{ddl} = 0\).

Grandeurs testées et résultats#

On calcule au point NO8 à \(t=365\) jours la déformation de fluage de dessiccation latérale \(\varepsilon^{fdess}_{xx}\). Celle-ci est comparée à la solution analytique dans le Tableau 161.

Tableau 161 Comparaison des solutions numériques aux solutions analytiques à \(t=365\) jours.#
Grandeur	Solution analytique	Erreur relative
\(\varepsilon^{fdess}_{xx}\) [-]	\(-0.016613\)	\(4.77\times 10^{-2}\) %

La Fig. 755 présente les réponses obtenues à titre illustratif.

../../../../_images/reponse_modelisation_B.svg — Fig. 755 Réponse du modèle BETON_AGEING à un essai de fluage de dessiccation.#