v2.01.107 SDLD107 - Minimisation d’une fonctionnelle énergétique de type erreur en relation de comportement en dynamique des structures#

Résumé:

Le domaine d’application de ce test concerne la dynamique des structures. Il permet de valider l’opérateur de calcul CALC_ERC_DYN [u4.53.41] qui permet d’obtenir les champs solution d’un problème de minimisation d’une fonctionnelle énergétique de type erreur en relation en comportement (ERC) sous une formulation modale.

Il s’agit de résoudre le problème d’ERC pour un système composé de 3masses et 4ressorts, encastré à ses extrémités en vibration libre. Les ressorts et les masses sont modélisés par des éléments de type “DIS_T”.

Les résultats de vérifiés pour le cas étudié ont été obtenus semi-analytiquement. Sa résolution, qui fait office de référence, a été réalisée à l’aide du logiciel Matlab.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Modèle de référence#

Pour le modèle de référence, on suppose le vecteur de déplacement suivant:

\(x=\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array}\right)\)

Ainsi, les matrices structurelles de masse (M) et de raideur (K) sont:

\(M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\) \(K=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\)

Les pulsations propres du système masse-ressort valent:

\({\omega}_{1}^{2}=(2-\sqrt{2})\) \({\omega}_{2}^{2}=2\) \({\omega}_{3}^{2}=(2+\sqrt{2})\)

de déformées modales respectives (normées à 1 selon la plus grande amplitude):

\({\varphi}_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)\) \({\varphi}_{2}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) \({\varphi}_{3}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)\)

La matrice permettant d’observer parfaitement x1 et x2 est:

\(H=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\)

Par ailleurs la matrice norme (Gr) est choisie par combinaison des matrices réduites de Guyan de masse et de raideur. Pour leur construction, les modes statiques associés à x1 et x2 sont:

\({\psi}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\) \({\psi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)\)

formant la base de modes statiques \(\psi =\left[{\psi}_{1}{\psi}_{2}\right]\) . Cela conduit à:

\({G}_{r}={\psi}^{T}[K+M]\psi\) ;

\(\mathit{Gr}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2.75\end{array}\right)\)

Les paramètres de pondération de \({e}_{\omega}^{2}(u,v,w)\) sont choisis \(\alpha =0.5\) et \(\gamma =0.5\) .

Construction du système linéaire associé au problème de la fonctionnelle d’erreur en relation de comportement.#

Le problème permettant de retrouver les champs associés à la fonctionnelle de type erreur en relation de comportement amène à la résolution du système matriciel linéaire suivant:

\(Al=b\)

avec, pour chaque pulsation propre \({\omega}_{i}\) :

\({A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}\gamma (K+\gamma /(1-\gamma ){\omega}_{i}^{2}M)& -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)\\ -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)& (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}H\end{array}\right)\) et \({b}_{i}=\left(\begin{array}{c}{0}_{3}\\ (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}\widehat{{u}_{i}}\end{array}\right)\)

où \(\widehat{{u}_{i}}\) représente l’observation du mode \({\varphi}_{i}\) associé à la pulsation propre \({\omega}_{i}\) estimée. \(\alpha\) et \(\gamma\) sont, quant à eux, les paramètres de pondération associées à la fonctionnelle d’erreur.

Enfin, le vecteur solution \(l\) est la concaténation de deux champs associés a la fonctionnelle d’erreur de telle sorte que:

\(l=\left(\begin{array}{c}u-v\\ u\end{array}\right)\)

Résultats de référence#

Deux cas de référence sont testés:

  1. Premier mode propre, observations parfaites:

\(\widehat{{u}_{1}}=\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 1\end{array}\right)\) ; \(\widehat{{\omega}_{1}}=(2-\sqrt{2})\)

Dans ce cas, le résultat est trivial car il doit amener à un résultat de fonctionnelle d’erreur parfaitement nul associé à:

\((u-v)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\) ; \(u=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)\)

  1. Deuxième mode propre, déplacements parfaits, et pulsation propre entachée d’erreur:

\(\widehat{{u}_{2}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)\) ; \(\widehat{{\omega}_{2}}=1.25\ast 2\)

Dans ce cas, la construction du problème matriciel \(Al=b\) amène à:

\(A=\left(\begin{array}{cccccc}1+{1.25}^{2}& -0.5& 0& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0\\ -0.5& 1+{1.25}^{2}& -0.5& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5\\ 0& -0.5& 1+{1.25}^{2}& 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}\\ -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0& -6& 2& 0\\ 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 2& -5.5& 0\\ 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0& 0& 0\end{array}\right)\)

\(b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 6\\ -2\\ 0\end{array}\right)\)

Ce système d’équations a été résolu à l’aide du logiciel Matlab, conduisant à la solution:

\(l=\left(\begin{array}{c}0.223608826207038\\ 0.107013222975753\\ -0.095122864867336\\ -0.957415448053491\\ 0.038110367724860\\ 0.494584477951991\end{array}\right)\)

Dans ce cas, la valeur de la fonctionnelle vaut:

\({e}_{{\omega}_{2}}^{2}(u,v,w)=0.089643288114668\)

dont la partie associé aux champs d’erreur est:

\(\frac{\gamma}{2}{(u-v)}^{T}[K](u-v)+\frac{1-\gamma }{2}{(u-w)}^{T}{\omega}^{2}[M](u-w)=0.083454681437031\)

Incertitude sur la solution#

Premier cas: solution analytique.

Deuxième cas: solution semi-analytique.

Modélisation A#

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 5 dont 2 encastrés

Nombre de mailles et types: 4 SEG2

Grandeurs testées et résultats#

Calcul des champs solution et de la valeur de la fonctionnelle avec l’opérateur CALC_ERC_DYN.

Identification

Référence

Formulation : MODALE

Premier cas

Valeur de la fonctionnelle \({e}_{{\omega}_{1}}^{2}(u,v,w)\)

0.0

Deuxième cas

Valeur de la fonctionnelle \({e}_{{\omega}_{2}}^{2}(u,v,w)\)

0.089643288114668

Valeur de la fonctionnelle \({e}_{{\omega}_{2}}^{2}(u,v,w)\)

0.083454681437031

Champ de déplacement \({u}_{1}\) (\(m\) )

-0.957415448053491

Champ de déplacement \({u}_{2}\) (\(m\) )

0.038110367724860

Champ de déplacement \({u}_{3}\) (\(m\) )

0.494584477951991

Champ de déplacement \({(u-v)}_{1}\) (\(m\) )

0.223608826207038

Champ de déplacement \({(u-v)}_{2}\) (\(m\) )

0.107013222975753

Champ de déplacement \({(u-v)}_{3}\) (\(m\) )

-0.095122864867336

Tableau 3.2-1 : Grandeurs et résultats testés

Synthèse des résultats#

La précision sur les champs optimaux (u) et (u-v) ainsi que sur le valeur de la fonctionnelle est très bonne (erreurs de l’ordre de 1E-12 à 1E-14)

Ce test valide donc l’opérateur CALC_ERC_DYN de calcul de recherche des champs admissibles associés à un problème de fonctionnelle énergétique de type erreur en relation de comportement en dynamique sous une formulation modale.